Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 5
Текст из файла (страница 5)
д! У4 = — г'— дх уже будет самосопряженным. (!!) $4. Произведение операторов. Правило умножения матриц Произведением двух операторов К и Л называется оператор, состоящий в последовательном применении операторов К и 7.. Если сперва применяется оператор 1., а затем К, произведение их М записывается в виде М= К7.. Если же сперва примеяяется К, а затем 1., то произведение их будет й(= ЕК. Очевидно, что операторы М и У, вообще говоря, будут различны, так что произведение операторов зависит от порядка множителей. Положим, например, что К есть оператор умножения на х, а 7.— оператор дифференцирования по х К)'=х ° 7', Ц= — ~, ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОИ МВХАНИКИ Гч. ! В этом случае будем иметь М~=йЦ=. д'. тогда как д ( ~) О.т +~' д д1 Мы видим, что в нашем примере КЬ Ф Ж, причем (йК вЂ” Дй) 1= —,„( 1) — —,=), д1 так что разность ЬК вЂ” )тЬ в нашем случае есть оператор умножения на единицу ЛК вЂ” КЛ = 1.
(4) Может случиться, что произведение операторов не зависит от порядка множителей. В таком случае говорят, что операторы обладают свойством переместительности нли ко м м у т а т и в н о. сти или, короче,— что они коммутируют друг с другом. В качестве примера коммутативных операторов можно указать опера. торы дифференцирования по двум независимым переменным. Найдем оператор, сопряженный к произведению М=К1..
Мы имеем ~ цМ~от= ~ дК(Ц)йт' Ц=Г Положим Тогда предыдущее выражение будет равно ~;КГ.т = ~(,+.) ~ .т ПО ОПрЕдЕЛЕНИЮ ОПЕратОра АА~. ПОЛОЖИМ даЛЕЕ к а=а. Тогда ~ (К+д) 1' И = ~ д'Ц «(т = ~ Ь "д') гЬ ~ АИКЦ дт = ~ (й+К+д)1йт. (6) Сравнивая это равенство с определением сопряженного опера. по определению Ь~. Подставляя вместо д' его выражение, полу- чим окончательно ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ 5 4) тора 1 дМ1 ( = 1 (М'а) 7 1т, И'=7.+К" (К1.)+ = 7.+К+. получим (7) или (в) Таким образом, оператор, сопряженный к произведению, равен произведению сопряженных операторов, в з я т ы х в о б р а гном порядке.
Если операторы К и й самосопряженные, то их произведение, вообще говоря, не будет самосопряженным, так что (Кй) = ЕК ~ КС. (1О) Таким образом, произведение операторов К7, имеет ядро, определяемое формулой (9). Рассмотрим теперь произведение двух операторов, действующих над функцией от прерывной переменной и могущих быть представленными в виде матриц. Мы имеем (Ц)З=Е7- А, (Ка).
= Х К.1а4 ! (11) Если мы положим то получим а=Ц, (Кц),=ХХКРАЙ (КЦ), = 'Й (К7-),1 11, (12) или (13) Если же самосопряженные операторы К и Ь перемести- тельны, то и произведение их будет самосопряженным. Рассмотрим произведение двух операторов, имеющих ядра К(х, $) и 7.(х, $).
Имеем Ц = 1 Ь (х, 0 ~ 6) 4($, КЦ = 1 К (х, Ь,) А 1 й Во И й) 4($. Выполняя сперва интегрирование по $1 и вводя обозначение К7. (х, $) = 1 К (Х, Е1) 7 (Е1, Е) %1, можем предыдущую формулу написать в виде КЦ=()К7.(х, Иа (Ь. ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ где (14) / Эта формула дает правило умножения матриц. Элементы строки номер и матрицы К (стоящей слева) множатся на элементы столбца номер 1 матрицы Ь (стоящей справа). Рассмотрим матрицу 11 с элементами (1Н, удовлетворяющими условиям ХИсФ~А = бпь ~, (7и(71А = бпь (15) к где, согласно принятому нами обозначению (3) 9 3, и„= О„. + (16) Пользуясь правилом умножения матриц, мы можем записать предыдущие равенства в виде и'(7=1, ии'=1, (17) где под единицей следует разуметь единичную матрицу.
Матрица, удовлетворяющая условиям (17), называется у н и т а рн о й м а т р и ц е й, а соответствующий оператор — у н и т а рн ы м опер втором. Унитарный оператор обладает следующим свойством. Положим (18) или к =ХОА (18*) и составим сумму Х а„а„= Х и,'.„и„ИН Пользуясь свойством (1Б), будем иметь Ха.а.=ХЫИ (19) Таким образом, унитарный оператор оставляет сумму (!9) ин- вариантной. 9 5. Собственные значения и собственные функции операторов Основной задачей в теории операторов является исследование уравнения Ц=А1, (1) где А есть постоянная.
Оператор Е предполагается здесь «нор- % 51 СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ет мальным», т. е. удовлетворяющим условию Самосопряженный оператор является, очевидно, частным случаем нормального. Линейное уравнение, которому можно удовлетворить, положив неизвестную функцию равной нулю, называется линейным од н о р од н ы м уравнением; в частности, таковым является наше уравнение (1).
При исследовании его приходится рассматривать также и предельные условия для функции Г, причем эти условия тоже однородны, т. е. таковы, что им удовлетворяет Г = О. Однородное уравнение с однородными предель. ными условиями составляют так называемую од н о р од н у ю задачу. При произвольном значении параметра Х однородная задача, вообще говоря, не имеет решения, отличного от очевидного решения: Г = О тождественно. Решение существует лишь при некоторых определенных значениях Х; эти значения могут представлять либо ряд отдельных чисел Хо, Хь Ам..., либо все числа в некотором сплошном промежутке. Эти исключительные значения параметра А мы будем называть с о б с т в е н н ы м и з н ач е н и я м и о п е р а т о р а, а соответствующие им решения однородной задачи — собственными функциями.
