Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Напишем уравнение для собственных функций оператора Т: Тф = ср (о„Р„+ о„Р„+ о,Р,) Ч4+ п4с'р,4Р = Т'4Р. (14) Если функция 4р есть решение этого уравнения для собственного значения Т', то функция ф'= рьф (15) будет решением для собственного значения — Т'. В самом деле, в силу того, что матрица рэ коммутирует с матрицами о„, о„, о, и антикоммутирует с р, и р„мы будем иметь Тф'= Тр ф= — р Тф= — р Т'ф = — Т'р 4Р, э 1я ВТОРАЯ ВНУТРЕННЯЯ СТЕПЕНЬ СВОБОДЫ ЭЛЕКТРОНА З1Т т. е. т~'= — т'ф', (1Е) что и доказывает наше утверждение. й 12. Вторая внутренняя степень свободы электрона Возможность отрицательных значений кинетической энергии представляет существенную трудность теории. Эта трудность тесно связана с отмеченным выше парадоксом, который заключается в том, что собственные значения операторов скорости равны +.с.
И то и другое представляет проявление второй внутренней степени свободы электрона, описываемой операторами р„ рь, р, (первой внутренней степенью свободы мы считаем ту, которая описывается вектором спина с составляющими а„, о„, О,). Эта вторая внутренняя степень свободы имеет релятивистское происхождение. Физическое значение ее состоит, повидимому, в том, что уравнение Дирака в известном смысле описывает не только электроны, но и позитроны — частицы с той же массой, как электроны, но с зарядом, равным по величине и противоположным по знаку заряду электрона.
При таком понимании уравнения Дирака оказывается невозможным полностью сохранить обычную интерпретацию волновой функции как величины, описывающей состояние одной частицы. Обычная интерпретация остается в известном смысле применимой к тем величинам (и прежде всего к тем элементам Гейзенберговых матриц), которые не связаны с переходами из состояний с положительной энергией в состояния с отрицательной энергией (или с обратными переходами). Чтобы выделить эти величины, нужно построить для соответствующих операторов Гейзенберговы матрицы и отбросить в них те элементы, которые относятся к переходам между значениями энергии про.
тивоположных знаков (между значениями порядка +тс' и по~ рядка — тс'). Поскольку эти элементы матрицы содержат быстропеременные множители типа е*' ', где частота ы порядка 2тс' — такая операция приближенно соответствует усреднению в за промежуток времени, большой по сравнению с 1/о, но малый по сравнению с обратной величиной частот, соответствующих обычным переходам. Проиллюстрируем эти соображения на простом примере.
Построим Гейзенберговы матрицы для операторов р„рь, р,, входящих в оператор энергии гт'=ср (О,Р,+ О„Р„+ а,Р,) +тсср, — еФ. (1) Согласно формуле (8) $4, этн операторы удовлетворяют ТЕОРИЯ ЛИРАКА зи соотношениям рс — 1 р2 ( р2— Рьрс = 2Ра~ Рсра = ЬРь~ Р»Рь = (Рс (2) Пользуясь обозначением Р = о»Р» + О„РК+ О,Р„ (3) напишем оператор энергии в виде Н = ср, Р + льсар, — еФ. Принимая формулу (8) $ ГΠ— = — е(о»т'»+ о„д'2+ о»Ь;), а'Р мы можем утверждать, что при отсутствии электрического поля величина Р является константой движения. Для построения Гейзенберговых матриц операторов р„рь, о, составим для них уравнения движения.
Полагая для краткости 2тс' (6) мы получим — „= — с, ИРа 4ь Р = сара ьт Рс ИРс Р и! тс Рь' 1 та =,,„~Ра — а,с Рс) ,~/ 1 + —. тссс (8) ть=Рь Эти матрицы удовлетворяют таким же соотношениям (2), как В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением случая, когда электрическое поле отсутствует. Поскольку в этом случае Р есть константа движения, мы можем в уравнениях (7) разуметь под Р не оператор (3), а эту константу. Тогда эти уравнения будут иметь постоянные коэффициенты и решаются весьма просто. Введем вместо р„рь, р, три матрицы ВТОРАЯ ВнутРенняя степень' сВОБОды электРОнА 319 г 121 и матрицы р„рь, р„а именно, тг = 1 тг = 1, т,' = 1, — ь— ТЬТс гта Тста ЬТЬ Са СЬ гтс (9) Матрицы р выражаются через матрицы т по формулам ~/ + щгСг (10) Рь=ть (! 1) — =О, 11тс аг где для краткости положено ,„! ! „~ гг)РЗ Рг 2с (12) Уравнения (!1) с условиями (9) легко решить.
