Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 53
Текст из файла (страница 53)
П, их линейную комбинацию (й, и(з1пбе!Р ~й', т')= = — 1 ~ е' 0"' — + и е з(п' () ° у (й, т, д) у (й', т', 6') Ю тйр, (16) 4я,) которая будет, очевидно, отлична от нуля только, если т' = = т — 1. При выполнении же этого условия она равна (й, и~ э(пбе'ч(й', т — 1)= = ! ~ з!Це() ° у (й, т, ()) у (й' т — 1, 0) т(б. (1У) Выразивздесь произведение з!пб. у(й', и — 1, 6) по формуле(10) %4ч. П! Б!п б ° у(й', и — 1,О) = 2,„у( — й', и, 6)— 4А' — ! 'Ъ (А и !)(й и) (й~ ! ()) 2/г' — 1 + ' (й'+1 т, б) (18) 2А'+ ! мы убедимся, что интеграл (17) отличен от нуля лишь в тех трех случаях (14), когда он равен ( — й', т~з(пде'е(й', т — 1)=2 4А" — ! (й' — 1, и~э!пде'е(й', т — 1)=,, (19) 1 2А'+ ! Ф ТЕОРИЯ ДИРАКА !Ч.
и 352 (19") (й, т) з(п беге ) й — 1, т — 1) = ) 2/г+ 1 Отсюда получаются по формулам, аналогичным (23) и (24) 9 9 гл. 1Ч ч. П, элементы матриц (8) и (9), которые мы выпишем в виде таблицы: (й, т ! з! и д з|п чг ! й', т'! (й, т ! з!и Е созга ) й', т'] йг пгг 4й' — 1 Ч)йг — (т + 1)г 4йг — 1 й — й + 1) т' =т — 1 2 2й+1 1 уг(й+ т+ 1)(й+ т+ 2) 2 2й+ 1 г .у'(й + т + 1) (й + т + 2) й' = й + 1 т' = гп + 1 2 2й+ 1 ! Э)(й+ т)(й+ т — 1) 2 2й+ 1 1 Ч((й+ т)(й+ т — 1) ч'=й — 1 т' =пг — 1 2 2й — 1 2й — 1 й'= й — 1; т'=т+ 1 г (й — т — 1) (й — т — 2) 2 2й — 1 2 2й — 1 Полученные результаты заключают в себе правило отбора, на основании которого можно судить, между какими термами переходы возможны и между какими они невозможны.
Правило отбора для квантового числа т будет то же, что и в теории Шредингера, а именно, для координаты е (свет, поляризованный по оси з) т'= — т (20) и для координат х и у (свет, поляризованный в плоскости ху) и'=и ~ 1. (21) Уровни, отличающиеся друг от друга значением квантового числа и, можно различить лишь в магнитном поле, направленном по оси з; поэтому неудивительно, что в правиле отбора для или, если мы выразим Й' через й, Пг'йг — т' (й, т) з(п()е" 1 — й, т — 1) =2 4„ (й, и) знпбегв(й+ 1, т — 1) =— 4й' — 1 (йг („! !)г 4йг — 1 ! Тг'(й — т) (й — т + 1) ДРУГОЙ ВЫВОД ПРАВИЛА ОТБОРА и ось г играет особую раль: ее направление физически отмечено направлением магнитного поля.
Правило отбора для й будет й'= — й, й'=й+ 1, й'=й — 1. (22) 11 ! Согласно этому правилу, квантовое число 1 = ~ й — — ~ —— 2 ~ 2 всегда меняется на единицу, как и в теории Шредингера. Но не все переходы вида Р = 1~ 1 возможны: необходимо еще второе условие для квантового числа 1, а именно, чтобы оно либо оставалось без изменения, либо менялось только на единицу. Например, переход между термами Рч, и О*„возможен, тогда как между РА и Рь он запрещен. 5 10.
Другой вывод правила отбора Ввиду важности правила отбора, мы приведем здесь другой его вывод, менее элементарный, но не требующий знания шаровых функций. Идея этого вывода принадлежит Дираку. Рассмотрим оператор 1~,= т,+ — ло, с собственными значениями ~т+ — ) й. Матрица этого оператора будет диагональной относительно квантового числа т. Если мы будем писать только это квантовое число, подразумевая остальные, то мы будем иметь ( 2) ~"'' Рассмотрим теперь матрицы для координаты г с элементами (т ~4 т'). Из равенства между операторами ,Ат',г — гХ, = О вытекает следующее равенство между элементами матриц: (т + 2 ) л (и ~ г ~ т') — (т ) г ~ т') (т' + ~ ) 6 = О, (2) или (и — т')(и ~г~ т') =-О.
(2*) Следовательно, только те элементы матрицы для г отличны от нуля, для которых т' = т. В этом заключается, как мы уже знаем, правило отбора для г относительно квантового числа т. гч ч таогия дигхкл а, =р„о„, а,=р„о„, аз =р„о„ что в некоторых случаях бывает проще. Например, из равен- ства Я,оз — а~ Ж,=О, Я,г — г,Ж,=О (т — ги') (ги ~ г ! т') = О, вытекает т, е.
прежний результат. Выведем правило отбора для х и у или, что то же, для х и у. Имеем 1г,х — хМ, =ар,(Я,о„— о„.М,) =1лср оа, или .М',х — х.Х, = 1иу (5) и аналогично М,у — уМ, = ср,,Я,о„— о„Х,') = — 1дср,о„ .я1:у) — уя', = — — 1йх. (6) Умножая (6) нз ! и складывая с (5), будем иметь М,, (х + 1у, - — (х + 1у) Я, = Й(х +!у). (у) Переходя к элементам матрицы, получим (т — ~и' — 1)(т,' х+ 1у,'т') = О, т. е. тот же результат, какой вытекает из (16) $9, Аналогично получается (т — т' + 1) (т ! х — 1у ~ т') = О. (О) Отсюда условие, чтобы элементы матрицы для х и для у были отличны от нуля: ги' = ги ~ 1.
