Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Квантовые обобщения этих теорий требуют рассмотрения систем, состоящих из неопределенного числа частиц (фотонов в случае электродинамики и электронов с позитронамн в случае релятивистской квантовой механики). Мы не будем излагать здесь теорию таких систем, а также квантовую теорию излу. чения (квантовую электродинамику) и ограничимся выводом необходимых формул на основании аналогии с классической теорией. При этом нам придется совершить некоторую непоследовательность; а именно, мы будем пользоваться квантовым описанием атомной системы и классическим описанием излучения, не вводя явным образом понятия о световых квантах (фотонах). Кроме того, приближенный (полуклассический) характер теории может служить оправданием некоторой неточности выражений, подобных словам «электрон находится в данном объеме» (вместо «электрои может быть обнаружен в данном объеме посредством определенного опыта»), и т.
д. клАссические ФОРмулы !39 Переходя к теории излучения, напомним прежде всего основные формулы классической теории. Уравнения Максвелла (МахтуеП) в форме Лоренца (1огеп(з) имеют вид 1 дд' Р го1 А! — — — = 4пр —, с д! 61чд'= 4пр, 1 дЖ го1д*+ — — = О, с д! ИУ ус =О. (2) Здесь д' и 7в суть векторы электрического и магнитного полей, р — плотность электричества, и — вектор скорости электронов, с — скорость света.
Плотность заряда р и вектор тока ро, стоящие в правых частях уравнений (!), удовлетворяют «уравнению неразрывности» вЂ” Р + б(у (рп) = О, которое, будучи написано в интегральной форме — ~ р а~т = — ~ ро„с(о, (4) выражает тот факт, что изменение числа электронов внутри объема Ус равно числу электронов, проходящих свозь поверхность ом окружающую этот объем.
Положим Г = — пгаб ~р — — —, 7э = го1 А, 1 дА с д1' (5) где ср — скалярный и А — векторный потенциалы, которые мы подчиним обычному условию с(1у А+ — — = О. 1 де с д! (6) Подставляя выражения (5) для поля в уравнении Максвелла (1) и (2), мы убедимся, что уравнения (2) удовлетворяются .тождественно, а уравнения (1) напишутся, если воспользоваться (6) 1 д'А е ЬА — — — = — 4пр —, сс др с 1 д'<р Ьр — — — = — 4яр. с' д!' (7) Мы предположим, что пространство, для которого вычис« ляется поле, неограничено.
Чтобы сделать решение уравнений (7) аднозначным, мы поставим условие, выражающее отсутствие 141 ПЛОТНОСТЬ' И ВЕКТОР ТОКА трону быть в объеме т(т, которая выражается, как известно, формулой фф дт. Таким образом, величина р будет соответствовать р-ЭЕфф Рассмотрим число электронов в некотором малом объеме К>., обозначим это число через У(УВ). Его математическое ожидание будет ( В) )И (4) Пользуясь уравнением (4) и тем, что Лф ф — $ Лф = Йч (нгаб ф ф — ф угад ф), можно формулу (3) написать в виде — ~ ффс(т = — ~ б(т Здт, где 8 есть вектор 8 = — (угад ф ° ф — ф нгад ф). (6) Преобразуя (5) по теореме Гаусса, получим — ~ фф т(т = — ~ Я„~й~, где п есть внешняя нормаль к поверхности ое, окружающей объем Ъо. Эта формула может быть истолкована в том смысле, что изменение математического ожидания числа электронов внутри объема РВ равно математическому ожиданию числа элек-.
тронов, проходящих сквозь поверхность оз. Величина Я„ИО Составим выражение для производной от этой величины по времени. Заменяя ф и ф их выражениями из волнового уравнения, мы будем иметь — ~ ффНТ = у ~ (Нф ф — ф Нф) ((т. 1ч Но для уравнения Шредингера ь2 2 ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА 142 будет представлять тогда математическое ожидание числа электронов, проходящих за единицу времени сквозь элемент поверхности пп. При этом числа электронов складываются алгебраически, так что если по пронизывается в обоих направлениях одинаковым числом электронов, то 3„= О.
Вектор 8 дает, следовательно, плотность потока электронов, так что классическому вектору тока ри мы можем сопоставить величину — е8; ри- — е8. (8) Из определения вектора 8 вытекает уравнение — + б(ч8=0, д (1РЧ>) (9) откуда следует, что квантовые аналоги (1) и (6) величин р и ри удовлетворяют уравнению неразрывности (3) $1. Выражение (6) для вектора 8 может быть преобразовано следующим образом.
Положим 111 пз1а (10) где а и а вещественны. Тогда, как нетрудно проверить, 8 = — а нгас1 а, Ь (11) так что вектор 8 параллелен градиенту фазы волновой функ- ции. С другой стороны, можно в формуле (6) выразить производ- ные д1Р дЧТ д1(1 дх ' ду ' дк через результаты применения операторов р„, р„, р,. Мы получим тогда 2 ((~ "ф) ф+ к(1 "ф))' (12) или 3„= — [(х ф) $ + (фхф)] (13) и аналогичные формулы для двух других составляющих.
