Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Ь (14) По общему свойству момента количества движения, операторы для результирующего момента количества движения удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, как и операторы для слагаемых, так что мы должны иметь, аналогично (2), (15) Равенства (15) можно проверить и непосредсзвенно, используя где 1м тА, ПА (й = 1, 2, 3) суть косинусы углов между двумя системами прямоугольных координат, то новые операторы а'„а„', а,' будут обладать такими же свойствами (6) и (7), как и старые о„ау, а,. Отс1ода следует, что если мы будем рассматривать эти величины как составляющие вектора, то проекции этого вектора на любое направление будут иметь собствен. ные значения ~1.
Заметим, что если мы, согласно (11), возьмем в качестве а, а„, а. матрицы (12), то выражения (!3) дают самый общий вид матриц с двумя строками и столбцами, удовлетворяющих условиям (6) и (7). Три матрицы (12) вместе с единичной матрицей образуют полную систему в том смысле, что всякую матрицу с двумя строками и столбцами (т. е. с 4 элементами) можно выразить в виде линейных комбинаций этих четырех с численными коэффициентами. Если заданная матрица — самосопряженная, то эти коэффициенты будут вещественными.
Переходим к построению операторов для полного момента количества движения. Приняв для операторов спинового момента количества движения выражения (3), мы приходим к выводу, что операторы для полного момента количества движения $ и МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА ЕАЗ соотношения (2) н (4) для т„, тк, т, н для о,, а„, а, и тот факт, что орбитальный и спиновый моменты количества движения между собой коммутируют. Из составляющих орбитального и спинового момента количества движения можно построить такую билинейную комбинацию, которая коммутировала бы с каждой из составляющих полного момента количества движения. В самом деле, положим 11 = о„т„+ о„т„+ а,т, + Д (16) или, что то же самое, Х вЂ” а„т7, + О„.У(2 + а, У7.
— — 82. 1 Мы имеем по свойству т„т„, т, .Рт т„— т, 2т = — И (а„т, — а,т21 (16*) и по свойству о„о„, а, Ь, — (Ма„— О„А') = И (о,т, — о,т„). .Х.Й', — Ж„М=О, .Х̄†.Ат„.22 = О, ЖХ,— ие,.2Г =О. (17) Установим связь между оператором я.' и применяемым в теории Шредингера оператором для квадрата орбитального момента количества движения. Мы имеем о2 йь т2 1,222 1 „. (18) С другой стороны, если мы возьмем сумму квадратов операторов (14) для составляющих полного момента количества движения и воспользуемся соотношением (18), мы получим Мт+ МЕ+ М2= Мз — — 'й 4 (19) Таким образом, квадрат вектора .22'„, Х„, .Й', отличается 1 2 от квадрата скаляра Ат только слагаемым — Дч Мы будем называть оператор М спиново-орбитальным скалярам момента количества движения.
Правая часть (!8) есть оператор, встречающийся в теории Шредингера и не содержащий матриц Паули. Его собственные значения равны 621(1+ 1), где 1 — целое положительное число Складывая эти два равенства, получаем в правой части нуль. Выражение в левой части и аналогичные выражения для состав- ляющих по осям у и г можно записать в виде 1ч. 1П ТЕОРИЯ ПАУЛИ 244 или нуль. Поэтому если мы обозначим собственные значения оператора зг' через Ьл, то будем иметь й (Ф вЂ” 1) = 1 (1 + 1), (20) откуда при данном 1 lг = — 1 или й =1+ 1.
(21) Но величина Й не может равняться нулю. В самом деле, из формулы (19) следует, что математическое ожидание оператора .лэ в любом состоянии будет больше — 6 . Поэтому уравнение г 4 Мф = йгф (22) для собственных функций оператора М не может иметь соб- ственного значения, равного нулю. Это значит, что при 1 = 0 единственное возможное значение Й есть Й = 1, а при 1'"» 1 су- шествуют два значения Й, даваемые формулой (21). 5 2.
Операторы полного момента количества движения в сферических координатах Прн рассмотрении задачи с центральной симметрией в теории Шредингера (гл. 1Ч ч. П) мы нашли выражения для операторов орбитального момента количества движения в сферических координатах г, б, ф, связанных с прямоугольными координатами х, у, г соотношениями х=гз(пбсозф, у=гэ1пбз)пф, г=гсозб. Положив д р= — И— г дг и требованию однозначности на поверхности шара.
