Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 18
Текст из файла (страница 18)
5 7. Неравенства Гейзенберга Математическое о!кидание какой-либо величины Е в и-и состоянии вибратора выражается формулой м. о. й = ~ ф„1.ф„Г(Н (1) и равно, очевидно, диагональному элементу (п~ Ь!П) матрицы для оператора Ь в переменных и. Из наших формул следует, !' г, что математическое ожидание х координаты х= А ! — э, а также ~/ 1аа математическое ожидание р„момента р„= !/Гпй1а р! равны нулю, так как соответствуюшие диагональные элементы матриц исче- зают: х=О, р„=О. (2) (~ | Р! ~ " ) ~ ('(!/ З -1, ь '~!' 2 ~~+1, А! Х + !П + 2) бла а Ъ (и+ !)(и+2)бл+ал' (1У) НЕРАВЕНСТВА ГЕИЗЕНБЕРГА так что, если мы обозначим левую часть через (Лх)2, то (Лх)2= м.
о. (х — х)'= — (п + — ). тв( ' 2)' (4) Аналогично получаем м. о. (р„— р„)2 = м. о. р'„= гпйв (п ~ р' ~ и) (Лр„)'= п2йв(п+ — '). или (6) Такнм образом, (7) ч' ( 2)' (8) откуда Лр„Лх = (п + — ) й. (9) Величины Лр„и Лх мы можем толковать как средние квадратичные отклонения измеренных значений количества движения и положения вибратора от математических ожиданий этих величин. Выведенная нами формула обладает весьма большой общностью. Если понимать ее как соотношение между порядками величины средних квадратичных отклонений и надлежащим образом ввести квантовое число и, то она будет справедлива не только для вибратора, ио и для любой системы в и-и квантовом состоянии. Произведение средних квадратичных отклонений будет наименьшим в основном состоянии (при п =О), так что всегда будет Лр„Лх ) — й.
Покажем, что это неравенство выполняется не только для электрона в состоянии, описываемом одной из собственных функций внбратора, но и для электрона в любом состоянии. Прн доказательстве мы предположим, что математические ожидания х и р„равны нулю (от этого ограничения нетрудно освободиться). Найдем математические ожидания квадратов отклонения величин х и р„ от их средних значений х и р„. Мы имеем 2 ~ 2 м.о.(х — х) =м.о х = м о е (п!Й (п)~ (8) тв тв 1!2 теоРия шРединГеРА !ч.
!! Пусть состояние электрона описывается функцией ф(х). Введем две вещественные постоянные а и )) и рассмотрим очевидное неравенство + )ахф+ р — „Л~ ~ !(х»»0, (11) справедливое при всех значениях сх и О. Вычисляя квадрат мо- дуля, стоящий.под интегралом, будем иметь или Аог Вар+ Срх) О, (13) где А=уф (х, В = — ~ х — „н (фф)!(х=~ ф!Рох, Г лФ а4 С=з! — — ох= — ~ ф —.дх. нх лх — 5 ах~ (14) Чтобы квадратичная форма (13) была положительной, необходимо соблюдение неравенства 4АС ) В' или, так как все трн числа А, В и С положительны, .~/А 1/С ) — В.
Но, согласно (14), мы имеем тЯ=Лх, т!С= 1,Лр„, откуда (15) г (1б) ЛрхЛх~» 2 что и требовалось доказать. Аналогичные неравенства справедливы, очевидно, и для двух других координат, так что мы имеем Лр ЛХ» 2 й ЛРРЛЯ) 2 6 Лр Лг»» 2 й (17) Неравенства (17) были указаны Гейзенбергом, который показал на ряде физических примеров, как увеличение точности в измерении координаты уменьшает точность в измерении количества движения и наоборот. Приведенный здесь формальный вывод принадлежит Вейлю (Феу!). а'~ х'!Гфх(х+ай~ х( — ф+ф — )!4х+р'~ — — „~ Г(х)0 (12) % 51 ЗАВИСИМОСТЬ МАТРИЦ ОТ ВРЕМЕНИ 11З и 8.
Зависимость матриц от времени. Сравнение с классической теорией Рассмотренное в з 6 каноническое преобразование не содержало времени и давало поэтому такое представление оиераторов, в котором математический вид их не зависит от времени (см. $ 13 гл. 1П ч. 1), Перейдем теперь к другому представлению операторов, в котором зависимость от времени перенесена, так сказать, на самый оператор. Для этого нужно найти унитарный оператор 5(1), который бы переводил начальное состояние ф в состояние в момент времени 1: ф(х, 1) =5(1)5Р(х, О).
(1) Тогда вид оператора Е как функции от времени получится по формуле Е' (1) = 5+ (1) Е5 (1). (2) Оператор 5(1) принимает наиболее простой вид, если за независимую переменную взять энергию. В этих переменных волновое уравнение Нф — й — =0 дО дВ имеет вид Нс„— вй е" =0 (3) нли и (а+ ~)с — 16 де„0 (4) (Мы перешли здесь от условных единиц, которыми мы пользо. вались в $6, к абсолютным единицам.) Решение этого уравнения есть 1 '5 с =се ~ в/ (6) Таким образом, применение оператора 5(1) сводится к умно-в(е+ — )ы жению с'„на показательный множитель е ~ " .
