Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 54
Текст из файла (страница 54)
(Р— 6 соз е), йх х 2 хяпе Из этих уравнений мы можем исключить одну из функций 6 илн Р; результатом исключения будет соответственно х й 2 +х 1 +( — 4 х'+х(ус!де+ 2) — е'+у')Р=О, (!1) п2Р и'Р 1 1 или 32а Иа г 1к хе — -(-х — „+ь ~— — х2+х(ус!аз — — ) — йе+у2~6=О. (!!') с!»' с'х 'ь 4 2) Эти уравнения того же типа, как уравнение Фх ( Их)+(4+4»)~ (~ + 2 )р' Зо9 АТОМ ВОДОРОДА. РАДИАЛЬНЫЕ ФУНКПИИ о н! гера, буквой а атомную единицу длины ао И= ие' (19) и буквой г, расстояние от ядра в атомных единицах, т. е. отношение г г, = —.
(20) а' Постоянная а формулы (3) будет равна П/и'со — иге ! Мп е а= йс а т (21) так что переменная х связана с г, соотношенп . Мпе х=2аг=2 — го т (22) В качестве условия нормировки возьмем (23) или (23') Выражая 1! и (, через г" и 6, получим 1', + 1', = ., (г'+ ог' — 2гб соз в). (24) Вычисляя отсюда значение постоянной С, получим Со— (Р— !)(Г(Р+ )( .т — А) или, на основании (17), — +е (о!пе ) Мп'е Р! Г(Р+ е+ !) Мп' е (25) (25*) Подставляя (24) в (23') и принимая во внимание, что )г и ог друг к другу ортогональны, мы можем написать условие нормировки в виде ~ (~'+ 6') с(~= (23**) о ТЕОРИЯ ДИРАКА 360 (ч. ч Отсюда, вводя функции будем иметь з х б((к)= "" т —," — й. к'е з я"-( (к).
у Ч з(ье Величину .~ удобно обозначать через п*: зш з и' = —. т (26) (26*) (27) 5!и а Квадрат ее равен п"~ = рз+ 2р 1/йе — уз + йз (28) так что величина п' мало отличается от целого числа и =р+! /г), (29) которое можно толковать как главное квантовое число. Вводя п" в выражения (26) и (26"), можем написать их в виде 8 р= т, ~/п'+й( — ') е "'я' ( — '), (30) 3 а= т ~/п* — й(~ ')' е "" (;(,"'-~(~„').
(3)*) всего 2п — 1 значение. Число и не может равняться — и, так как тогда нижний значок Яр' (в (30) стал бы отрицательным; значение жс 7( = + п возможно, так как в этом случае, согласно (29), будет р = 0 и, в силу (28), и* = й, так что множитель ч(п' — 'и при Я" 1 обращается в нуль. Число р близко связано с радиальным квантовым числом п„ теор(ии Шредингера; а именно, на основании равенств п = и, + 1+ 1 = р +1/г( и связи между ! и й мы имеем р=п, при й) О, р=п,+1 при й(0.
) (32) При данном главном квантовом числе и число и может принимать значения й= — п+1, — п+2, ... — 1, +1, ..., и — 1, п, (31) тонкая стехктхгл водоеодных линии 36! Таким образом, мы нашли собственные функции, соответствующие точечному спектру. Не представляет особого труда найти решение наших уравнений для значения %'= + тс', соответствующего границе между точечным и сплошным спектром, а также для сплошного спектра, но на этом мы останавливаться не будем.
$ 12. Тонкая структура водородных линий Выразим теперь энергию через квантовые числа. Мы имеем, на основании (5) и (14) $ 11, (1) ,~/(л ! „/р т )е 1,у, ' или, на основании (27) 9 11, 'йг = те',у 1 — —, . l т-' 'Ч (2) Весь точечный спектр располагается в промежутке тс' ъ/1 — у'~('йГ ( тс', (3) тогда как в промежутке — тс' ( Ж' ( тс' ~/1 — у' (4) собственных значений энергии пет.
