Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 46
Текст из файла (страница 46)
4=3 (7) или 42» д + а а4314=0, Х дх а 4 д44 4343 АЕ "Ф (9) если мы будем разуметь под а3 единичную матрицу. Сделаем теперь замену переменных (6). Имеем 3 д44 х~ дч — =33 Еа 3 М дх4 Поэтому 3 3 еьа42аА —, + ~ а44р = О. 4=3 А=О дх (10) Умножая волновое уравнение (!) $5 на —, напишем его в виде дс ' (8) 3=4 ан Вид мАтРицы 3 для пРеОБРАВОВАния лОРенцА зоз Если нам удастся найти такую (вообще говоря, не унитарную) матрицу 5, чтобы было з / + а4 = 5 а45 = ~, еаамаа А=а (1 = О, 1, 2, 3), (11) а45 ао + (12) то уравнение (10) можно будет написать в виде з 5+а,5 —, + — 5еа45$ = О, дх4 д (13) а затем, полагая (14) и умножая (13) слева на (5+)-' (т.е.
производя иад четырьмя уравнениями (13) подстановку, обратную 5+), мы получим Х де' !тс аа —, + а44р =О, дх'А а (13) т.е. уравнение того же вида, как исходное (9), с прежними матрицами ам но с новыми независимыми переменными х,', х'„ х,', х,' и с новыми функциями 4РЦ ф'„4Рз', 4Р,'. Таким образом, будет доказано, что если сопровождать преобразование Лоренца подстановкой (14) над функциями Ар, то волновое уравнение сохранит свой вид. Другими словами, будет доказана инвариант- ность волнового уравнения по отношению к преобразованию Лоренца. $ 7. Вид матрицы 5 для пространственного поворота осей и для преобразования Лоренца Мы покажем, что матрица 5 с нужными свойствами действительно существует и, при нашем выборе матриц ам имеет вид ароо тдОО оо ар оойй где а, р, у, б — четыре комплексных параметра, связанных соотношением аб — ру=1 (2) зо4 ТЕОРИЯ ДИРАКА 1ч.
ч и называемых обобщенными параметрами Кэйлей — Клейна (Сау1еу — К1е1п). Сопряженная (адъюнгированиая) матрица 5" будет иметь вид а т 0 0 Ь 0 0 О оат оойа Прежде всего легко проверить непосредственным вычислением, произведя последовательно три подстановки: сперва 5, затем а~ и, наконец, 5+, что уравнение (12) $ 6 выполняется тождественно в силу соотношений (2). Заметим, что, кроме того, выполняется равенство 11з5 пз' (4) Чтобы убедиться, что для любого преобразования Лоренца можно выбрать параметры и, р, у, б так, чтобы выполнялись и уравнения (11) э 6, воспользуемся тем, что как преобразования Лоренца, так и подстановки 5 образуют группу, т.е.
что несколько последовательных преобразований (подстановок) могут быть заменены одним преобразованием того же типа. Самое общее преобразование Лоренца может быть получено последовательным применением преобразований частного вида, например, поворотом координатной системы вокруг осей х, у, г и пре- образования Р С2 ~/ ".2 з — ш 3 (6) Если мы для каждого из этих частных преобразований найдем соответствующую подстановку 5, то подстановка 5 для об. щего случая получится последовательным применением этих частных подстановок.
Мы рассмотрим сперва вращение вокруг оси г, так как для этого случая матрица 5 имеет наиболее простой вид. Формулы для поворота осей напишутся х( —— х, сов ф — хзз!и ф, Х2 Х1 З1пф+ Х2СОЗфу ХЗ=ХЗ~ ! Р ХЕ=ХЕ. (6) Покажем, что этому повороту соответствуют параметры 9 ч а=а ', (1=0, у=О, б=е Ю е О О О с— о е 2 О О (8) Ф е О 'з О О О е Ее можно написать в виде 8 сов т з!п Рза ф ° ° Ф 2 2 или, на основании (25) $4, (9) Я=сов — — зз!и — О. Ф ° ° % 2 2 (10) Мы имеем 5+а, Я = 3 р,а„З = Ф ° ° ф ~ / ф .. ф =р ~~сов — +2 в!п — а )а (сов — — тз!п — О ~= 2 2 =Р„(созф+тв!пфа,)о',=Р (а„созф — оез)пф), так что а~ =3 а,Я=а, созф — азв!пф. + (11) Аналогично доказываются равенства аз=З+азЗ=а, з!пф+азсовф, + ао=о аоз — ОЗ ао = О+ОВЗ = ао. (11') Таким образом, преобразованные матрицы а' выражаются через первоначальные из так же, как преобразованные координаты х' через первоначальные хз, т, е.; другими словами, выполняются соотношения (11) $6.
Рассмотрим теперь поворот вокруг оси х = хт. / х~ =х„ хз = х, соз ф — хз з!п ф, хз = хз втп ф + хз сов ф, хо = хо. (12) Здесь а=сов —, ()= — зв1п —, 7= — звтп —, 6=сов — (13) $ Т! Вид мАтРицы в для пРеОБРАВОВАния лОРенцА 305 так что матрица 5 будет теория дигзкз вов 1ч. ч и матрица 5 будет иметь вид 5=сов — — !в!п — р о, Ф 2 2 3 (14) или 5=сов — — !в!и 2 о . Ф ° Ф 2 2 х' (14*) (16) и матрица 5, составленная при помощи этих параметров, будет равна 5 = сов — — ! в! и — аз, Ф ° Ф 2 2 (17) или 5 = сов — — ! в!п — сгс.