Ре = — И д Рч = И вЂ” ° (2) д . д дб ' ч дф ' мы имеем, согласно формулам [(2) $ 3 гл. 1Ч ч. 111, гн„= — з(п фпа — с1дб созфр „ т„= соз фре — с1ц 6 зш фр„, (3) гп,=р„. Собственные функции операторов квадрата момента количества движения и его составляющей по оси г удовлетворяют в теории Шредингера уравнениям - = — '1 —,— „(" — „) „—.1= -(+ ~~, () гп,ф= — И вЂ” =тф дф (5) 5 3] ОпеРАтОРы пОлнОГО мОментА количестВА ЛВижения 245 ( 2)»' Хф=Иф (8) (9) и требованию однозначности на поверхности шара. Собственные значения рассматриваемых операторов мы уже установили: при данном квантовом числе 1, отличном от нуля, число 73 может принимать значения 73 = †! и й = ! + 1, а при ! = 0 будет единственное значение и = 1. Квантовое число т то же, что н в теории Шредингера: оно принимает целые значения от т = — ! до т = +!.
Для упрощения выражений (6) и (7) для операторов л', и й применим каноническое преобразование 7.' = Я.Я+, !»' = ЗТ», (10) где 5=сов — +го з!п —,, 5~=сов — — го з!п —. Ф ° ° 'Р + 'Р ° ф 2 2' 2 г 2' Если до преобразования было (!2) (13) о„= о„ ОР=ог, о,=о3, д Тг .4' = — Гд — + —, о, г дф 2 3 то после преобразования будет т,' = о, соз ф — ог з!п !р, о3 — — ог з!и ф+ (тгсоз ф, Р О,=О3, м;= — !й дф ' (16) Заменяя в формуле (7) операторы о„, о„, о, на о„', о„', о'.
по формулам (14) и оператор р на рч ОрчЗ рч 2 оз, (16) Переходя к полному моменту количества движения, включающему спин, мы введем по формулам (14) и (16) предыдущего параграфа операторы л(!, и г!. Будучи выражены через ре и рт, эти операторы принимают вид .г3, = р„+ — О„ Гг (6) я = ( — о, з!п !р + о„сов ф) ре + +( — о„с!йбсозф — ОРС!66з!Пф+ о,) р„+ и. (7) Найдем общие собственные функции операторов л, и й. Зги функции должны удовлетворять уравнениям ~ч.
!и ТЕОРИЯ ПАУЛИ 246 где под Р и рп разумеются операторы (2). Для дальнейшего упрощения вида оператора Ж применим к нему последовательно два преобразования. Во-первых, положим .Й =7.41 Т+, ф =Тф, (18) где 6,.6+6..6 Т=соз — +1о,зш —, Т 2 2 ' 2 2' (19) Мы получим п~ га Я = — —.Р +а,(рп — —,с1а 6). Мпо Ф ~ 2 (20) Во-вторых положим 4Т* = ~7з)п 6 Хп, ф' = у'з)п 6 ф", ЗЯп 6 (21) после чего преобразованный оператор лТ примет вид * ш .4Т = — —.' р + о,ре мп 6 (22) значительно более простой, чем внд исходного оператора (7). Оператор же 4Т', в результате преобразований (18) и (21) не изменился, так что мы имеем -~л = Рт. Рассматривая ф как двухкомпонеитную волновую функцию на поверхности шара (см. (9) $1) (24) и полагая (25) мы можем принять в качестве условия нормировки соотношение — 1 1 ! $ !251пбабп = 1.
о о (26) Тот же вид будет иметь условие нормировки для функций ф' и ф". Для функции же ф", отличающейся от ф" множителем получим преобразованный оператор Х в виде Рл Ь М' = — о~ с1к 6Р р+ ог(РЯ вЂ” 2 с1к 6) + озРЯ+ —, (17) ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ СО СОННОМ тlз)п б, условие нормировки будет о 2л — ~ ~ ( ф 1о ~Ю йо = 1 (27) о о Требование однозначности будет относиться только к исходной волновой функции.
