Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Например, оператор для количества движения р„ может быть представлен для д всякого 1 в виде р„= — 1й —. Если в начальный момент вредх ' мени 1 = 0 данная величина имела определенное значение, например р„равнялось р„', так что р„ф = р„'ф (1 = О), (!) то в момент времени 1 она может, вообще говоря, принять другое значение или стать неопределенной. В нашем примере (1 > 0).
(2) Так как вид оператора (р„) по предположению остается неизменным, то должен измениться вид функции ф Таким образом, если принять такое представление операторов, в котором их математическая форма не зависит от 1, то состояние системы должно описываться функцией ф, зависящей от времени. Эта зависимость может быть символически представлена в виде ф(х, 1)=Я(1)ф(х, О), (3) где 5(1) — оператор, зависящий непрерывным образом от времени и обращающийся прн 1 = 0 в единичныи оператор 5 (О) = 1.
(4) ОснОВАния кВАнтОВОН мехАники [ч, ! Оператор 5(~) мы предположим унитарным 5+И)5(~)=), 5Р)5+(()=), так чтобы условие нормировки сохранилось для всех г ~$(х, ~)ф(х, г)Нт= ~ф(х, 0)ф(х, 0)ат. (6) Рассмотрим теперь другой способ представления операторов. Мы знаем, что унитарной подстановке (3) над функцией ф соответствует унитарное преобразование операторов вида Л (~) = 5+ (т) Ь5 (~), (7) причем уравнения Ф'(х, г)=7.р(х, т), (8) ч3> (х) = й' (~) ф (х) (8') эквивалентны, если ф (х) =5+ф (х, т), ф(х) = — 5+ф(х, г).
(9) (9*) Упомянутый второй способ представления операторов будет заключаться в том, что оператором для величины ь' в момент времени г мы будем считать Л (х) =5+ь5. (7") Различию между обоими способами представления операторов соотввтствует различие в способах описания состояния, а именно, в первом способе состояние описывается функцией от координат и времени, а во втором способе — функцией только от координат, причем время может входить только как параметр. Если начальное состояние было ф(х) =ф(х, О), то состоянию во время г будет соответствовать, при описании по первому способу, ф(х, 1) =5(1) ф(х), (3") а по второму способу — по-прежнему ф (х).
Чтобы узнать, будет ли величина Л во время т иметь определенное значение, нужно, по первому способу, посмотреть, будет ли функция ф(х, () формулы (3') собственной функцией оператора 7., а по второму способу — будет ли ф(х) собственной функцией оператора Л'((). Таким образом, в первом способе от времени зависит вид волновой функции, а во втором способе— з щ ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ ВО ВРЕМЕНИ б9 вид оператора.
Очевидно, что оба способа вполне эквивалентны. Чтобы найти закон изменения состояния во времени, т. е. оператор 5(г), примем второй способ описания. Так как здесь изменение состояния физической системы проявляется в изменении вида оператора, то естественно толковать производную по времени от оператора для данной величины как оператор для скорости изменения этой величины во времени. Такое толкование можно рассматривать кзк определен не Оператора для скорости.
Найдем производную по времени от оператора 7.'(1), причем примем во внимание возможность явной зависимости от времени оператора 7.МЫ получим ~й д1 + (10) (11) 155+ = — Н', д (15) будет самосопряженным. Вводя в (!2) оператор Н" и пользуясь при этом (14), получим — = — + — (Н'7. — ЕН'). дт.
дЕ Е Ж д~ В (16) Второй член здесь имеет вид квантовых скобок Пуассона, так что мы можем написать — = — +(Н Ц. Н. дЬ д1 д~ в (17) где точкой обозначено дифференцирование по времени. Переходя теперь к первому способу представления, мы должны будем применять унитарное преобразование, обратное (7), к опе- Ж; ратору (10) и определить —, как Н ' ~И. дт.'(11 + сй П Вычисляя это выражение, будем иметь гй д1+ + (12) Но оператор 5(1) — унитарный, так что 55+ = 1, (13) откуда, дифференцируя по времени, получаем 55+ + 55+ = О.
(14) Это равенство показывает, что оператор 155+, который мы 1 * обозначим через †Н: Ь 70 ОснОВАния кВАнтОВОИ мехАники Ве Г Написанное в таком виде выражение для производной по времени совпадает по форме с классическим, если оператор Н' будет оператором энергии Н. Мы примем здесь это предположение. Независимо от классической аналогии оно вытекает из закона сохранения энергии и из правила частот Бора. В самом деле, по закону сохранения энергии мы должны иметь — = — ' (Н*Н вЂ” Н Н') = О, (18А если только оператор энергии Н не зависит явно от времени Это равенство будет выполняться для любой механической си- стемы, т.е'.
при любом виде оператора Н, только в том случае, если Н'=1(Н). (19) Вид функции ((Н) можно было бы установить на основании правила частот Бора. Оставляя вид 1(Н) неопределенным, мы получили бы для частоты света, излучаемого при переходе с уровня Е на уровень Е', выражение = — „() (Е') — 1 (Е)], (20) которое совпадает с экспериментальными, если 1(Е) = Е. Обратно, если бы мы, на основании классической аналогии, положили Н" =— Н, мы могли бы вывести закон сохранения энергии и правило частот Бора.