Оператор 5(1) может быть, следовательно, представлен в виде диагональной матрицы 1 — мв е (6) 5 — Я! е 1!4 ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА !ч. и с элементами (п1х(1)1и') = так что матрица х(!) будет иметь вид (8) ~!/ — е ~ — е х (!) = (9) О ~/ — е'а' О Аналогично получим для рх(!) (и1 рх (1) 1и') = /~ =!епм У х пй Ги б„, „— 1е '"' ~/ — (и+ 1) йап1б 4 к (10) — 1',у — йат е 1а! '7 2 1 АЧà — йат е 1а1 'Ч з рх (!) = — 1 я!йат е а ...
(!1) Если бы мы по формуле (2) составили оператор Н' (1) = 5~ (!) НБ (!), то мы убедились бы, что его матрица совпадает с матрицей для Н и, Следовательно, не зависит от времени. Этого и следовало ожидать, так как энергия вибратора остается постоянной. Гейзенберговы матрицы х(1) и рх(!) удовлетворяют, как нетрудно проверить, уравнениям движения их 1 лрх — = — р — ' = — 1па'х. И! т Рхю и! (12) (п1о(!)!п') =е ~ ТУ 6„„. (у) Вычисляя по формуле (2) Гейзенбергову матрицу х(1), получим (и1 х (!) 1п') = 1(х+ — ) Р1/ / ий1 ((и.+1) й '! — 1(т+ —,) а! 1,Ъ г '- ° " 'Ч Зта 6„+1,„)Е 115 злвисимость мхтгиц от вггмеии Здесь под — и — нужно разуметь матрицы, элементы кое» ил» лр торых суть производные от элементов матриц х(1) и р„(1).
Уравнения (12) совпадают по форме с классическими. Элементы матриц х(1) и р„(1) напоминают члены рядов Фурье для соответствующих классических величин. Чтобы проследить ближе эту аналогию, посмотрим, какая величина играет роль классической амплитуды. Вероятность получить для координаты 5 значение, лежащее между З и 5+ Д, когда вибратор находится в состоянии п, выражается формулой !ф„($)!'гЦ= е ыН'„(з)Н$. (13) Из асимптотического выражения (22) э 5 видно, что при больших п функция ф, Я) имеет примерно характер синусоиды, когда 5 меняется в промежутке от —.т72п до .~2п.
при этом полинам Н„Я) обращается в нуль ровно и раз. Вне этого промежутка функция ф„(«) начинает быстро убывать вследствие преобладания показательного множителя. Отсюда следует, что плотность вероятности заметно отлична от нуля только в промежутке — т/2п < 5 < т/2п, так что величину зо —— ъ~2п (14) можно считать «амплитудой» вибратора.
В абсолютных единицах амплитуда будет (!5) С другой стороны, энергия вибратора равна Е = Е„= (п+ ! ) й пй (16) Исключая из (15) и (16) п, получаем Š— пи»' х» 1 « 2 и (17) так что связь между амплитудой и энергией здесь та же, что в классической теории. Сравним элементы матрицы для х(1) с выражением (15) для амплитуды. Мы можем написать (п! х(1) )п — 1) + (п — 1 )х(1) /п) = ~/ — (е'"'+ е-'"") = l алй =.у — сов а1=хесозой (18) Таким образом, элементы матрицы х(1), ближайшие к п-му диагональному элементу, дают члены ряда Фурье, представляю !'!6 ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА !ч и щего классически величину х(!) в и-м состоянии (т. е. в состоянии с энергией Е = Е„).
(Число и предполагается здесь большим.) Эта формальная аналогия между членами классического ряда Фурье и элементами матрицы, представляющей квантовый оператор, послужили Гейзенбергу исходной точкой для построения квантовой механики, которая в этой первоначальной форме называлась, как мы уже упоминали, «матричной» механикой. й 9. Элементарный критерий применимости формул классической механики Рассматривая в 2 15 гл. ГП полуклассическое приближение к решенио уравнения Шредингера, мы нашли приолиженное выражение длн волновой функции ф через функцию действия 5.
Применим полученные результаты к случаю стационарного состояния частицы. В этом случае уравнение Шредингера имеет впд Лф+ — '„, (Š— Цф=О, Если 5 есть полный интеграл уравнения (2), содержащий трн произвольные постоянные с„см с, (включая постоянную энер- гии Е, но не считая аддитивной постоянной), то мы можем по- ложить в зависимости от граничных условий дтд ф = ~/ Ве! — ' е " дк,. дкь (3) или где под корнем стоит детерминант из вторых производных от 5, а величина а есть постоянная фаза. Переход от уравнения (!) волновой механики к уравнению (2) классической механики формально аналогичен переходу от волновой оптики к геометрической.
Условие применимости приближенных формул (3) илн (4) может быть выражено на языке волновой оптики (или волновой механики) следующим образом: относительное изменение показателя преломления (или длины волны) на расстояниях порядка длины волны должно быть весьма мало по сравнена~о с единицей. Если мы вместо длины волны Л будем считать ха- Л рактерной длиной величину —, то это условие можно записать 2п ' а уравнение Гамильтона — Якоби классической механики напишется — (игаб 5)'+ У = Е. (2) $9) кРитеРий пРименимости ФОРмул клАссическОЙ меххники 117 так: =~кгас( — ~ << 1.
Х 1Нтаах~ ~ Л 2Л Х ~ 2п (5) В квантовой механике А есть длина волны де Бройля, равная г 2птг (6) Т Тг — 'и> ' Но так как мы рассматриваем область, пограничную между квантовой и классической механикой, то критерий применимости формул (3) или (4) может быть формулирован н на языке классической механики. В самом деле, подставляя в условие (5) выражение (6) для Х, мы получим ,, ~ нгаг( (7 ~ << 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