Для сравнения формулы Зоммерфельда с формулой Ридберга, полученной нами по теории Шредингера, мы перейдем к приближенным формулам. Извлекая приближенно квадратный корень в (1'), мы будем иметь 'йг = тс-,у 1 — — = — тс — — —, — — . (5) I т- 'е ! пюет-" 1 лет' *2 я 'э 3 Но, согласно (6) и (19) $ 11, е2 и!с'у' = — , с (6) тогда как формулы (28) и (29) $11 дают и*а = и' -)- 2(и — ! ь ~ ) ( ~/ й' — у' — ~ й ~ ), (7) Формула (1) носит название формулы Зоммерфельда. Как мы уже отметили в конце $ 7, теория Дирака дает здесь только положительные уровни. Наименьший уровень (основное состояние водорода) соответствует квантовым числам й = + 1, р = О, (и = 1), он равен Иге — — тсэ ~!1 — у' ТЕОРИЯ ДИРАКА 362 !ч. 17 Пользуясь этими выражениями, получаем, с точностью до членов порядка лес'уе, )е' = тс — —, — — — ( — — — »! .
е' е. "те» 4 3'т (8) 2аие За и' (.)Ь! и»' Первый член дает постоянную энергию (релятивистскую энергию покоя). Второй член дает формулу Ридберга, а третий — релятивистскую поправку к ней. Эта поправка зависит не только от главного квантового числа и, но и от числа й. Поэтому уровень энергии водорода, который по теории Шредингера зависел только от п и не менялся при изменении азимутального квантового числа 1, распадается здесь на ряд весьма близких друг к другу уровней, которые получаются, если в формуле (8) давать числу и все допустимые значения (31) 9 11.
В результате получится наблюдаемая на опыте тонкая структура в о д о р о д н ы х л и н и й. Заметим, что уровни энергии зависят только от модуля и (т. е. от 1, а не от 1), так что, например, термы Рч, и Оь для водорода совпадают. Найдем теперь разность тех уровней энергии, которые соответствуют дублету общей теории центрального поля (дублету щелочных металлов), т.
е. величину ЛЧ7= Ф'(п, й) — (Р(и, — й+ 1). (9) Формула (8) дает, если считать й ) О и положить й = 1+ 1, Л1е» = 2 е/(1+ 1) ° е'-т." (!О) С другой стороны, мы вычисляли ту же величину для общего случая центрального поля (формула (13) $ 6). Применим эту формулу к водороду. Мы имеем ЛВ= 4 ..., (21+ 1) ~ —,[~~ (»)1 е(». (11) о В этой формуле мы должны положить » =- а»и [11 (») 'з Й» = »Я;и (»,) Й „ так что 4 (21+ 1) ~ Ьп~ (»1) — '.
(13) 1 е Пользуясь выражением (11) э 6 гл. Л» ч. П для Ри(»,) и 2г~ вводя переменную интегрирования х = — ', получим и ЛЕ = — "' "+ ' ~ хм-1е-х [О*","', (х))' (х. (!4) а и' е явланне заемхнА. постхновкА зхдлчи звз % 1и Обозначим интеграл через 7. Если мы положим и — ! — 1 = р, 2!+! =з, его можно написать в виде ! = 1 х' 'г "Ю (х)з г(х 0 (15) Этот интеграл мы уже вычисляли в $4 гл.
Ч ч. П [формулы (2!) и (23)], он равен 2р+з+ ! л (з — 1) ам+ !) 2(21+ 1)! (! + !) ' (16) Подстановка этого выражения в (14) дает т аи и (17) т.е, прежний результат (!О). ф 13. Явление Зеемана. Постановка задачи Уровни энергии для центрального поля зависят, как мы видели, только от двух квантовых чисел и и Й; третье квантовое число т в выражение для энергии не входит, так что один и тот >ке уровень может соответствовать состояниям с разными значениями числа и. Если же поместить атом в магнитное поле, то каждый уровень расщепляется на несколько отдельных уровней, отличаю- шихся друг от друга значением квантового числа т.
