Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Смысл этих новых переменных мы установим ниже. Мы увидим, что они представляют обобшение операторов, вводимых в теории Паули. ния Р„, Ри, Р„а связаны с ними, как и в нерелятивистском случае, соотношениями 4ч. а 294 ТЕОРИЯ ДИРАКА Чтобы установить свойства операторов рз, мы потребуем, чтобы между квадратом энергии и квадратом количества движения свободного электрона в квантовой механике имело место то же соотношение, как и в классической, а именно, Нз тзс4+ сз(рз + Рз + рз) (3) Вычислим квадрат оператора (2), имея в виду, что р» не содержат координат и, следовательно, коммутируют с р„, рх, р,„ но могут не коммутировать между собой.
Мы получим Н2 Р2 1 Рзрз 1 Р2Р2 + ~2рз + + М4+ рхр4) Рх+ (рз(24+ ргрз) Рц+ (рзр4+ ргрз) Р + + (РЯ2112 + РизРЯг) РуРа+ (РЯзРЯ4 + азиз) Р*рх + (Иг+ иЯгеи1) Рхрз. (4) Это выражение совпадает с предыдущим, если будут выполнены условия ргз=тзс4, рз=рз=рз=сз рр +рхрг=О (1~42). (5) Если мы при помощи соотношений Р4=са4, из=сиз, рз=саз, рг=тс а, (б) а новые операторы аз должны будут удовлетворять условиям а'=1, а,а +а„а,=О (г'~Уг), (8) которые можно записать короче агаз+агаг=2бы (г, /г=1, 2, 3, 4).
й 4. Матриць4аДирака (9) Как будет видно из дальнейшего, операторы ах можно рассматРивать как подстановки над четыРьмЯ фУнкциЯми фь 4Р2„2Рз, ф4 подобно тому, как матрицы Паули были подстановками над двумя функциями. Таким образом, объектом действия операторов аз будет совокупность четырех функций, а самые операторы можно представить в виде матриц, составленных из коэффициентов подстановок.
введем вместо рз пропорциональные им операторы аз, то оператор энергии Н напишется в виде Н = с(а~рх+ азрз+азр,) + тс а4, (7) МАТРИЦЫ ДИРАКА Совокупность функций зр«, зрз, зрз, зрз мы часто будем обозначать одним символом зр, а подстановку 'К=" ф +'" Ф +'" Ф, +а4т зрг азззр! + азззрз + азззрз+ о24«г4 13 3! р! + 32«р2 + 33 рз+ 34«р«' 14 4«р! + 42рз+ 43сз+ 44р4 будем писать сокращенно в виде зр =азр, (2) где, следовательно, а есть матрица «4! ! «Зо «З«з «За а ! а„аз, аз, аз! азг азз азз ао аа а«з аа Выразим операторы а„а,, а, а„удовлетворяющие соотношениям (9) $8, через операторы, аналогичные матрицам, рассмотренным в главе, посвященной теории Паули.
Построим из матриц а„а„аз, а4 шесть матриц: во-первых, три матрицы о„= — «а,а, о„= — «азао о, = — «а,аз (4) и, во-вторых, три матрицы (б) Р ! = — «а,а,аз, Рь = а,а,аза„р, = а,. Легко проверить, .то матрицы о„о„, о, будут удовлетворять тем же соотношениям, как и матрицы Паули, а именно, ОРО, = — О,ОР— — «О„, О,О„= — О„О, = «О„, (6) Квадрат каждой из них будет равен единице: оз = о' = оз = 1, х Р х РЬРс РсРЬ «раз РсРа = РаРс = «РЬз РаРЬ = Рнера = «рсз (8) Подобным же соотношениям будут удовлетворять и матрицы Ра Рьз Р ° МЫ будЕМ ИМЕТЬ ТЕОРИЯ ПИРАКА 296 а также Р' =Р'=Рз=1 а Ь а Произведения матриц р на матрицы о будут равны (9) Раак = акра = ан раца — — оар, = ага р,ок= о,р =аз, (1О) далее, Рьок =о Рь=(а1а4, Рьоа — — оарь = ьаза4 Р»ок = окр» = 1азаа (11) и, наконец, р,4г„= окр, = — йазаза4, р,оа — — оар, = — 1аза,а4, р,о, = о,р, = — га|азаа.
(! 2) Таким образом, каждая из матриц р коммутирует с каждои из матриц о, и мы можем в известном смысле сказать, что матрицы Р и о относятся к разным степеням свободы электрона. Пользуясь выражениями для матриц а; через Р и о, мы можем написать оператор энергии (7) 5 3 в виде О = сРа (окрк + окру + окрк) + лзс Ра. (13) Заметим, что к четырем матрицам аь аз, из, и4, удовлетворяющим соотношениям (9) 5 3, мы могли бы присоединить пятую, положив иь = Рь, эта матрица будет аитикоммутировать с операгором энергии (13).
