Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Этот способ мы будем постоянно применять в дальнейшем. 9 3. Уравнение Шредингера для гармонического вибратора Рассмотрим пространственный гармонический вибратор с энергией Н (р2 + р2 + р2) + л2 (222х2+ ы292+ 222г2) (!) 2 2 ! ') См. формулы (5) и (б) $ (4 гл. И! ч, !.
Такого рода модель может соответствовать молекуле с тремя колебательными степенями свободы. Для нахождения собственных функций оператора энергии применим способ, упомяну. тый в конце предыдущего параграфа, и постараемся найти такие операторы, которые коммутировали бы между собой и !оо ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА !ч. и с оператором энергии. Такими операторами 1х Н'ы = — р' + — тоззхз 2т х 2 1 1 ноп = — рз -1- — тмзуз 2т е 2 Н1" = — р- + — тм2е-. 1 2.2 2т х 2 будут, очевидно, (2) К уравнению (3) мы можем присоединить три уравнения Н1х1ф = Е1х'2Р Нм'ф = Е1У'2Р Н!"111 = Е!'1 2Р (4) причем Н = Н'х1+ Н1м+ Н"! Е= Е1х'+ Еко+ Е", (6) Так как все трн уравнения (4) одного н того же типа, то достаточно рассмотреть какое-либо одно из них, например первое, т.е., другими словами, рассмотреть вибратор в одном измерении.
Мы имеем — рз + — тазхз) 2(Г= Е'"2Р ( — '- ! „1 2т х 2 (7) или — — — + — тм х АР= Е'ф ,2 2 — 1х1 2т Нхх 2 (72 ) Положим Е! х! = Х. ~/ —,.„, ° х = в, (8) Тогда уравнение (7) напишется Ох,хх — —,+Е222 =ЫФ (9) Обозначим через ф'(в) решение этого уравнения, тогда решение уравнения (3) для пространственного вибратора будет ф (х, у, г) = 2(12А ( ~/ — „— ° х) ° ф' ( ~/ т у) х х р~,(~/ — „".
) (10) причем, согласно (6), Е = Л(ь21дз+ а!272+ ьзззз) (11) Таким образом, вся задача привелась к исследованию уравнения (9), которым мы сейчас и займемся. ВИБРАТОР В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ 1О1 2 4. Вибратор в одном измерении Рассмотрим уравнение д24 2ь22Р 2?, ф д42 2 Щ Тогда уравнение примет вид 22 2ь2 2?,„ дЬ Будем искать г в виде ряда )=аэ+Ь+ — + ... Подставляя (4) в (3), будем иметь а2$2+2аК+Ь2+ 2ас+ а+ ... =$2 — 2Л. (2) (3) (4) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 5, получим а'=1, Ь=О, (2с+1)а= — 2Л. (5) Соответственно двум значениям а = .+ 1 получаем два воз- можных решения ?+— 1 г=е — — + . 2 л —— 1= — $+ — +" ) 2 $ (42) Беря интеграл от обеих частей (2), получим для первого решения 2 Л 2) так что (б) Так как коэффициенты уравнения остаются при конечных $ конечными, то единственными особенными точками его являются $ = + ОО и В = — ОО, Нам нужно найти такие решения, которые оставались бы конечными при $ = ~ ОО.
Такого рода решения существуют, как мы увидим, лишь при некоторых определенных значениях параметра Л; эти значения и являются характеристическими числами уравнения, т. е. собственными значениями соответствующего оператора. Чтобы исследовать уравнения при В- + ОО, произведем под- становку теогия шгедингег» 102 ~ч. ~г и для второго решения ф,=е ' $ '(1+ ...) (6*) где невыписанные члены убывают с возрастанием модуля Общий интеграл уравнения (1) будет при больших положительных э иметь вид ф=с,е' $ '(1+ ...)+с,е е $»(1+ ...) (7), и при больших отрицательных »Р=с|е' э ' (1+ ...)+с,'е ' $ з (1+ ...). (7») Нам нужно, чтобы ф оставалось конечным при $ =+ оо и при ~= — со, а это возможно только, если одновременно с,=О, с',=О.
(8) Таким образом, то решение нашего уравнения, которое нас интересует, должно быть вида и »Р=е ' Р($), (9) где Р(~) при $=-~ со должно быть порядка 5» '». Найдем дифференциальное уравнение для Р(э). Подставляя (9) в (1) к сокращая на показательный множитель, получим —,— 2э — „. +(2Х вЂ” 1) Р=О. (10г Р= ~ аД". »=о Подставляя (11) в (10), получим ~, е(е — 1) а»э»-»+ ~„( — 2/г+ 2Х вЂ” 1)аД~=О. (11> В первой сумме множитель н(е — 1) обращается в нуль при А = 0 н А = 1 так, что суммирование можно начинать со значения я = 2.
