Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 47
Текст из файла (страница 47)
е. уравнение (6). Интегрируя (6) по некоторому объему У, ограниченному поверхностью о, получим — ) Ао 4т = — с ~ (А, соз (л, х) + А, соз (л, у) + А»сов(л, г)1 о(т. (9) д Г Физическое значение Ао есть плотность вероятности. Эта величина играет роль фф теории Шредингера. Из сравнения (6) и (9) с формулами (9) и (7) 9 2 гл. ГН ч. Н вытекает, что вектор сА» играет роль вектора 3 теории Шредингера и представляет аналог плотности потока электронов. Классической плотности электричества р и вектору тока рп соответствуют, таким образом, квантовые аналоги р — — уф = — еАо ро» вЂ” — е5» = — ес4а»ф = — есА» (10) (й = 1, 2, 3).
(11) 9 9. Уравнение Днрака при наличии поля. Уравнения движения Выведенное в предыдущих параграфах волновое уравнение для свободного электрона имело внд Нф — (й — = О, доР дО где оператор энергии Н был равен Н = е (а,р„+ а,ро+ аор,) + те»ам (2) Нам нужно обобщить это уравнение на случай наличия электромагнитного поля.
Классическая Гамильтонова функция для поля (9) 9 2 получается из функции без поля, если к этой по- И1О ТЕОРИЯ ЛИРека 1ч, е слепней прибавить потенциальную энергию — еф и заменить «моменты» р„р„р, составляющими количества движения Р„, Р„, Р, по формулам (7) $2. Подобную замену мы делали уже в теории Паули.
Попробуем сделать такую замену и в нашем релятивистском квантовом операторе (2) и положим Н = с!а!Р + аТР„+ азРе) + глс!ае — еф, (3) где Р„=Р„+ — А„, Р„=РР+ — А„, Р,=-Р,+ — А, (4) и под р„, Р„, Р, мы по-прежнему разумеем операторы д . д . д — !'Й вЂ”, — !Й вЂ”, — !е! — . дк ' ду ' дг ' Главным обоснованием такого перехода От уравнения без поля к уравнению для электрона в электромагнитном поле являются следующие соображения. Непосредственно наблюдаемыми физическими величинами являются электрическое и магнитное поля 8' и У6. Потенциалы же являются вспомогательными математическими величинами, определяемыми лишь с точностью до преобразования А' = А+ дга!( 1', ф' = !р — — —, 1 д1 (5) которое оставляет поле без изменения. Мы должны поэтому потребовать, чтобы все физические следствия, вытекающие из волнового уравнения, оставались без изменения при замене А и ф на А' и ф', Это требование будет выполняться в том случае, если такой замене будет соответствовать унитарное преобразование операторов и волновых функций.
Покажем, что последнее действительно будет иметь место, если оператор энергии будет иметь вид (3). Обозначим через Н' оператор вида (3), в котором А и ф заменены на А' и ф' по формуле (5). На основании равенств вида !е !е ~ — !д + (дф + )]фе — а ее [ !й + е ф ~сее ф' (8) нетрудно показать, что если ф удовлетворяет уравнению ((), то функция !е! ф~ — в аеф (7) будет решением уравнения Нф' Рн Ф =О, дч' д! (8) Таким образом, прибавке градиента к вектор-потенциалу соответствует введение фазового множителя в волновую функцию, т. е.
частный вид унитарного преобразования. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ПРИ НАЛИЧИИ ПОЛЯ т — — —,+ — (ОУ- — 1.н), Д1, дА сй Д1 6 (9) подставил! в нее вместо Ь последовательно х, у, г, Р„, Р„, Р, и посмотрим, получатся ли у нас классические уравнения движения, подобно тому, как они получались из теории Шредингера. Полагая Е=х, у, г, получаем дх х= — =са!, Д1 ду у = — =са„ !й де г= — =сае.
Д1 (1О)- Таковы операторы для составляющих скорости электрона. Они не коммутируют между собой, и квадрат каждого нз них равен с', т. е. квадрату скорости света. Собственные значения каждого из них равны ч.-с. Таким образом, выходит, что каждая из составляющих скорости электрона может, будучи измеренной, принимзть только значения -~с. Вопрос о том, имеет ли этот парадоксальный результат физический смысл, остается открытым.