Займемся теперь построением матриц с четырьмя строками и столбцами, обладающих формулированными выше общими свойствами. Для этого рассмотрим сперва три матрицы с двумя строками и столбцами, уже встречавшиеся нам в теории Паули. Обозначая их теперь через оп о,", о,', мы будем иметь о',=( ), оз=( ), оа=( ). (14) Предположим, что подстановки ',( )=("), ,'( ) ( ~), !( )=( ') (15) производятся не над одной, а над двумя парами чисел ~ ) Ч и ~ «~ одновременно. Эти две пары чисел можно рассматривать $41 зот мзтрипы диракз как одну четверку чисел ф„ Ч4„ «рз, «р„ причем сопоставление чисел $, Ч, в', Ч' с числами ф„ фз, фз, 404 можно сделать различными способами. Можно положить, например, Ф =$«Р2=Ч~ «Р3=$ ~ 14=Ч (16) илн же Ф!=2ь фз=зь* фз=Ч зр«=Ч ° (17) В первом случае матрицы, соответствующие нашим подстановкам, напишутся в виде 1 0 0 0 — 1 0 аз= 4! 10 00 0 1 0 0 1 0 0 0 О 0 О 1 10 0 1 0 случае в виде 00 — ! О 0 0 0 — ! ' Рз=~! О О О Рз= (19) 10 Е 0 0 Очевидно, что подстановки ао а„аз, взятые в отдельности, и подстановки р„рз, рз в отдельности удовлетворяют тем же соотношениям, что и подстановки (15) над двумя функциями, а именно, а,аз —— — аз««, = за«, аза1 = а~аз = «аз, а«аз 02а~ — «аз (20) аз = а' = а'= 1 ! 2 3 Р2Р3 = РзР2 = «Р« РзР« = Р~Р3 = «Р2 (21) Р~рз = Рзр~ = зрз Р2 Р2 Р2 — ! 1 2 3 С другой стороны, можно проверить, что каждая из подстановок а коммутирует с каждой из подстановок р, так что а«рз=рза« (1, й=1, 2, 3).
(22) Каждая из матриц р и а, а также их произведения (22) имеют два двукратных собственных значения +1 и — 1, а во втором [О 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 — 4 0 0 0 0 0 0 0 0 10 04 01 1 0 0 0 0 1 0 О 0 0 — ! 0 0 0 0 — 1 2ОВ теоРия диРАкА !ч. « Три матрицы оь три матрицы р«и девять матриц о;рь образуют вместе с единичной матрицей систему 16 матриц, которую можно назвать п о л н о й в том смысле, что всякую матрицу с четырьмя строками и столбцами, т.
е. с 16 элементами, можно выразить в виде линейной комбинации этих 16 матриц с численными коэффициентами. В частности, мы можем выразить через р«и а«матрицы, входящие в уравнение Дирака, и связанные с ними матрицы р„рь, р, и о„, а„, о,. Это можно сделать различным образом, так что матрицы, имеющие данный физический смысл, могут иметь различную математическую форму. В литературе чаще всего употреоляется представление, введенное Дираком, который по- ложил о,=-оо о„=о„о,=о,, (23) Ра Р«~ Рь Рм Рс Р3. (мы снабдили эти матрицы штрихом, чтобы отличить их от тех, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем).
Более удобным в некоторых отношениях является следующий выбор матриц: а. = Рзоо ос — — аг о, = Рзаз Ра = Рз Рь = Р«ог Рс = Рзог ) (25), или в явной форме 1 0 0 0 0 0 0 0 — ! 0 — ! 0 Π— ! 0 0 г 0 0 0 0 0 0 — г' 0 0 г 0 )! 0 О 01 0 — 1 О 0~ 0 0 -! О!' '(о о о !) (26) о о 01 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 — 1 о о о — !1 оо! о~ 0100 -! оо о! О 0 0 — г О 0 ! 0 0 — г 0 0 г 0 0 0 Рь= (27) ющие значения: (28) Отсюда получаются для матриц аь следу «з! а! «42 Рзаг ««3 «"3 а« Рзаз Согласно формулам (15) и (!0), соответствующие матрицы аь будут иметь вид (24) О1ОО ооо ооо ОО1О о — « »' О о о о о о о о о О 1 — о о о о о о (23) а«= о — 1) о ~=(»» о о о о о Π— 1 о о о о о 1о о % 5. Уравнение Днрака для свободного электрона Мы можем теперь написать уравнение Дирака для свободного электрона в раскрытом виде.
Если Н есть оператор (7) $ 3, то волновое уравнение ~«р (с(а~ Рх + ооР» + а»Р2) + гпс о«] 2]2 й д«(1) д4» напишется в виде системы четырех дифференциальных уравне- ний — П»С «Р =й —,, д»»» 4 + п»с ф2 = й — ', 2»]»2 д« вЂ” п»с «р« =й —.