Если теперь заменить в этой сумме я на е+ 2, то новое й будет пробегать значения от 0 до со, и мы получим [(й + 2) (й + 1) а»е, + ( — 2й + 2Х вЂ” 1) а») ~» = О. Будем искать решение этого уравнения в виде ряда по степеням $. Так как $ = О не есть особенная точка, то ряд этот будет содержать только целые положительные степени $, т, е. он будет вида ВИБРАТОР В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ 133 Чтобы сумма степенного ряда равнялась нулю, необходимо, чтобы все коэффициенты равнялись нулю, откуда 2» — 2Х+ 1 а»4.2 (» 1 2)(» 1 1) а» (12) По этой формуле можно последовательно определить коэф4рициенты ам причем первые два коэффициента ао и а, остаются произвольными. Ряд для г (3) будет иметь вид + ( в+ 3 — 2)4 З+ (3 — 2Х)(7 — 2Х) Ео+ 2 ° 3 2 ° 3 ° 4 ° 3 (14) г й) = попой) + а4г й)» (15) г" ( — »)=а»Рой) — а~р й) Следовательно, выражения аого($) и а4Р~ й) в отдельности должны быть порядка не выше $»-'А.
Теперь возможны два случая: либо оба ряда го и г', продолжаются до бесконечности, либо хоть один из них обрывается. В первом случае они будут сходящимися при всех значениях $, так как отношение двух последовательных членов, равное а»42$ + 2(4 24 + 1 а»й» (»+ 2) (»+ 1) (16) стремится к нулю с возрастанием и. Но из той же формулы (16) видно, что все члены ряда, начиная с некоторого (для которого 1х й ) 7, — — ) будут одного знака.
Следовательно, ряд будет со- 2 7 держать, с одним и тем же знаком, сколь угодно высокие степени $, и сумма его будет возрастать быстрее всякой конечной степени $, что противоречит нашему условию (порядок не выше ф»-ч). Отсюда следует, что ряд непременно должен обрываться. Но это возможно только, если при некотором й, скажем при й = и, коэффициент а»42 равен нулю, тогда как а» ~ О. По формуле (12) это будет иметь место, если где через го и Р, обозначены соответствующие ряды. Когда !31 возрастает, функция г"(3) должна быть порядка !5~» "' как при положительных, так и прн отрицательных значениях $. Но мы имеем 1О4 теоРия шРединГеРА (ч. 1ь Если л четное, то г",($) будет полиномом, н, полагая а, = О, мы получим решение, удовлетворяющее поставленным условиям; при и нечетном полнномом будет г4(5), и мы должны положить аз = О, В обоих случаях решением будет полином степени п. й 5.
Полиномы Чебышева — Эрмита Полиномы, представляющие решения уравнения 4(4Р 41Р— — 25 — + 2пР = О 142 при целом л, носят название полиномов Чебышева — Эрмита и обозначаются символом Н„($). Формула (13) 5 4 дает для них выражение (2) при и четном и при л нечетном. Постоянные а, и а, принято определять так, чтобы коэффициент при старшей степени в был равен 2". Для этого нужно положить (п четное), (4) (п нечетное). (5) Если расположить полиномы Н„(в) по убывающим степеням 3„ то получатся выражения Н.й)= д)л л (л — 1) д)л-з 1 л (л 1) (л — 2) (л — 3) д)л-4 (б) 1 справедливые как при четном, так и при нечетном и. Покажем, что полипом Эрмита может быть представлен в ниде Н„(З) =( — 1)" еи — „е ~*. (7) Прежде всего легко видеть, что выражение в правой части (7) есть полипом, старший член которого есть (2Ц" в самом деле, этот член происходит от п-й степени производной от пока- ПОЛИНОМЪ| ЧЕБЫШЕВА — ЭРМИТА |ов зателя — $з.
Так как уравнение (!) имеет только одно решение в виде полинома, то для доказательства равенства (7) остается показать, что правая часть (7) удовлетворяет уравнению (1). Для этого заметим, что функция у =е-М удовлетворяет урав- нению у'+ 2$у= О. Дифференцируя это уравнение в+ 2 раза, получим у(п+3)+ Цу(л+1)+ (2п+ 2) у(л) О яли гл + 2$г' + (2п + 2) а = О, Š— у(п) Полагая, наконец, дл и) =енз =ем — „и е 1', получим для ш уравнение п)п — 2$(В'+ 2лп) = О, совпадающее с уравнением (1) для Н,(~), Таким образом, формула (7) доказана.
Дифференцируя уравнение д Оп —" — 2$ —." + 2ПН =О дь' дй л (8) по '„., получим дгн дн —." — 2$ —." + (2п — 2) Н„'= О. д" 2 дй Полипом Н'„(В) удовлетворяет, следовательно, тому же уравнению, как и Н„)(В), и может отличаться от него только множителем. Так как старший член в Н„' есть 2п(2$)" ', а в Нп, он равен (2$)" ', то мы имеем равенство (9) С другой стороны, дифференцируя выражение (7), имеем — „" =2БНп — Нплп дггп дп (10) | фп($) =спе Т НРЯ) (12) Сравнивая оба выражения для производной, получаем рекуррентную формулу, связывающую три последовательные поли- нома Эрмита Нп ь, — 2ВНп + 2ЛНп, = О.