Ф Ф 2 2 (17') Во всех трех случаях повороту вокруг оси хо на угол ф в положительном направлении соответствует унитарная матрица 5 — сов — — з юп — о„, 'Р ° 'Р (16) причем этот результат не зависит от выбора матриц ао. Обобщая это, мы можем утверждать, что пространственному повороту на угол оз вокруг оси с направляющими косинусами 1, лз, и соответствует матрица 5 = сов — — з в!п — (!о„+ то„+ по,).
2 2 (!9) Рассмотрим теперь собственное преобразование Лоренца (5), которое напишем в виде з ХБ=Х,, / хз =х,, хо — — хз l с хо= ,~/! хз — — хо У с Хз = (20) Соотношения (11) $6 доказываются аналогично предыду- щему случаю. Наконец, для поворота вокруг оси у = хз.
х( =хз сов ф + хз в!Пф, l Хо=Хо, хз = — хз Б1п ф+ хз сов ф, I хо = хо значения параметров будут а=сов —, ~= — в!и —, у=в(п —, 6=сов — (16) Ф ° Ф 'Р 2' 2' 2' 2 Фп ВИД МАТРИЦЫ 3 ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 307 Положим — =111и, с с (21) так что (21") В этом случае параметры будут ! 1 а=а ', !)=О, у=О, б=е' (22) и матрица 5, которая здесь уже не будет унитарной, но прн нашем выборе матриц аА по-прежнему будет вида (1), напишется а й — — .13 — ОЗ, З " 3 3' (23) или ч л 5 = с)1 — — з)1 — аз, 3 З 3' (24) л 1' 5 = с)3 — — В!3 — аА 2 2 (26) а для преобразования, соответствующего движению по направ- лению с косинусами 1, т, и, матрица 5 напишется 5 = сЬ вЂ” — ВЬ вЂ” ((а, + та3 + паз). 2 2 (26) Таким образом, во всех случаях можно найти матрицу 5 вида (1), удовлетворяющую условиям (1!) $6.
Тем самым доказана инвариантность волнового уравнения по отношению к преобразованию Лоренца. Заметим, что параметры Кэйлея — Клейна, а значит и матрица 5, определяются для данного поворота лишь с точностью до знака. В наших формулах знак матрицы 5 выбран так, чтобы бесконечно малому повороту, или преобразованию Лоренца с бесконечно малой скоростью, соответствовала матрица, бесконечно мало отличающаяся от 5 = + 1. Легко проверить, что и теперь соотношения (1!) $ 6 выполняются.
Для преобразования Лоренца, соответствующего движению со скоростью О = с !11 и вдоль оси х„, матрица 5 будет теоРия диРАкА 808 й 8. Вектор тока Мы видели, что каждому преобразованию Лоренца соответствует определенное (с точностью до знака) преобразование функций фь фм ЗРЗ, ф4 Эти функции представляют, таким образом, своеобразную геометрическую величину, подобную вектору или тензору, которую можно назвать «тензором половинного ранга» или «полувектором».
Название это оправдывается тем, что некоторые квадратичные комбинации ф преобразуются как четырехмерный вектор. В самом деле, положим А3=4рагф (43=0, 1, 2, 3, 4, 5), (1) или подробнее (при нашем выборе аь) Ао= А,=— (2) Формулы (11) $6 дают тогда 3 АЗ = ф'а4ф' = гРЯ+аЗЯф = фа2ф = х, е«а»ЗА» 3-3 (1=0, 1, 2, 3), (3) а эти равенства показывают, что АЗ, Аь Ам Аз преобразуются как составляющие четырехмерного вектора. Формулы же (12) $6и (4) $7дают А4= А„А,=А„ (4) а зто значит, что величины А« и АЗ суть четырехмерные инва- рианты.
Величины АЗ связаны соотношением Аг + А2+ АЗ+ А4+ АЗ = АЗ. (б) Покажем, что если величины АЗ составлены из функций ф, удовлетворяющих волновому уравиени4о, то имеет место равенство — + — '+ — + — ' =О. длг длг длг 1 дгг дз да да с д4 (6) А,= Аз= А4 —— А,= фгф2 + 4р2ф2 + фЗфз + фгфгг чггчг2 + ф2413 + ф3$4 + 4ргфз — 61324(42 + 11214 + 14334142 1ф4фЗг 'Ф~Ф вЂ” ФЗфг+ ф фЗ вЂ” Фгфг Зри+ ЗргфЗ+ Зрзф» ггггфгг 14)24Р4+ Зф24РЗ Зфзфг+ 4$4фь УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ПРИ НАЛИЧИИ ПОЛЯ Для этого выпишем уравнение (9) 5 6 и сопряженное с ним Х дф Ьоо ໠— + — а,ф=О, дх» Ь » о Х, дР жс — ໠— ( — фа» =О. дх Ь »=о (7) (7') Умножим первое из этих уравнений слева на ф, а второе справа на ф и результаты сложим. Вторые члены в уравнениях сократятся, н мы получим — ($а»ор) = О, (8) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
