Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Приравнивая нулю определитель из коэффициентов при неизвестных с~ и см мы получим для )г" квадратное уравнение, корни которого суть 1 2( ь мю+ ~+ 1 3 2 17(1Р (уг + + лх й )з+ 4[ ( и + 1 [ й [А) ~ (1 1) 366 теогия дигхкз !ч. н причем будем считать г, и !о вещественными. Функции же У(д, ~р) и Л(6, ~р) от углов 6 и ф мы выразим по формулам 1~ У(д, ор)==е ~ од А(д), (3) Я (6, <р) = е ~ '~ В (д) через функции А(д) и В(6), зависящие от одного угла д (см.
3 3 ч. !П). Так как при гл = т' подьштегральная функция в (!) не будет зависеть от чо, то интегрирование по ср сведется к умножению на 2л. Мы получим (л ~Н!" )= 2 е!®!3 г(~А+ рг71)с(г ~ з!п 0(ВА'+ АВ)аЪ. (4) о о Покажем, что интеграл можно приближенно вычислить, не решая уравнений для радиальных функций. Согласно формуле (3) $6, эти уравнения имеют вид — — аг+ и 2 ' Вс ~м ! .В, --+— — '+-!о =- с!с 2 Ьс 1ь Мы видели в 2 7, что радиальные функции точечного спектра убывают на бесконечности по показательному закону и обра- щаются в нуль при г = О.
Поэтому мы имеем тождество ~ Я;+1,Я,(,= ~ г — „'„Я;+~,~;,) (г= о о р ~ н)~, ц н(о,н(1 о (6) Заменяя в правой части производные их выражениями из дифференциальных уравнений (5), получим О~ ~ аГ+т '= — (й+ ')~ К~ — т + о о + д'~ ®;+~,~;)(.+, "~.(У; — ~,)(. (7) Второй член в правой части есть не что нное, как искомый интеграл, входяший в формулу (4). Заметим теперь, что (о весьма мало по сравнению с !ь и что для рассматриваемых значений й и й', для которых Й(й — 1) = й'(/г' — !), разность 1Р" — )Р' (ширина дублета) весьма мала по сравнению с 2тсо, а 1', весьма мало отличается от !', (обе функции 1, и 1; приближенно уловлетворяют одному н тому же уравнению (7) 5 6), Принимая во внимание нормировку функций, получим из (7) приближенное значение интеграла, входяшего в формулу (4), а именно, ~ г(Ц;+~А,(г= —," (у+у+1).
о (8) Обозначим буквой ы так называемую Ларморовскую (1.аггпог) частоту, т. е. величину е (Ж! (9) и введем выражение (8) в формулу (4). Мы получим (у~к!й)=--,'Д (й+й+ 4зпб(ВЛ+АВ)д. о Нам остается вычислить интеграл (10) 7 = ~ збпд(ВА'+ АВ') дО. о (11) Интегрируя по частям и пользуясь уравнением (5) 5 3 ч. !П для функций Л и В, имеем Х= ~ созб — (ВА'+ АВ')~Ю= М о = — (й + й') ~ сов 6(АА' — ВВ') гВ. (12) о Умножая (П) на й+ й' и складывая с (12), получим л о~е>ох= — о<-е) ° ..'(1 (А-~.~в)~е'-~~воео). оо~ о Вводя теперь по формуле А+!В= у'з!пбе ' (у, +!у,) (14).
з н! вычисление мхтгицы возмтнглюшаи энвггии 367 !Ч. Р ТЕОРИЯ ДИРАКА 368 наши функции у, и у,, уже использованные в теории Паули (формула (13) 2 3 ч. !1!), будем иметь (й + й'+ 1) У = — (й + й ) ~ (у у1 — у у~) з!пав!(4), (! 3") О так что (й ! ?! ! й') = — й«О (й + й ) ~ (у,у,' — у у~) з1п 61!б. (! 5) О В силу ортогональности шаровых функций Р1, через которые выражаются у! и уь интеграл (15) отличен от нуля только в том случае, когда У = 1, т. е. при условии (5) 2 !3. Поэтому элементы матрицы (7) э 13 являются не только самыми важными для вычисления поправок, но и единственными отличными от нуля (при условии и' = п).
