Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Точечного спектра в этой области быть не может, так как прн и чисто мнимом 1, и (, не обладают интегрируемым квадратом. Если же — тст ( ЦУ ( тес, (20) йг = ~ тс', (21) то величина а равна нулю, а !! обращается в бесконечность, так что выражения (18) становятся неприменимыми.
Лсимптотиче- то величина и будет вещественной: мы будем считать ее положительной. Г!оэтому функции 71 н )с либо быстро возрастают (сели С~ чь 0), либо быстро убывают (если С1 = 0) на бесконечности, так что в этом промежутке сплошного спектра быть не может, и либо существует точечный спектр, либо вообще нет собственных значений. Если, наконец, П[. Ч ТЕОРИЯ ДИРАКА 346 ские решения наших уравнений нужно искать в виде, аналогич- ном (11) $7 гл. 1Ъ' ч. 11. Если мы положим (22) мы получим, путем рассуждений, аналогичных только что изложенным, для случая )г' = — тсз 1 1 1 6=Се" " '+...+Се"' " '+ и для случая ((я =+ тсг 1, = С,еьч "г" г4 + .
+ С е ге4 зг' г'4 -1- (24) Когда мы имеем на больших расстояниях притяжение, то А ) 0 и величина ае вещественна. В этом случае точка Ж'= = +те' принадлежит к сплошному спектру энергии, а точка УР' = — тсэ нет. В случае же отталкивания А < 0 н ае чисто мнимо; тогда к сплошному спектру относится точка [Тг = — гггс', а не [т = +тсз, Таких[ образом, мы установили, что областью сплошного спектре будет в случае притяжения [(Я < — тс', )Р)+ тс' (А > 0) (25) и в случае отталкивания Ч[г < — тс', )р' > тс' (А < 0), (25*) тогда как точечный спектр возможен только, если ! )г'! < тс'. (26) Из уравнений (3) э 6 для радиальных функций мы можем вывести некоторые общие следствия относительно расположения уровней энергии точечного спектра.
Умножая первое уравнение (3) Э 6 на ~г и второе на 11 и складывая, получим ,4 ([1)т) = — у,.„, Нтс + Юг сг) Ь+ (тс — Ю'+(г)Д. (27) Интегрируя это выражение от 0 до оо н учитывая поведение функций точечного спектра на пределах, получим слева нуль, КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА тогда как правая часть дает О ~ У(1', — Д)й'= — ~ ((глс'+ В')Д+(т~ — ()7)~ДТ(г. (28) о В Но мы знаем, что для точечного спектра )(т лежит между — тсз и +гпс', поэтому правая часть отрицательна, н мы имеем неравенство (29) Отсюда следует, что при У отрицательном (притяжение) в среднем больше 1',.
Как мы видели в 5 6 формула (4), это будет в том случае, когда )к' близко к +тлсз, т. е. когда )Р' =» О. Следовательно, в случае притяжения отрицательных уровней энергии, принадлежащих точечному спектру, не существует. В случае же отталкивания ((1 ) О) ие существует положительных уровней энергии, но могут оказаться отрицательные.
Эти отрицательные уровни (как и состояния с отрицательной кинетической энергией, о которых мы говорили в $ 12 гл. 1) не могут иметь прямого физического смысла. 5 8. Квантовые числа Согласно результатам нашего исследования, стационарное состояние электрона в центральном поле может быть характеризовано параметром энергии н квантовыми числами л и лг, из которых первое связано с полным моментом количества движения, а второе — с составляющей его по оси г. Лля точечного спектра энергия )Р' будет зависеть от некоторого третьего (главного или радиального) квантового числа, которое вводится при решении уравнения для радиальных функций, и, кроме того, от числа й, которое входит в эти уравнения как параметр Таким образом, здесь, как и в теории Шредингера, состояние электрона для точечного спектра описывается тремя квантовыми числами, причем энергия зависит от двух нз ннх.
Как мы показали в 5 6, главные члены уравнения второго порядка, аналогичного уравнени1о Шредингера, содержат квадратичное выражение Й(Й вЂ” 1), тогда как число Й в отдельности входит лишь в поправочный член. При этом й(й — 1) входит в уравнение так же, как 1(1 + !) в уравнении теории Шредингера, так что можно положить й(й — 1) =1(1+ 1), ТЕОРИЯ ДИРАКА [Ч. Ч 348 откуда (2) Поэтому те два уровня энергии, которые соответствуют одному и тому же главному квантовому числу и и одному и тому 1 же 1(или [л — — ), но двум разным значениям й: 2 )' й=1+1, /г= — 1, будут весьма близки друг к другу, они будут образовывать д у бл ет. Исключение представляет случай 1= О.
Так как й не может принимать значения нуль, то остается только о д и н уровень, для которого й = + 1, Расстояние между термами дублета было вычислено нами в ~ 6 [формула (13)). Таким образом, теория Дирака дает требуемое опытом удвоение (по сравнению с теорией Шредингера) уровней энергии, причем уровень, для которого 1 = О, получается простым, как этого и требует опыт. В этом удвоении проявляется одна из двух добавочных (внутренних) степеней свободы электрона, о которых мы говорили в 5 12 гл. !.
