Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 8
Текст из файла (страница 8)
5 6 предыдущей главы). Например, если в системе с одной степенью свободы за независимую переменную взята координата х так, что операторы действуют на функции от х, то оператором для координаты будет умножение на х. Если бы мы вместо координаты взяли за независимую переменную другую величину, например, энергию, то оператор для энергии имел бы вид умножения, тогда как оператор для координаты имел бы другой, более сложный вид *). При рассмотрении системы с несколькими степенями свободы может возникнуть вопрос, какие величины можно брать за независимые переменные и можно ли брать в качестве таковых л юбую комбинацию величин (например, энергию, одну из координат и одну из составляющих количества движения для системы с тремя степенями свободы).
Ответить на этот вопрос можно при помощи следующего рассуждения. Операторы для независимых переменных представляют простое умножение и, следовательно, коммутативны; но это значит, что в качестве независимых переменнгнх можно брать только такие величиньд операторы которых между собою коммутируют. Судить же о том, какие величины коммутируют и какие — нет, мы можем на основании аналогии между классическими и квантовыми скобками Пуассона. Электрон описывается в классической механике как материальная точка, обладающая тремя степенями свободы. Координаты электрона обозначим через У = хе х=х„ е=хз и моменты, соответствующие этим координатам, через Рх=р~ Ре=рм Рх=рз (2) Классические скобки Пуассона для этих величин равны «хм х,«=б, «рм р~« =б, «р, х~] =б (3) Постараемся перевести это описание на язык квантовой механики.
Мы предположим, что квантовые скобки Пуассона имеют тот же вид, что и классические, причем под операторами 0 и 1, ") Си, пример в $6 гл. 1 ч. Н. ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОИ МЕХАНИКИ 44 1ч. ! стоящими в правых частях равенств (3), мы будем разуметь операторы умножения на 0 и на 1. Если мы будем считать, что координаты электрона могут принимать все вещественные значения от — оо до + ео, то уравнения (3) позволят нам найти вид операторов для ХА и рм Прежде всего уравнения (3) показывают, что операторы для хн хь х, переместительны между собой; следовательно, мы их можем взять за независимые переменные, так что объектом действия всех операторов будут функции ф (Х, У> г) = ф (Хн Хм Хз).
(4) Далее, уравнения (3) дают — (р„х — хр„)ф = ф в (руу — ур ) ф ='Ф* В(рг грк)ф Операторы д р= — й — „. р= — 1д к дк' У дг д являются, как мы знаем, самосопряженными и удовлетворяют этим уравнениям, так как мы имеем, по сокращении на В, 1ркь х)ф ~ д (хф) — Х д д д$ (7) Но р„', п',, р,' должны также удовлетворять условиям М РЙ= д (РАРс Р~РА))=0 и аналогично для координат у и г. Чтобы найти самый общий вид операторов р„, р„, р„ положим Р„= ~~д +ч; Ру= Вй д +Удю Р,= ~а дг+У; (3) д к . д,, д Из уравнений (3) следует тогда, что дьхс — хпуА=О (й, 1=1, 2, 3), (9) т.е.
что у„, д„, д, переместительны с х, у, г. Кроме того, они должны быть самосопряженными. Следовательно, они представляют операторы умножения на вещественные функции от х, у, г так, что, например, р„'ф'= — И вЂ” +д„(х, у, г)ф'. (1О) опят»тоны для кооядинхт и моментов % н дх (Чсф ) + Чь дх дх (Чхф ) Чс дс. д, дс(с' д, да' т.
е. откуда — — — =о. де, дд„ (11) дх дх Следовательно, Ч„, Ч„, Ч, суть частные производные по х, у, а от одной и той же весцественссой функции от координат, так что '»1 д дх дс(с' д1 ~ 1 рф= — И вЂ” + — ф,~ дс(с' д( х дв ду Покажем теперь, что путем подстановки над функцией ф мы можем привести операторы (12) к более простому виду (6). В самом деле, положим (12) с — с(х, м»с ф'=е " ф н найдем вид оператора р„'. Мы имеем да — „С( . д4' д1 с~) с — И вЂ” = е» ( — И вЂ” + — ф'~с = е" р' ф'.