Таким образом, можно считать установленным, что Н = Н* = (лЮ (217 так что выражение (16) для производной оператора Л по времени напишется — — + — (НŠ— ЕН), ВЛ Г (22) нли — '„',=';, +(Н, Ц. (23) Но ф(х, О) =5+(1)ф(х, 1), Эти уравнения носят название квантовых уравнений д в и ж е н и я. Если мы будем считать оператор энергии Н известным, то формулы (3) и (21) дадут закон изменения состояния системы во времени. В самом деле, дифференцируя (3) по времени, имеем Ж( ' — ) = 5(1) Ф(х, О), ГеизенБГРГОВЫ мАТРицы поэтому (24) Заменяя 5о" его выражением (21), будем иметь Нф — (й — = О. дв щ (25) Это уравнение принято называть волновым уравнением, хотя оно и не принадлежит к тому типу уравнений, которые в математике называются волновыми.
Волновое уравнение можно было бы получить и на основании следующих формальных соображений. В классической механике энергию Н можно рассматривать как взятый с обратным знаком обобщенный момент, сопряженный с временем: И= — р, (26) и по аналогии с операторами р„, р„, р, можно было бы написать а рс= (й щ ' (27) Приравнивая результаты применения к функции ф операторов Н и — р„мы получили бы волновое уравнение (25).
Против этого вывода можно было бы возразить, что вид оператора р„ был получен из условия (р„, х~) = 1, тогда как мы не рассматривали скобок Пуассона для энергии и времени. $14. Гейзенберговы матрицы Тот способ представления операторов, в котором зависимость от времени переносится на самый оператор (мы его называли в ч 13 вторым способом представления), может быть осуществлен следующим образом. Пусть Фн(х), ф (х), ..., ф,(х), ... удовлетворяющее начальным условиям ф„(х, 0) = ф„(х). Можно показать, что полученные решения ~К(х, 1), $, (х, 1), ..., Ф„(х, 1), (3) представляют замкнутую, ортогональную и нормальную систему функций, например, собственных функций какого-либо оператора. Найдем решение ф„(х, 1) волнового уравнения Нф — И вЂ” 1' =О, дч (2) ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ !Ч.
! будут представлять замкнутую, нормальную и ортогональную систему функций для всех значений Е Это справедливо даже и в том случае, когда оператор энергии Н зависит явно от времени. Разложим функцию ф(х, О), описывающую начальное состояние системы, в ряд по функциям (!) ф(х, О) = Х с„ф„(х). (5) Тогда состояние в момент времени ( будет описываться функцией ф(х, !) = Х с„ф„(х, !), (6) где с„— те же постоянные, что и в формуле (5). Если мы примем за независимую переменную число и (номер функции ф,), то в этих переменных состояние как в начальный, так и в любой последующий момент времени будет описываться одной н той же функцией от п, а именно: с(п) =с„. Следовательно, в этих переменных вся зависимость от времени переносится на вид операторов, так что для получения искомого их представления достаточно перейти к переменным п.
Нетрудно найти матрицу (ядро) какого-либо оператора Е в переменных и. По общей формуле (!3) $9 мы будем иметь (и ~ Е (!) ! п') = ~ ф„(х, !) Еф„(х„!) Нт. (8) Такое представление операторов обладает тем свойством, что Н. элемент матрицы для оператора —, представляющего скорость Ж ' изменения оператора Е во времени, равен производной по времени от элемента матрицы для оператора Е: (9) Это вытекает из того, что вся зависимость от времени перенесена на вид оператора. Формулу (9) можно, впрочем, доказать и непосредственно (см.
аналогичное доказательство в $ 4 гл. !'у). В наших рассуждениях мы предполагали, что функции ф„ образуют дискретный ряд, например, являются собственными функциями какого-либо оператора с точечным спектром. Это предположение, однако, не существенно. Функции ф могут быть собственными функциями оператора со сплошным спектром, а роль целого числа п может играть непрерывный параметр.
По- ГБИЗБНББРГОВЫ МАТРИЦЫ уз ложим, например, что решение волнового уравнения, которое при ! = 0 приводится к 'Р (х 1) 14 =а = гг (х) (1О) может быть представлено в виде ф (х, () = $ ф (х, 1; хе) Р (х.) 4(х,. (11) Тогда формула (11) заменяет формулу (6), причем функция 4Р(х, 1; хо) игРает Роль ф„(х, !), паРаметР хе — Роль Целого числа и и функция !(хе) — роль с„.
Сравнение формулы (11) с определением (3) 3 13 оператора 5(1) показывает, что функция 4Р(х, 4; хе) есть ядро Е(!). Заметим, что в некоторых простейших случаях (свободный электрон, электрон в однородном электРическом поле, вибРатоР) фУнкЦиЯ 4Р(х, 1; хо) выРажаетсЯ в конечном виде "). Особенно важную роль играет, ввиду его простоты, а также применения к вычислению излучения атомов, то представление операторов, которое получается, если в качестве функций (1) взять собственные функции оператора энергии Н (мы предполагаем, что Н не зависит от времени). Пусть Н4р„(х) = Е„ф (х). (12) Решением волиого уравнения (2) с начальными условиями (3) будет, очевидно, г Тр„(х, 1)=е " "ф„(х). (13) Выраженные через эти функции элементы матрицы будут иметь вид (и ! ь (1) ! и') = е " " " ~ 4Р„(х) Еер„(х) г(т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