Автор склонен видеть в нем недочет теории Дирака. Положим теперь й=Рк=Рк+ — Ах ДР« и вычислим— сй Л (1'е « Для этого находим сперва РР) — (Р,Р« — Р„Р,) =— (11л ! е А (Р«РУ Ре~ х) е к На основании этого имеем д1 + л (ае (РУР« Р«РУ) + !"3 ( «~ х ЫЫ)1 дР« е ДАх !с 1е Е! дАх д<р Х вЂ” — (уР« — Р,р)=е!л —, д, + д, ! — еа2Ж.+ еа,Ж„, Очевидно, что волновое уравнение (!) с оператором энергии (3) остается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, так как вектор-потенциал преобразуется по тому 1 Д же закону, как градиент, а скалярный потенциал, как — — —. е д1' Кроме того, как нетрудно проверить, по-прежнему будет иметь место равенство (6) 9 8, Формальной поверкой нового волнового уравнения могут служить уравнения движения.
Припоминая формулу (22) 9 13 гл. Ш ч. 1, для полной производной некоторого оператора Е по времени ТЕОРИЯ ПИРХКА [Ч. Ч ИЛИ вЂ” „" = — е(адде, — аеддд) — ео „. (12) Введем теперь операторы х, у, г по формуле (10) и приСРд ИР соединим к (12) уравнения для —" и — *. Мы получим щ т — = — — (удэ', — гФ„) — еР„= Р„, ЙР» е ЯРд е — — е (гМ вЂ” хМ ) — еЕд = Р, ~ХЕ е е д дю ЯР е ж е Эти уравнения в точности совпадают с классическими урав- нениями (2) $2.
9 1О. Момент количества движения и вектор спина в теории Дирака Отсюда, на основании свойств (6) $4 матриц о, получаем Ра (оерд ид) е). Ю Ь е ' д (2) Это и два аналогичных соотношения переписываем, на осно- вании выражений (1О) 5 4 для матриц ад через р и о и урав- нений движения (10) $9, в виде —,— = — уР + гР, Ь рте и и Й еед 2 д! — — — гР, 4- хР е е1 Ь еде —,— '= — кР +уР . д 'е. (3) Рассмотрим теперь производные по времени от операторов о„, ад, о„представляющих обобщение операторов Паули. Для вычисления их удобно выразить по формулам (5) и (10) $4 матрицы ад в операторе энергии (3) 9 9 через р и а и писать этот оператор в виде Н = сре(а,Р„+ одР, + а,Р,) + тс'р, — еФ.
(1) Помня, что операторы а коммутируют с операторами р, находим по общей формуле (9) 5 9 для производной по времени — [(ода„— о,о„) Рд+ (о,о„— о„о,) Р ) % 1м мОмент количестВА движения и Вектоу спинА з)з В классической механике Р„, Р„, Р, пропорциональны х, у, й и правые части уравнений (3) обратились бы в нуль; левые части также были бы равны нулю, так как переходу к классической механике соответствует л = О.
Заметим, что порядок множителей в правых частях (3) безразличен, Правую часть первого уравнения (3) можно написать в виде ч' ~~~ 2 — УР, + УР, = — — (УРх — ЕРу) + у — „— Š—. Если заменить здесь Р, и Р, их выражениями из уравнений движения (13) 9 9, то уравнения (3) дадут ~~ (УР» «~ у+ З Ох)=УР ЕРу ч' л (4) и аналогично l п~ у' / Ь вЂ” хРР— уРх + — о,) — хР— уР . (4*) Этн уравнения можно толковать как аналог закону классической механики, согласно которому производная по времени от момента количества движения равна моменту действующих сил.
Момент количества движения имеет здесь вид У~ х "~7у ерх .У,=хру Эти выражения представляют обобщение тех, которые были подробно изучены нами в разделах этой книги, посвященных теории Паули. Они переходят в выражения Паули, если положить век- тоР-потенциал Равным НУлю (так что Р„= п„Ру = Ру, Р, = Ру) н взять для операторов о„ оу, о, представление в виде двухрядных матриц Паули. Рассмотрим соответствующее обобщение оператора Р ОхР» + оуРу + охР (6) (7) уже изученного нами при изложении теории Паули.
Составим производную от оператора Р по времени, соответствующую оператору энергии (!). Оператор энергии можно выразить через Р следующим образом: Н = со Р + гпсУр, — ЕФ ТЕОРИЯ ДИРЛКХ 314 Отсюда видно, что единственным членом в Н, не коммутирующим с Р, будет член, содержащий скалярный потенциал. Поэтому — = — + — (РФ вЂ” ФР) = дР дР Ге дГ д1 Ь е Р дАх дАР дАхт / дФ дФ дФт = — 1а — "+ а — "+ а — '/ + е~а — + а — +а — ), ехх дг Р дГ х д1 г 'х" дх еду 'дг)' — = — е(а„Ж„+а„а„+ а,Ю,). дР (8) 4(' = а„т + а„т„+ а т, + й.