(10) Этот вывод можно несколько видоизменить. Из (5) и (6) сле- дует й,"х — 2.я',х.Ж, + хЯ,' — й'х = О. (11) Переходя к элементам матриц, будем иметь + —,,')'( ~Х~ ) — 2(т+ —,')(т!Х!т')( '+ ') ( + (т,' х' ! иу) (т' +.2-) — (т ! х ! т') = Ь (8) Заметим теперь, что правила отбора для х, у, г те гке, что, для х = ср о„, у = ср„оа, г = ср,о„поэтому мы вместо координат х, у, г можем оперировать с матрицами 4 РВ ДРУГОЙ ВЫВОД ПРАВИЛА ОТБОРА или [(т — л1')' — 1) (и [ х [ т') = О, (12) откуда получается прежний результат (10).
Выведем теперь правило отбора относительно квантового числа а. Величина )зл есть собственное значение оператора Яр — — р,М, (13) ГДЕ Х= о„т, + аат, + О,т,+ л. (14) я'р есть рассмотренное в 5 3 обобщение оператора теории Паули. Согласно формуле (18) 5 1 ч. П1, оператор М удовлетворяет соотношению .4'= Д.4'+ (т' + т'+ и'-). (16) Рассмотрим оператор ~ = л( р( и рг гРкр) (лГйг г"Ю Хр (16) В силу формулы (13) и вытекающспо из нее равенства .Ж7ро = М'-, (17) у = р, [ Ж(Мгг — гМВ) + (.4!'г — гМ'-) Ж). Но из формулы (15) вытекает равенство язв — гЛР = Ь (,Хг — гй').
Пользуясь им, мы можем написать вместо (19) Ы = др, [М ( Кг — гМ) + ( за г — гМ) М[. (19) (20) (19*) Здесь члены вида,Хглт сокращаются и мы получаем ~ = ЛР~ (Рд г г"А~ ) (21) и после повторного применения равенства (20) .г. = л'р (л'г — г я ) (22) Возвращаясь к оператору Дирака Жр и учитывая антикоммутативность г и р„мы будем иметь м: = Й (Хрг+гЯр). (23) Оператор г. может быть написан в виде м =(р,у)(.йзг — г.уз) — (.узг — гМг)(,.ф) (13) Вследствие того, что матрица р, коммутирует с й и антикоммутирует с г= со,о„мы можем написать выражение для Я' в виде твогия диглкл 1ч.
т 356 Приравнивая исходное и окончательное выражения (16) и (23) для оператора .У„ мы получим равенство гуог — Мог йо — Мозно + 222о — й ( ее ой+ г.й о) = О (24) Перейдем от операторов к матрицам в том представлении, в каком опеРатоР 22о диагонален. Элемент матРицы длЯ каждого члена в (24) получится из элемента матрицы (й |г ~й') для г умножением на собственные значения йй или йй' оператора лир в соответствующей степени (на йй, если Мр стоит слева, и на йй', если Яр стоит справа от г). Сокращая на йе, будем иметь (йЗ вЂ” йй22 — йей2+й22 — й — й')(й~ ~й')=0 (25) или (й+й')(й — й' — 1)(й — й'+ 1)(й~ г ~й') =О, (25') откуда вытекает правило отбора относительно й: й'= — й, й'=й+1, й'=й — 1, (26) которое мы уже выводили иным путем. ф !1. Атом водорода.
Радиальные функции Для атома водорода, в котором потенциальная энергия равна е2 и(г) = — —, (1) уравнения (3) 3 6 для радиальных функций, допускают точное решение. В данном случае эти уравнения имеют вид (2) — + — 1 = — ~ — тс г В'+ — г21, Ф2 й 1 2 е'х йе ~ г ) Мы ограничимся рассмотрением точечного спектра, когда %" < тесе. Положим ъ/т222 — Н22 а= (3) причем будем считать а положительным. Имея в виду асимптотические формулы (18) $ 7, введем в качестве новой независимой переменной величину х=2аг (4) и положим Ф'= тс'созе, а= — зше (О < а < а). (5) етом водоподе. педихльныв езнкции 357 Символом у мы обозначим Зоммерфельдовскую постоянную тонкой структуры с2 1 с 7' вс 137 ' (б) с которой мы уже встречались.
После замены переменных уравнения (2) примут вид пй Ь! Г 1 е ттс =( (а ) 0х х ~ 2 2 х)1' (7) Угол е играет здесь роль параметра: его нужно определить так, чтобы уравнения (7) имели решения, конечные и непрерывные во всем промежутке О ( х ( со и обраща1ощиеся в нуль прих=бих=по. Введем теперь по формулам 1= Р— 0 (3) 2мп — ' 2 две новые функции Р и 6; эти функции выражаются через 7, и 12 следующим образом: Р (х) — ~, 31п — + 72 соз —, ! (9) 6(х) = — ~, з1п —, + 7,соз —. 2 2 Умножая первое уравнение (7) на =Ьз!п —, второе на соз— е е 2 ' 2 и складывая, получим — + — 6 = — — Р+ . (Рсоа е — 6), ДР В 1 т ) йх х 2 х21пе ((О) иа т — + — Р = — 6+ —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