(11) Функции 106 ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА !Ч. 1Г являются собственными функциями оператора в левой части уравнения — — „~," + ~'ф„=(2п+ 1) 1р„ (13) и поэтому обладают свойством ортогональности ~ Ф,Я)$„($)гав=О при п~п'. р (14) ~ Ф'„-(е) 6=! (15) или е-нН',($) де= —,. СО Р (16) Вычислим этот интеграл. Заменяя Н„его выражением (7) будем иметь НР =( — 1) „— (е И)Н„(6)е16, Интегрируя и раз по частям, получим ! () и"и с з л1" Р З Г!"ГГ„ но †„ „" есть постоянная, равная —" = 2"и!. л1Р Поэтому + ЯΠ— =2"и! ~ е м11$= 1/ГГ ° 2"и!. 2 л ОФ (17) Следовательно, функции 1 ф„я)= е е Н„($) 1/ я 1/2 "п! (18) Чтобы они были нормированы, нужно определить постоянную с„.
нз условии кхноническое пгеовплзовхние для вивпхтопх !от %м /и /и+ ! ~~2ф" '+ т/ 2, (20) а подставляя (20) в (19), будем иметь — — ,/ 2 фл-! — ~/ 2 фвь! (21) В заключение приведем без вывода асимптотическое выражение для ф„($), справедливое при условии 2п — Зт » 1: ф Я)= ~/— /2 ! гг а - т' и 4 ~1 2) соз ~~п + — ) агсз!и =+ ,/2. - ~ + — '- т/2п — ~з — и — "~. (22) 9 6. Каноническое преобразование на примере вибратора При решении задачи о вибраторе мы пользовались в.качестве независимой переменной координатой $, так что состояние вибратора описывалось функцией фД).
Возьмем теперь в качестве независимой переменной квантовое число и — номер уровня энергии вибратора. Функция ф(Д может быть разложена по собственным функциям оператора энергии ф5)= Х с„ф„5), (1) где коэффициент разложения с„= ~ ф,($)ф„Я)сЦ (2) может быть истолкован, как мы знаем, как волновая функция, выраженная в переменных п.
Найдем вид простейших операто- ров !ПИ д ! и этих переменных. Имеем й(ь) = Е с.зФ.(в) будут ортогональны и нормированы. Если подставить в (9) и (11) выражение Н„через ф„, мы получим — "+ вф„= 42пф„ теоРия шРединГеРА 1ч. н Заменяя здесь еф„его выражением (20) э 5 и группируя члены, получим еф (е) = ~ ('Т1/ 2 с„-1 + ~// 2 с ~~) ф (э) (4) л=О Таким образом, оператор е переводит функцию с коэффициентами разложения сл в функцию с коэффициентами разложения с'„, где $С =С =.А/ — Сл, + О~ Сллн (5) причем символ е следует понимать здесь как оператор. Это равенство можно записать в виде С„' = ~ (и (Е1/О) СА, (6) где /и /л+1 (й1Е ~/О) ='~~ 2 бл 1 А+ ~~/ 2 блГ! й~ (7) так что (и 1В 1 — 1) = ~/~ †,", (п1 В ~ + 1) = ~/ " + ', (5) тогда как остальные элементы равны нулю.
Таким образом, оператор для координаты О может быть представлен в виде матрицы с элементами (7). Эта матрица имеет вид (9) О рассмотрим теперь оператор 1 и Р Ф ' %' Повторяя прежние рассуждения, заменяем в формуле Р= — // с— лтл л,р л=О производную — ее выражением из (21) $ 5 и группируем члены ичл йе Реф=,' (/ ~/'-," сл, -1~/"+2' сл,,,) (1О) О з/1/2 О з/ 1/2 О О О О А/1 О О з/Т О А/ з/2 О О л/3/2 О у2 ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА ио !Ч.
11 Аналогично получаем для р': Беря полусумму этих выражений, получаем —, [(П! $' 1И') + (П ! РЕЕ ! И')~ = [И ~ Н 1 И'] = (И + — 1 6 „(!йа) как зто и должно быть. Правило коммутации для З и р!! 1(раз — ь~л)=1 (18) должно, конечно, также удовлетворяться нашими матрицами. По правилу умножения матриц, мы имеем (и ~ р,' ~ и') = ФП(и — 1! бл-1 л' а бал' а '!I(и+ 1) (П+ 2) ба+2 а ю ( 1$Р ~И')= — Уи(И вЂ” !)Ьл ал + + блл' л 'л/(п+ 1)(и [ 2) баэз а г откуда (И ! 1' (Р $ — ЗР ) [ П') = бл,, (19) что и требовалось доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