Два уровня дублета принято отличать друг от друга значениями некоторого нового квантового числа, которое обозначается буквой 1. Квантовое число 1, так же как и 1, однозначно выражается через й, а именно, ! 1=[й 1--. г' (4) Таким образом, 1 может принимать положительные значения, равные целому числу с половиной. Так как число значений магнитного квантового числа т при данном й равно 2[й[, число 1 дает кратность уровня, которая будет равна 2 [ /г [= 21 + 1, (5) 1'=1+ — при й > О, 1 ) — — при й (О.
2 (6) Зная 1 и 1, можно по этой формуле получить знак й, а следовательно, и самое й. В спектроскопии принято обозначать термы с различными значениями 1= О, 1, 2, ... буквами 5, Р, О, ..., причем значе. ние 1 приписывается у этих букв в качестве нижнего значка, Из сравнения (4) с (2) следует, что 1 отличается от 1 на ~Ъ а именно, ГЕИЗЕНБЕРГОВЫ МАТРИЦЫ И ПРАВИЛО ОТБОРА %21 349 Сопоставление квантовых чисел различным ставить в виде следующей таблицы: й=+1, 1=0, /=1/2, /г = — 1, 1= 1, 1= 1/2, й=+ 2, 1=1, 1=3/2, й= — 2, 1=2, /=3/2, й=+3, 1=2, 1=.5/2, термам можно пред- Рпг, Рзп, Р1/2~ %!2, Вопрос о том, между какими термами возможны переходы, решается иа основании правила отбора, й 9.
Гейзенберговы матрицы и правило отбора (4) (УУ + 27) г(б г(ф = 1, Волновую функцию, соответствующую квантовым числам и, /г, т (где и — главное квантовое число), мы будем обозначать буквой ф или какой-нибудь другой буквой без штриха, а вол- новую функцию с квантовыми числами и', й', пг' — символом ф' или соответствующей буквой со штрихом (звездочку А, кото- рой мы отмечали в з 4 волновые функции в сферических коор- динатах, мы здесь отбрасываем).
Если функция ф нормирована так, чтобы было БФф (г бар=1, (1) то элемент Гейзенберговой матрицы для какой-нибудь из коор- динат, например х, будет равен (и, /г, т~ х ~п', й', и')= ~~~ хфф'4(гагбйр= ~ ~ ~ х(4р~4р~ + 4)424рг+ 4ргф~ + $44)'4) Й 4+6 4 ф, (2) Если подставить в (1) вместо ф„ф„ф„ф, их выражения (20) 3 4, условие нормировки напишется ) )) Щ+дд)(УУ+ ЯЯ)41гг(бпгф=1. (3) Это условие будет выполнено, если 1 (1/+В)( =1 2 ТЕОРИЯ ДИРАКА !ч ъ 350 Подстановка же выражений (20) 5 4 в формулу (2) дает (п, й, 1п ! х ! п', й'„т') = ) ') ') х (Ц' + дд') (Л" + УЛ') г(г г(б г(1р. (6) Аналогичные выражения получаются для координат у и х. Как и в теории Шредингера, тройные интегралы вида (б) разбиваются на произведения простых интегралов, и если мы положим го(п, й; п', й') = ~ г(Ц'+ дд')г!г, (7) О то элементы Гейзенберговых матриц для координат х, у, з будут равны произведению величины (7) соответственно на (й, т)в!пбсоз1р )й', 1п')= ~~ в!пбсов1р(Й" +ЕЛ')1(б1!1р, (8) (й, т! в!пбв!п1р(й', т') = ~~ в!пбв)п1р(УУ'+ ХЕ')дб1йр, (9) (й, т! созб! й', т') = ~ ~ созб(УУ'+2Г)Фбо11р.
(10) Для вычисления этих интегралов выразим У и Я по формулам (4) и (13) 5 3 ч. ГП через у1.и у,. Мы будем иметь УУ'+ гк' = 4, е'! '-"" (ц,р', + р,у,') в!об. (1!) Вычислим сперва интеграл (10). Очевидно, что он будет отличен от нуля только, если т'=пз; в этом же случае он будет равен (й, т(совб)й', т)= 2 ~совб(Д1р1+Дзрз)в1пбг(бю (12), о нли, если мы воспользуемся обозначениями $4 ч. П1, (й, т! совб)й'т)= — ~ совб ° у(й, т, б) у(й', т, б)в!пбг(б. (12") о Выражая здесь произведение созбу(й, т, б) по формуле (9) $4 ч.
111 совб ° у(й, т, б)= 4А2 — 1 Р( ' ' ) )2Й-)-)! Р + ' ' )+ 2т+1 Ч!а — м)(Ф+т+1) + ~(~ + ) (~ 1) (й — 1 б) (13) ! 2й — 1! мы можем. на основании ортогональности функций у, заклю- ГЕИЗЕНБЕРГОВЫ МАТРИЦЫ И ПРАВИЛО ОТБОРА зз! чпть, что интеграл (12) может быть отличен от нуля только в трех случаях: й'= — й, й'=й+1, й'=й — 1. (14) В этих же случаях он равен соответственным коэффициен- там в формуле (13), а именно, (й, и~ спад! — й, т)=— 2м+1 (й т)созб~й+1 и)= 2А+)! (18') Аналогично вычисляются два первых интеграла (8) и (9), Для вычисления удобно составить, подобно тому, как это мы де- лали в 5 9 гл. 1У ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