Что касается преобразованных волновых функций, то вследствиетого, что Операторы преобразования (1!) содержат линейно з(п — и соз —, они будут менять знак при е 'Р 2 2 ' увеличении гр на 2п и, следовательно, будут двузначными функциями точки в пространстве. Уравнения (8) и (9) для собственных функций операторов .Аг', и к напишутся теперь: Реф"=й (т+ — )ф, (28) — — м„'б Ртф" + и Роф" =ййф'. (29) $3. Шаровые функции со спином Если писать двухкомпонентную волновую функцию ф* в виде столбца Я=1( +Яг, ~ (2) а уравнение (29) приведется к системе уравнений дд дд — — — — = /гу, Млб дФ дб д1' ду оьлб дФ дб — + — =ы.
(3) Положим, чтобы удовлетворить также и уравнениям (2), 1~ У(б, ф)==е ~ УА А(б), Л(б, р)==е ~ о~ В(б). ~ ~/м то уравнение (28) предыдущего параграфа напишется в виде двух одинаковых уравнений 248 ТЕОРИЯ ПАУЛИ П1 111 Тогда функции А(О) и В(О) должны будут удовлетворять си- стеме уравнений — А+ йВ, 0А ~ 2) — — „„'-в — ьл,~ а условие нормировки для них будет Эти функции можно выразить через обыкновенные шаровые функции Р1 (созд), изученные нами в Ц 4 — б гл. 1Ъ' ч, П, посвященной теории Шредингера.
Напомним некоторые их свойства. Функция Р1 (х) = Р1 (соз 6) удовлетворяет уравнению и представляет то его решение, которое остается конечным при х = ~1, При я=О Р1 (х) приводится к полиному Лежандра Р, (х) = — — (х — 1), 2 21Н Д„1 а при л2 Ъ 0 будет равно Р1 (х) =(1 — х2) ~ — „Р1 (х).
(10) Р 1 ( х ) ( 1 ) ( ) Р 1 ( х ) (!1) Прн отрицательных значениях л2 функции Р1 (х) выражаются через функции с положительным т по формуле 249 ШАРОВЫЕ ФУНХШИИ СО СПИНОМ вЂ” Р~ (созб) — тс1дМР~ (созб) = — Р!' '(созе), Ю вЂ” Р1+ (соз б) + (т + 1) с18 ОР1"+' (соз 6) = = (! + т + 1) (! — т) Р7 (соз 6) ! (12) !уравнения (18) и (19) 9 5 гл. 1Ч ч. П). К этой системе уравнений приводятся уравнения (5) для функций А и В. Переход от (5) к (12) можно совершить, произведя сперва преобразование ,е А + !В = ~/з(п б е ' (у~ + !у2), (13) аналогичное переходу от ф* к ф', даваемому формулами (18) и (21) предыдущего параграфа (величины А, В, уь у2 в формуле (13) мы считаем вещественными).
Уравнения для у, и у2 будут — тс1дду, =(я+ т)у,, сд| Ф + (т + 1) с18 д у2 = — ( — я + т + 1) у . (14) Эти уравнения совпадут с уравнениями (12) для обыкновенных шаровых функций, если мы положим у, = — с(я+ и) Рг, у2=сР2+1, у1 ср2 у2 с ( й+и+1)Р2 1, (15) или (! 6) и будем считать, согласно формуле (20) 8 1, что я(я — !) = !(1+ 1). (17) В качестве ! мы можем взять то из чисел которое не отрицательно. Это можно записать так; +2 ~ 2~ (18) Рассматриваемые как функции от угла 6 функции Р7 (сов б) и Рг + (соз 6) удовлетворяют системе уравнений первого порядка ТЕОРИЯ ПАУЛИ (ч.
3И Приравнивая выражения (15) н (16) и используя формулу (11), мы получаем для отношения постоянных с' и с выражение —;=( — 1) ((+ )(,'+„,)',. (19) Значения этих постоянных определяются из условия нормировки (6), которое может быть написано в виде 2 1(У!+У2) )Г (20) о Мы получим ! / (! — т)! Р2~(х)=1/21+1 )(//( ) Р! (х) (х = соз 6), (22) нормнрованные согласно условию +! о — )Р1 (х)3 с(х= — Г~~Р( (сов О)12 з)пдв(6= 1, (23) — * -! о то мы будем иметь Й+т *т /Й вЂ” т — 1 *т+! У! ~(В ! „!) (22 )) ~ У2 ')/ 2в ! где корни квадратные нужно брать с положительным знаком.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