Мы будем иметь т, = — т, з)п И вЂ” т,соз И, ть=т, созИ вЂ” тгз!ПИ, (13) Тс = ТЗ где т„ тг, тз — постоянные матрицы, удовлетворяющие соотношениям тг — 1 тг 1,2 З (14) Т2ТЗ ЬТ1 ТЗТ1 1Т2 Т1Т2 ЗТЗ) аналогичным формулам (9). Применим к найденным Гейзенберговым матрицам операцию усреднения, о которой мы говорили в начале этого параграфа, Мы будем иметь та = б~ ть = 9~ тс = тз (15) коэффициенты которых отличаются от коэффициентов в формулах (8) только знаком при Р, Уравнения движения для матриц т будут иметь вид 1ч. ч теОРия диРАкА Ззз Таким образом, усредненные значения Гейзенберговых матриц для операторов р получаются равными Р - тс т'с'+ Р' ут'с'+ Р' Подставляя эти значения в оператор энергии (4), будем иметь 0 =стз у тсса+ Рс — еФ.
(17) Если учесть, что тз — постоянная, квадрат которой равен единице, то это выражение полностью соответствует классическому выражению (3) 5 ! 1 для кинетической энергии. 3 13. Уравнения второго порядка Из волнового уравнения Дирака„представляющего систему четырех дифференциальных уравнений первого порядка для четырех функций, можно исключить две функции и составить систему двух уравнений второго порядка для двух функций каждое.
Из этой системы можно затем, путем предельного перехода с-~- ОО, получить нерелятивистское волновое уравнение для электрона в магнитном поле. Это приводит нас к теории Паули, рассмотренной в части 1!1 этой книги. Так как вывод уравнения Паули из уравнения Дирака представляет интерес и сам по себе, мы гриведем его здесь, хотя результат известен пам заранее.
Чтобы получить из волнового уравнения Дирака систему двух уравнений второго порядка, напишем волновое уравнение в виде Тф= еФф+ И вЂ”, дф где Т есть рассмотренный в 5 11 оператор кинетической энергии электрона. Применим к обеим частям этого равенства оператор Т еще раз; мы получим после некоторых преобразований Тцф= ~ — И вЂ” + е (ТФ вЂ” ФТ)~+ Ие — ф+ дТ з, дФ д! дс д2$ + ЕФФф+ 2ИеФ вЂ”, — й' —, (2) Выражение в квадратных скобках в правой части представляет, как легко видеть, умноженную на — И полную производную оператора Т по времени, которую мы уже вычисляли (формула (5) з 1!).
Выражение для Т' мы также вычисляли, но мы должны его несколько преобразовать. Вычисляя оператор Р' во твхвнения втопого попядкх 321 втором члене (9) 5 11, получим, на основании формул (1!) 5 9 и свойств матриц а, Тз= тес~+ с~(Р~+ Р~+ Р~)+ бес(а„.УА, + а„М, + а..Ж.). (3) Если раскрыть выражения вида 1ае дл„е~ и воспользоваться для краткости векториальными обозначениями, получим отсюда Тз = т с'+ сзрт+ 2ес (А ° р) — йес йч А + е Ае+ лес (а ° Я).