Для вычисления интеграла (15) достаточно выразить у, н уз по формуле (24) 2 3 ч. 1П через обыкновенные шаровые функции и воспользоваться нормировкой этих последних. В результате получается (, ! й О+А' !' (Ф+ОО)(й'+т) ~" — '~(~и7~ пР.+ а — ~/! (й — и« вЂ” 1) (й' — гп — ! ) !) . (15) Давая здесь й' значения й' =й и й' = — й+ 1, получим ! '«2)' А —— 2 (й)?!! й+1)= й~ )2А 1! ' (13) Заменяя в (!7) й на — й+ 1, получим )с ΄—— ( — й+1Я! — й+1)=й~ —,(~.+ — ). (13) А —— 2 Таким образом, все величины (?, Э 13) нами вычислены. 2 15.
Расщепление уровней в магнитном поле «!тобы найти смещенные уровни энергии, нам остается только подставить найденные выражения для элементов матрицы в формулу (11) 2 !3. Мы обозначим для краткости полусумму термов дублета через )Р'О, 2 (~А+ У-1+1) — О ! (1) РАсщепление уРОВнеЙ в мхгнитном пОле $ м! 369 и положим (2) В'А — (Р А+,=ДИ7.
Подставляя эти выражения, а также (17), (!8) и (19) $14 в формулу (11) 9 13, мы получим !г' = (Р з + й гз (т + ! /2) -~ ! ! и+— (ДЯ7)г+ 2 Д(р'. Лгв + йггвг (8) 2 2 (4) или, если подставить вместо В'„ и ДНУ нх значения (!) н (2), Ф" = ЖА+ йгз(т+ — ) А —— 2 ьы+ ( 2) (5") А —— 2 Каждый терм расщепляется в магнитном поле на 2!!г~ отдельных термов, соответствующих значениям т = — ! 7г ), — ! Iг !+ 1, ..., 1й ! — 1. (8) Расстояние между соседними термами равно Лм — = Игами, А ! ь —— 2 (7) где (8) Эта формула дает полное описание явления Зеемана.
Когда магнитное поле слабо, так что величина зы мала по сравнению с расщеплением термов дублета ДЯ2, можно приближенно извлечь квадратный корень, пренебрегая квадратом Лы. При этом получится два уровня: 2 ( +2) ! ь —— 2 2 ( +2) ! (4 ) /г —— 2 370 теОРия диРлкА (9) Рассмотренный случай представляет собой так называемое «аномальное» явление Зсемана. Перейдем теперь к «нормальному» явлению Зеемана, имею- щему место в сильных магнитных полях. Когда поле настолько сильно, что 355 велико по сравнению с Л*15', можно приближенно извлечь квадратный корень, пренебрегая квадратом Л)5'. Мы по- лучим тогда два уровня ! м+— ~е+ яее( + )+ ! т +— Яу*" = 970 + 355п2 — л()7, 22 — ! пли, если мы пренебрежем также и Л1Р', 15" = ))75 + нее (п2 + 1), (12) РУ"* = 1Ре+ й (13) В этом случае расстояние между компонентами Зееманов- ского мультиплета уже не зависит от квантового числа й и равно Ьеь Таким образом, при усилении поля несколько компо- нент, соответствовавших одному и тому же п2, но разным й, (11) есть так называемый множитель Ланде (1.анде), Так как этот множитель всегда положителен, его можно представить в виде ! !ь! 1 2 2 ~ где 1 н 1 имеют обычное значение.