(9) Мы показали там, что этот оператор антикоммутирует с оператором Р. Поэтому оператор .Ж не будет интегралом уравнений движения теории Дирака даже для свободного электрона. Но в силу того, что матрица р, антикоммутирует с матрицей р„ входящей в первый член выражения (7) для Н и коммутирует с остальными членами, оператор 4(о — — р,М будет, при отсутствии поля, коммутировать со всеми членами оператора Н и тем самым будет интегралом уравнений движения. При отсутствии поля оператор .4' может быть написан в виде .й =а,М„+а„4Г„+а,.й,— — ",, (10) где М„М„, М, имеют значения (5). Будем разуметь под я" выражение (10) также и в том случае, когда входящие в формулы (5) операторы количества движения ЄЄ, Р, содержат вектор-потенциал.
Составим для этого (общего) случая выражение для полной производной по времени от оператора МО = р,Х. Мы будем иметь дав дг'= т(Р-~)= = — ер,(а. (Уа, — гФ„)+ а„(гй'„— хд'.)+ а,(хń— уЕ,)]+ + еуь [а, (УМ. — «Ж„) + а„(гМх — хМ,) + а,(хай„— Удй„)). (11) Таким образом, производная от Р по времени пропорциональна скалярному произведению электрического поля на вектор спина а, и, когда электрическое поле равно нулю, оператор Р будет интегралом уравнений движения. Заметим, что такое же уравнение движения для оператора Р получилось бы и в теории Паули, где оператор входит в выражение для оператора энергии не линейно, а квадратично. В теории Паули мы встречались с оператором зь КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОНА $ и! Правая часть этого выражения обращается в нуль не толькО прн отсутствии поля, но и в том важном для физических приложений случае, когда магнитное поле равно нулю, а электрическое поле направлено по радиус-вектору (центральное поле).
Задача об электроне в поле с центральной симметрией будет рассмотрена в следующей главе. й 11. Кинетическая энергня электрона Если мы в выражении (3) 5 9 нлн (!) $ 1О для оператора полной энергии электрона отбросим член с потенциальной энергией, мы получим оператор Т = с (а, Р + а.,РЕ + азР,) + тс аи (О нли Т = ср (О„Р„+ а„Р„+ а, Р,) + тсср„ который можно толковать как оператор для кинетической энергии, представляющий аналог классической величины ! —— с2 где и — скорость, а р — количество движения электрона. Это толкование подтверждается, во-первых, аналогией между квантовым и классическим выражением для производной от Т па времени и, во-вторых тем, что собственные значения оператора Т по абсолютной величине больше тс'.
Еще ближе будег аналогия, если мы будем сопоставлять классическим величинам не самый оператор Т, а усредненное значение Гейзенберговой матрицы для этого оператора, которое мы найдем в следующем параграфе. Составим прежде всего выражение для производной от оператора Т по времени. Мы имеем по общей формуле — = — + — (НТ вЂ” ТН), дт дг 1 Ж дс а (4) причем (б) Н= Т вЂ” еФ. Но Т зависит явно от времени только через посредство вектор-потенциала, входящего в операторы Р„, Р„, Р,.
С другой стороны, единственный член в Н, который не коммутнрует с Т,. есть — еФ. Поэтому будет дУ Т дАс дАд дА Х Г дФ дш дФ'~ 316 ТЕОРИЯ ДИРАКА ИЛИ вЂ” = — ес (а1ет„+ а,АР + азй',). лт Но в 5 9 мы видели, что, согласно уравнению Дирака, (б*) х = са„у = са„г = саз. Поэтому формулу (6*) можно написать в виде — = — е (х4с „+ уУР + гЕ,). сг (8) Формально это выражение в точности совпадает с уравнением (З) 62.
Чтобы убедиться, что собственные значения оператора Т по абсолютчой величине больше ьчс', составим его квадрат. Мы получим, пользуясь формулой (2) и свойствами матриц р, Тз п44с4 ! сг~Уг (9) Второй член представляет умноженный на сэ квадрат самосопряженного оператора Р = о„Р + оРРР + о Р, (10) уже изученного нами в теории Паули (ч. П!). Если мы обозначим его собственные значения (которые будут вещественны) через Р', то собственные значения Т' будут Т' =с'(т2с'+ Р' ), (11) так что Т' = ~ с ~/ И4'с' + Р' (12) и, следовательно, 1 Т' !) тс'. (13) В формуле (!2) мы написали перед выражением с квадратным корнем двойной знак. Покажем, что в самом деле теория дает для кинетической энергии собственные значения обоих знаков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