В математической литературе приняты другие термины, а именно, «характеристические числа> и «фундаментальные функции»; эти термины не являются, однако, удобными для физических приложений. Совокупность собственных значений данного оператора называется его спектром, при этом ряд отдельных собственных значений называется то ч е ч н ы м спектром, а собственные значения, лежащие в сплошном промежутке,— с пл о ш н ы м спектром. Собственные функции, принадлежащие к точечному спектру, обладают тем свойством, что сумма или интеграл распространенные на все значения независимых переменных„ сходятся и представляют конечные числа, тогда как для собственных функций, принадлежащих к сплошному спектру, этп выражения обращаются в бесконечность. В последнем случае рассматривают, вместо самих собственных функций, их интегралы по параметру Х, взятые по бесконечно малому участку сплошного спектра; если в предыдущих формулах подставить ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ вместо 1 такой интеграл, то получатся выражения, которые остаются конечными.
Докажем следующую общую теорему. Собственные значения самосопряженного оператора вещественны. Пусть ~ есть решение уравнения (!). Умножим обе части уравнения на 1 и возьмем сумму илн интеграл по всем значениям независимых переменных. Мы получим или откуда Х 1Е1 ~:11 (3) или Знаменатель дроби для Х есть, очевидно, вещественное положительное число. Покажем, что н числитель его — число вещественное. В самом деле, мнимая часть числителя равна я уе~-юь 2г ~ (~ или ~ 1Ь1гтт ~ игагг1 нгад1ат А— Оба интеграла в последней дроби положительны, а перед дробью стоит знак минус. Следовательно, собственные значения опера- тора Лапласа отрицательны.
а зто выражение, по определению самосопряженного оператора, равно нулю. Следовательно, числитель, а значит, и все выражение для Х вещественно, что и требовалось доказать. В некоторых случаях формула (3) позволяет судить и о знаке собственных значений оператора. Выпишем формулу (3') для оператора Лапласа. Имеем з А! ОпеРАТОР умножения нА незАВисимую пеРеменную 29 Примеры нахождения собственных значений и функций операторов будут постоянно встречаться на протяжении всей книги, так что нет необходимости рассматривать их здесь отдельно. й 6.
Интеграл Стильтьеса и оператор умножения на независимую переменную Напомним сперва обычное определение интеграла как предела суммы. Разобьем промежуток интегрирования от Лз до Л на более мелкие промежутки, вставляя числа Ль Лм ..., Л Л„= Ль и будем беспредельно увеличивать их число так, чтобы даже наибольший из мелких промежутков стремился к нулю. Тогда интеграл от ЛВ до Л можно определить как предел суммы А П $((Л) !Л = Ит ~'ПЛ,)ЛЛ„ м !=! где ЛЛ!=Л! — Л, !. Переходя к интегралу Стильтьеса (О11е11)ез), положим, что р(Л) есть некоторая монотонная возрастающая функция или разность двух монотонных функций, и составим сумму л х ! (Л;) Лр (Л,), где Лр (Л!) = р (Л!) — р (Л!,).
Интеграл Стильтьеса определяется как предел этой суммы при бесконечном дроблении промежутка и записывается в виде ~ ! (Л)г!р (Л) = 1!т ~ !'(Л!)!Лр(Л!). (2) Ад !=! Когда функция р(Л) непрерывна и имеет ограниченную производную, то с точностью до величины высших порядков малости относительно !ЛЛ!, исчезающих при переходе к пределу, можно положить бр (Л!) = р'(Л!) Ы ! Тогда выражение (2) переходит в А А $ У (Л) '!Р (А ) = ~ Р (Л) р (Л) пЛ, (3) А, Аф так что интеграл Стнльтьеса переходит в обыкновенный интеграл.
Но интеграл Стильтьеса может иметь смысл и тогда, когда ао ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОИ АГЕХАНИКИ 1ч. Г функция р(Л) разрывна, т. е. имеет скачки. С таким именно случаем мы имеем дело при исследовании оператора умножения на независимую переменную, если эта переменная непрерывна. Рассмотрим подробнее этот оператор. Уравнение для его собственных функций есть хг(х, Л)=ЛГ(х, Л). (4) х ~ ) (х, Л) (Л = $ Л((х, Л) (Л. Аф м Положим здесь ~ )(х, Л)ГГЛ= Р(х, Ц м и напишем (5) в виде ~ ВГАР (х, Л) = )-Л О~Р (х, Л), (6) (7) где интеграл следует понимать в смысле Стильтьеса.
Этому уравнению можно удовлетворить, положив Р(х, Л)=(, Л'эх,~ Р (х, Л) = О, Л ( х. / (8) В самом деле, все приращения ЬР(х, ЛГ) =Р(х, ЛГ+1) — Р(х, ЛГ) будут равны нулю, кроме одного, которое равно единице н соответствует тем значениям Л, и Л,+„которые удовлетворяют неравенствам ЛГ ( х ( ЛГ+Г. При бесконечном дроблении промежутка это ЛГ приближается к х, и в пределе выполняется уравнение (7). Таким образом, собственная функция )(х, А) оператора умножения на непрерывную независимую переменную не существует, но существует функция Р(х, А), соответствующая интегралу от ) (х, Л), взятому по параметру Л. Этому уравнению мы никакой функцией в собственном смысле слова удовлетворить не можем, так как пришлось бы предположить, что Г'(х, Л) равно нулю при всех значениях х, кроме х=Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