В этих формулах х, у, е суть операторы для составляющих скорости (см. 5 1 гл. 1). Выражения (13) представляют, с формальной стороны, естественное обобщение классических выражений рх, ру, рй (раз. деленных на заряд электрона — е), так как плотность р сопоставляется с — еф1р, а составляющим скорости соответствуют операторы х, у, г. В пятой части этой книги мы увидим, что в теории Днрака вектор 8 также может быть представлен в виде (13), хотя опе- ПЛОТНОСТЬ И ВЕКТОР ТОКА 143 4 г1 раторы х, у, г имеют там совершенно другой вид, чем в теории Шредингера.
Мы нашли квантовые выражения для математического ожидания числа электронов, находящихся в данном объеме и проходящих в единицу времени сквозь его поверхность. Рассмотрим теперь соответствующие операторы. Если мы имеем один электрон, то число электронов в объеме УВ (равное нулю или единице) будет функцией гг, (х, у, г) от координат х, у, г нашего единственного электрона, где 1 определяется следующим образом: 1'Р,(х, у, г)=1, если х, у, г внутри Ум '( 1Р,(х, у, г)=0, если х, у, г вие Ум ~ Поэтому оператором Л'(Уе) для числа электронов, выраженным в переменных х, у, г, будет умножение на эту функцию.
Математическим ожиданием этого оператора будет как раз величина (2), как это и должно быть. Переходя к Гейзенбергову представлению операторов, мы должны будем составить матрицу с элементами (и ~ л1 ~ и') = ~ фВ (х, г) !ф„, (х, г) г(т, (15) где ф„(х, г) представляют замкнутую систему функций, удовле- творяющих уравнению Шредингера, например собственных функций оператора энергии.
Так как функция ! отлична от нуля только внутри объема Ум где она равна единице, то (и~ )У! и') = ~ ф„ф„,г(т, (16) К, где интегрирование распространено только по объему Ум Умноженный на заряд электрона элемент Гейзенберговой, матрицы оператора Ж(УР) представляет аналог классической величины ~ р Ит -+ — е ~ ф„ф„, г1т, (17) Р, а плотности р можно сопоставить величину р„„, = — еф„ф„,.
(18) Сопоставление это делается в том же смысле, как в $8 гл. !, где элементы Гейзенберговой матрицы для координаты х сопоставлялись с классическими выражениями для той же величины, Получив квантовый аналог для плотности р, мы можем вывести аналог для вектора тока ри, идя тем же путем, каким мы получили формулу (8) из формулы (1). 144 теогия шгвдиигвэх 1ч. и Мы будем иметь, аналогично (5) и (6), н — ~ ф„ф„, Ит = — ~ ~Ы 8, г(т, где 8„„ есть вектор 8„„= — (пгаб ф„$„— ф„° агад ф,), (19) (20) и классическому вектору тока ри мы можем сопоставить величину (рп), = — е8„„,. (21) (8х)„„,= — ((х'р.) фа + Ф. (хфа П (23) Квантовые выражения для плотности и вектора тока были выведены нами в предположении, что мы имеем только один электрон, но они легко обобщаются и на случай нескольких электронов.
3 3. Частоты и интенсивности Нам остается подставить элементы Гейзенберговых матриц в классические формулы 5 1. Прежде всего заметим, что если ф„(х, 1) суть собственные функции оператора энергии г ф„(х, г) =е " ф,(х), то зависимость р„„, и (рв), от времени будет чисто периодической, с угловой частотой ń— Е„~ а, = 2пт ла лл' Той же частотой будет, очевидно, обладать электромагнитное поле, вычисленное на основании (11) 5 1. Таким образом, получается правило частот Бора, согласно которому частота излучаемого атомом света равна деленной на постоянную Планка Ь = 2пй разности уровней энергии атома в двух стационарных состояниях.
Самый процесс излучения удобно связывать с переходом атома из одного стационарного состояния в другое. Выражения (12) и (13) заменятся теперь следующими: (8х)дж= 2 1(Ркфп)фл'+Фл(Ркфп)1 (22) 145 ЧАСТОТЫ И ИНТЕНСИВНОСТИ Подставляя выражения (18) и (21) 5 2 для плотности и вектора тока в формулы (9) или (11) 9 1 для потенциалов, будем иметь л) ) г-г') е Г -ьаплг о'т А — Я е пп с лпг с з ллг 1 г' — г' ) ллг ) г-г' ~ — дт ф т)з и " с л лг )г — г') ' Мы будем считать, что длина волны испускаемого света (4) аллУ (3) е — ьмллг — Г Анаис~Я ллг г ллг е — аспас — à — г та гг где, согласно (23) 5 2, Так как оператор для скорости — самосопряженный, то оба члена в последнем интеграле равны между собой, и мы можем написать (6) *) В наших формулах буква е встречается в двух значениях: кан элементарный заряд и как основание натуральных логарифмов; мы думаем, однако, что это не вызовет недоразумений.
**) .Влияние этой разницы может быть учтено в следующих приближе. ннях, Это необходимо делать в тех случаях, когда вычисленное в нашем приближении поле оказывается равным нулю (см, ниже — правила о тбора). велика по сравнению с атомными размерами. Тогда можно пренебречь разницей в запаздывании электромагнитного поля, происходящего от разных точек излучающей атомной системы *л). При таком предположении множитель, а ' лл'1' ' ) под ) г — г') знаком интеграла почти не будет меняться во всей той области, где ф„ф„г и благ заметно отличны от нуля, и мы можем пренебречь и' по сравнению с г в выражении для А„и вынести этот множитель за знак интеграла, а в выражении для ф„„' заменить его линейной функцией от координат, по которым ведется интегрирование.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