(4) Подставим зто выражение в (2) н воспользуемся формулой (8) 5 1! и соотношением б)ч А+ — — = О. 1 дю с д! (5) Мы получим (т сз+ с р'+ 2ес(А р)+ е'(А' — Ф ) + Вес(а Я)+!йе(х А))ф= дф з д~~ = 2ИеФ вЂ” — й' —,. (6) Это уравнение можно также написать в виде 1 д'$2ге / Ф дат т'с' — Лф + — — — — 1хА пгаб ф+ — — ) + —. ф+ с~ др Ьс ~ д1) д + — ',, (Аз — Ф')ф+ — „' (а ° Я)ф+ —,(х Ю)ф=О. (?) Написанное выражение представляет собой четыре уравнения для четырех функций фь фм фм ф4. При нашем выборе матриц ах в первые два уравнения входят только первые две функции чч и фг, а в последние два — только фз и ф4, так что уравнения (7) распадаются на две отдельные системы.
Выражение (7) отличается от релятивистского обобщения уравнения 11!редингера, предложенного разными авторами до введения понятия электронного спина и до теории Дирака, двумя последними членами, содержащими матрипы а и х. Посмотрим, какое уравнение получается из (6) или (7), если пренебречь поправкой на теорию относительности, т. е. произвести предельный переход с -э со в предположении, что энергия частицы близка к энергии покоя тс'. Для этого положим йих' ф= ф"е (8) и будем считать, что ф* меняется со временем весьма медленно по сравнению с ф ТЕОРИЯ ДИРАКА 322 Для стационарных состояний это предположение соответ ствует тому, что в выражении $ ф $0Е А (9) мы полагаем 57 = гис'+ Е (10) и считаем, что Е весьма мало по сравнению с тсэ.
Подставляя выражение (8) в уравнение (6) и деля на 2тсх, мы получим без пренебрежений Переходя здесь к пределу с-~ а, мы должны помнить, что множитель !/с в членах, содержащих магнитные величины А и Я, происходит от употребления электростатических единиц, т. е. является константой. Ввиду этого мы должны в левой части (11) сохранить все члены, тогда как правую часть можно заменить нулем. Таким образом, приближенное уравнение будет ~ —,' ( + —,'А) - Ф+ —,"',( М)1ф'= й+*. (12) Оператор в левой части уравнения (12) Н = 2 1Р+ — А) ЕФ+ 2 (о У6) будет самосопряженным. Если разуметь здесь под а совокупность двухрядных матриц Паули, то оператор Н' совпадет с оператором Паули, рассмотренным в э 5 третьей части этой книги, а волновое уравнение (12) совпадет с уравнением Паули. Введение четырехрядных матриц ничего не изменит по существу, так как уравнение (12) для четырехкомпонентных функций приведется тогда к двум эквивалентным системам уравнений для двухкомпонентных функций.
То обстоятельство, что уравнение Паули получается из уравнения Дирака как приближение, является его дополнительным обоснованием. В заключение напишем волновое уравнение (12) в раскрытом виде. Обозначая, согласно формуле (18) $5 ч. П1, через На оператор Нэ= 1 (р+ — А) — еФ (14) не содержащий матриц, мы будем иметь Н* Но 1 а(„, Н) (15) УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 323 где „а йе 2те (16) есть величина магнитного момента электрона. Разумея под о двухрядные матрицы Паули, введенные вф! ч. П1, о' (! о)' '1' (,! О)' оз (о — 1) (!7) и под ф* двухкомпонентную волновую функцию (первые две компоненты четырехкомпонентной функции Дирака), мы можем, при нашем выборе матриц о„, о„, о, (формулы (26) $ 4 этой главы), написать уравнение (12) в виде 0 ф', + ! Рз, !", + (̄— !Я„) ф.,'~ — !й Р.' — — О (18) Н ф + р ~(Я + сМ ) ф — уе ф 1 юй — — О Аналогичный вид будут иметь уравнения для последних двух компонент (ф, и ф4).
Онн будут отличаться от (18) изменением знака в членах, происходящих от о~ и оз (иначе говоря, в членах, пропорциональных М, и Ж,). При выборе матриц по Дираку (формула (!8) 5 4) уравнения для последних двух компонент будут простым повторением уравнений для первых двух. Глава П ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА К НЕКОТОРЫМ ФИЗИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ 3 Е Свободный электрон Волновое уравнение для свободного электрона имеет внд Нф — И вЂ” =О, д» д» (1) где, согласно (7) $3 и (!3) $4 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