Для различных термов, соответствующих значениям й = 1, — 1, 2, — 2, ..., множитель Ланде пробегает следующие значения: /г ! 1 терм д ! Π— 8 2 ! 2 ! 2 — 1 ! — Р, 2 П2 3 3 4 2 1 — Р»Д 2 3 3 4 — 2 2 —, !752 2 522 5 5 6 3 2 —, 72 2 5(2 5 -6 — 3 3 — Р52 2 ' 7 РЛСЩЕПЛЕННЕ УРОВНЕП В 5!АГНИТНОМ ПОЛЕ зг! $ !5! (16) сливаются в одну; в этом и состоит переход от «аномального» явления Зеемана к «нормальному», Если Л(Р') О, то при усилении поля терм Ю" переходит в ()г* и терм )Р"«в %""; при ЛВ'( О, наоборот, )Р" переходит в )(г*' и )Р'" в Ф", Так как корень квадратный в (3) при изменении вели- чины Л15 сохраняет свой знак, то оба терма при изменении маг- нитного поля не пересекаются.
Вся эта картина в точности подтверждается на опыте, и вы- веденные здесь формулы были найдены сначала эмпирическим путем. Явление Зеемана дает возможность сравнить с опытом отно- сительные интенсивности линий, соответствующих переходам между термами с данными й и й' и различными значениями т и и'. Эти интенсивности могут быть вычислены без знания ра- диальных функций. В самом деле, в выражениях вида (6) 9 9 для элементов Гейзенберговых матриц множитель гв(п, А; и', й') не зависит от пг и е'! поэтому, согласно формуле (16) $ 3 гл. П1 ч. П, интенсивности будут пропорциональны величинам 1 = ( ! (й, т ! е( п д сов ф ! й'т') !г + +((й, и !Е)п()з1пг(г)й'и') 1'+)(й, т )созб )й', и')('). (14) Пользуясь таблицей $ 9 и формулами (15) Э 9, мы получим, например, для значения й' = й + 1 и для случаев т' = гп — 1, и(' = гп и т' = и+! следующие значения величины 1: ! (« — т)()г — т+ !] 2 (2«+ !)' ((г — т)(й + т + !) (еь + Иг ! («+т+ !)((5+т+2) 2 (2(г+ !)г Величина Те дает интенсивность света, поляризованного по направлени1о магнитного поля, а величины 1 и ГР— интенсив- ности света, поляризованного в плоскости, перпендикулярной этому направлению.
Сумма этих величин е+ ! + О+~' 2)г+ ! нс зависит от т. Заметим, что множитель гв(п, й; и', Й') зависит главным об- разом только от квантовых чисел ! и В и приближенно равен со- ответствующему множителю г(п, 1; и', Р) теории Шредингера (формула (14) $9 гл. 1Ч ч. П), так что для двух компонент дублета значение его почти одно и то же. Это замечание дает возможность сравнивать между собой интенсивности Зееманов- ских компонент, принадлежащих к различным компонентам дуб- лета. Глава 1П О ТЕОРИИ ПОЗИТРОНОВ й 1. Зарядовое сопряжение В главе 1 теории Дирака (з 5) мы указывали на возможность такого выбора матриц, при котором система четырех уравнений для компонент волновой функции свободного электрона имеет вещественные коэффициенты (уравнения (9) 9 5), Согласно формулам (8) $ 5, соответствующие матрицы Дирака будут равны (1) Нф0 = ю'й— де0 д~ (2) и для стационарных состояний, когда волновая функция зави— В'1 сит от времени через посредство множителя е " НФч = ЦУФ3, (3) где Б,ьз=цэ( 15,' +,А фэ)+,0( 1йс ' '+,А фэ)+ аео + а'( — 1йс ~ + еА ф') + гпс'а'фэ — еФфз = В'ф' да 2 (4) Напишем теперь уравнения, комплексные сопряженные с (4), причем изменим знак в обеих частях равенства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