дх ~ дх дх )» Сравнивая (14) и (15), получаем р'ф = — И— дс1с » дх' (13) (14) (15) Р»=Р» Рх=рх (16) Таким образом, преобразованные операторы имеют вид (6). Связь между р„, р„, р, и р„', р„', р', дается формулами — с р„=е" р„'е с с р,=е" р,'е Присоединяя сюда аналогичные уравнения для у и з, можем написать ОснОВАния кВАнтОВОи мехАники 1ч. ! 5 4. Собственные значения и собственные функции оператора количества движения Мы установили на основании аналогии с классической механикой, что операторы для прямоугольных составляющих количества движения имеют вид д Р» = — И— дз дз ' д Найдем собственные значения и функции этих операторов. Если мы обозначим через Р'„, Р„', р,' собственные значения р,, рк, р„то уравнения для собственных функций напишутся дзюдо~ — И дз д4,и> — И— ду ~з~ — 16— д» Р~ зри) , ф<з> (2) Решение первого из этих уравнений есть Фи = 1ш (у, а) е " х (3) где РИ не зависит от х. Чтобы это решение оставалось конечным при всех значениях х, необходимо и достаточно, чтобы р„' было вещественным числом, Таким образом, собственные значения оператора Р„образуют сплошной спектр в промежутке от Мы будем предполагать, что это преобразование сделано с самого начала, так что под операторами для моментов Р„ Р, Р„ действующими над функциями от координат, мы будем разуметь операторы (6).
То обстоятельство, что оператор для одной и той же физической величины может иметь различный вид [например, (6) и (12)], причем переходу от одного вида к другому [формулы (17)] соответствует определенная подстановка над функцией зр [формула (!3)], является характерным для квантовой механики. На первый взгляд может показаться, что имеющийся здесь произвол влечет за собой неоднозначность ее законов. Однако это не так.
Все величины, которые могут быть сравпены с опытом (например, собственные значения операторов), получаются вполне однозначно, так как они инвариантны относительно тех преобразований, которые остаются произвольными.Мы вернемся ниже (в 5 12) к этому вопросу. совстввнныв значения 47 — со до + оо. Аналогично напишутся решения остальных двух уравнений фо'=гсв(г, х) е" ", ф"> =1'з'(х, у) е" '. (3") Легко видеть, что три уравнения (2) имеют общее решение ф~ ~ ~ фтл „~,о1 (4) — (Мфти +ея 1 2~3 ) где ф = се" " " ', причем е есть постоянная, которая может, впрочем, зависеть от р'„, р'„, р,'. Значение этой постоянной мы определим из условия нормировки. Для этого рассмотрим сперва одномерную задачу и положим — хр ф=се" Условие нормировки в этом случае будет 1см.
гл. 11, $7, формула (20)] 1пп — ~ ~ АЧ' 1"-Их=1, 1 ы~-~о ЬР (6) где о+ад АТ= 1 ф(х, р)Ыр. (7) ( Ь ~ "Р хЬР ЬЧ' = с —. е " т,е" — 1) = 1х Далее, + э + О з1п2 з = 2йсс ~ —,, Н$ = 2пйсс, (9) О ибо, как известно, — ~(~ = и. з1вй з $ (10) В данном простом примере можно удовлетворить условию нормировки, считая, что с не зависит от р. Мы имеем !ч.
! ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 48 Условие (6) дает теперь с==сук ! Ч/2па (11) где а — вещественная постоянная, которую мы можем положить равной нулю. Таким образом, нормированная функция ф(х, р) будет — кр ф(х, р) ==е" Ч/2па (12) Разложение произвольной функции по собственным функ- циям оператора р„напишется, согласно формулам (21) 5 8 гл. 11, +а )(х)= — ~ е" ~р(р)др, Ч/2па (13) где + ~(р)= = „е " ~(х)а'х.
~/2 па д (13') Эти формулы представляют собой интегральную теорему Фурье. Переходя к случаю трех переменных, мы должны будем на« писать условие нормировки в виде Рк Рк Условие (14) будет, очевидно, выполнено, если ф(Х> У, 2! Рк' Ру, Рк) ф(Х; Р„) чу(у! Ру) ф(2! Рк) = — е" ! — (крк+УР +крк) (2яа)'А (16) Разложение произвольной функции от трех координат напишется теперь в виде тройного интеграла. 1пп... Щ1ЛЧ")У!яхт(уу(2=1, (14) Ар,' Вру' Ар.' З где Р +Ар р +Ар р +Ар у Л'4Р= 1 а!р'„1 р(р„' 1 т2р, 'ф(х, у, 2; р„', р', р,'). (15) КВАНТОВОЕ ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ й 5. Квантовое описание состояния системы Мы видели в $ 5 гл.
П, что собственное значение оператора выражается через соответствующую собственную функцию по формуле ЗАФИ дт Х= ~ Идт (2) является одновременно собственной функцией всех трех составляющих Р„, Р„, Р, количества движения. Она описывает, следовательно, такое состояние электрона, в котором Рк Рк Рр Рр Рк Рк' (3) Что касается остальных величин, например, координат электрона, то в состоянии, описываемом функцией (2), они не имеют определенных значений, ибо ф не является собственной функцией операторов для координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