] д4»» д« вЂ” йс (2) — гйс Заметим, что удобнее исследовать уравнение Дирака, когда оно написано в символической форме (1), так что формулами вида (2) нам почти не придется пользоваться. Мы рассмотрели два варианта выбора матриц. Первый из них, предложенный Дираком, соответствует формулам (23) 5 4, а второй, предложенный нами, соответствует формулам (25) $ 4.
Для некоторых целей удобно ввести такое представление матриц ««о, чтобы соответствующая система уравнений для четырехкомпонентной волновой функции свободного электрона имела вещественные коэффициенты. Для этого достаточно переставить в формулах (25) $4 матрицы ро и ро и изменить знак при матрице Р«. Мы будем тогда иметь вместо (25) 9 4: а"=ра, а"=а х 2 «2 2» а" =ра г 22» Ра=ро» Р» Р»ао Ра=р»а». о о (3) э 5! тгхвнвнив дигхкх для своводного электгонх 299 и в явной форме теория дисхкз Чтобы отличить новые матрицы от прежних, мы снабдили нх значком с *). Все матрицы (3) имеют чисто мнимые элементы.
Связь между новыми матрицами и прежними осуществляется каноническим преобразованием с матрицей (Рз+ Рз) 1 з/2 (4) которая является самосопряженной и унитарной, так что Т 1=Т+=Т, Та=1 (6) В самом деле, мы имеем ТР2Т = Рз, трат = Р2, ТР1 т = — Р1. (6) Новые матрицы аз (которые мы обозначим теперь через а") будут связаны с прежними матрицами каноническим преобразованием аз = Т+цзТ. (7) Они будут равны 01 01 Яз Рзоз~ Яз о1 Я4 12362 е з — с е (8) Как показывает сравнение с (28) 5 4, они отличаются от прежних перестановкой сзз с ао Элементы первых трех матриц а"„будут вещественными, а элементы аоз — чисто мнимыми.
Систему четырех дифференциальных уравнений (2) для волновой функции свободного электрона можно теперь написать в виде дзр" д2р~ дх ду ) 10=0, д„)0 +— дз д2Р2 тс Ь дх ду д,рс д,ра дз + ~зрз тс дх ду д4' ,д Р', дг д РО тс + д зр' =- О. 3 дх ду В заключение напишем в явной форме связь между волновыми функциями ф'„, соответствующими выбору матриц а' по Дираку (согласно (24) $4), с нашими волновыми функциями. е) Так как речь идет теперь о четырехрякных матрицах, можно не опасаться смешения их с матрицами Паули (14) $4, 1 д)', 1 с дз 1 дуся + —— с д1 + 1 ~Фз с д1 1 д1Р~~ +с дз зРе = О, фа=О, 4 ЗО! пквоврззовзние лоренца $6! Мы имеем соотношения (10) Унитарная матрица 5, соответствующая преобразованию (11) равна О о -!1 О 1 ! О 1 — !рз ! + 4птз 1 — !'р444! ! О О ! 4/2 442 3!!2 О ! -! О 5== ! з!42 (12) Что касается связи между функциями 4рз и ф соответствую4цей преобразованию фз= Тф, (13) то она дается формулами Ввиду того, что Т3=1, такие же формулы дают выражения для ф! через фг Мы имеем ф ! ( фз (;фз) /2 (15) $ 6.
Преобразование Лоренца Мы займемся теперь доказательством инвариантности волнового уравнения по отношению к преобразованию Лоренца н исследованием геометрических свойств функций фь фз, фз, ф4 Положим Х=Х!, Д=хз! З Хз! Е! ХО н введем четыре числа ее=1, ез=ер=ез=-1 (2) 4Р! — 4!44 .4/2 Ф! + 4)4 .у!2 ф', = ~- (ф, — 4'фз), р ! т'2 ф4= ( ф +!ф) Ф 42 (ф' фз)' ! ф ( фо 1;фо) ! 2 412+ 4!!4 фз /~ 4 т42 3 ф3,1 (фз 4ф4)! (14) ф~~ = ~- ( — ф~+ !ф~).
~42 ТЕОРИЯ ДИРАКА 302 так, чтобы можно было написать квадрат четырехмерного расстояния (интервала) в виде 4222 с24(12 44х2 44у2 а4е2 ~, е с(х2 А=З " (8) Напишем преобразование Лоренца в виде 3 Х4 = ~, ЕАа42ХА, 3=3 (4) где ам — вещественные числа, удовлетворяющие условиям Е е4а43ан = е3634 (5) 4 3 которые вытекают из того, что преобразование (4) должно оставлять 4(32 инвариантным. В силу этих условий решение уравнений (4) относительно х4 дает 3 / Х;= ~, Е а34ХА, 2=3 (6) а отсюда в свою очередь вытекают уравнения 3 ) е4а,4а44 = еАбы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