В этом состоит так называемое явление Зеемана (Хеегпап), Для объяснения этого явления теория Шредингера оказывается недостаточной; теория же Дирака дает, как мы сейчас покажем, полную теорию этого явления, вполне согласующуюся с опытом. Обобщение уравнения Шредингера на случай наличия магнитного поля — уравнение Паули — было рассмотрено нами в ~~ 5, ч. П1. Но в уравнении Паули отброшены поправки на теорию относительности; между тем расщепление уровней от магнитного поля, вообще говоря, того же порядка, как зти поправки, так что их нужно рассматривать одновременно.
Поэтому для объяснения явления Зеемана необходимо рассматривать уравнение Дирака, учитывающее как теорию относительности, так и магнитное поле. Положим, что мы имеем постоянное магнитное поле Ж, направленное вдоль оси г. Вектор-потенциал этого поля будет, как мы знаем, Ак= — ~!М~ у, А„=з!Ж! ° х, А,=О, (1) ! 1 ТЕОРИЯ ДИРАКА 364 1ч е А, г(х+ А„г(у= Аегйр, 2 ( Р Р ) 2! или откуда АР = 2 1ж1р' = 2 ! ж1г' з!пз б. 1 2 1 (2) Добавочный член, который нужно прибавить к оператору энергии без поля Р ( г РЕ+ ГЕПЬ РЧ+ЗЗР )+Л2СР +!' (1') (О) получится, по общему правилу, путем замены ре на Р =рч+ — А„.
е а Обозначим этот член буквой 1т; он будет равен )с= —,е! Яв!Р. ззг з!пб. 1 (4) Чтобы найти поправку к энергии, происходящую от этого члена, нужн:.1 применить теорию возмущений и вычислить элементы матрицы оператора )7, соответствующие различным переходам. Как мы видели в в 7 гл. 1! ч, 11, главную роль играют элементы, соответствующие переходам между уровнями, весьма близкими между собой, т, е., в нашелг случае, между уровнями одного дублета. Поэтому мы будем рассматривать только эти переходы и положим и'=гг, й'(й' — 1) = й (й — 1). (б) (5') Что касается квантового числа т, то оператор )т коммутирует с оператором дифференцирования по гр, т, е.
с операто1х ром М„собственное значение которого есть (гп + 2 г1Л; поэтому (см. второй вывод правила отбора в 5 10) матрица оператора 22' будет диагональной относительно т, так что нужно положить П2' = П2. (6) Нам нужны, таким образом, следующие элементы матрицы: (й1Й1й), (й! й1 — й+ 1), ( — й+1!)41й), ( — й+11)71 — й+1) (7) (квантовые числа и и пг мы для краткости опускаел1).
а обобщенная составляющая вектор-потенциала по углу 1р най- дется по формуле 5 й~ вычислении млтэицы возмзщлюшвп энаггии зва Полный оператор энергии будет равен Н=Н'+ К и уравнение для его собственных функций напишется (Н" + Р) ф = Я7 ° ф (и) Применяя способ, изложенный в 5 7 гл. П ч. П, будем искать приближенное значение ф в виде ф = с,фь+ сзф-ььь (9) гле мы положили для краткости й, = (й [ )с [ й). (12) Формула (11) и дает исправленные значения уровней энергии. й 14. Вычисление матрицы возмущающей энергии Обратимся теперь к вычислению величин (7) 9 13. Пользуясь значением (29) $ 4 гл.
1 матрицы р,зз = аз и выражением (20) 9 4 для функций ф', получим (й [ Я [Уг') = = — е[М~~~~гз(пИ(д[' — Ц')(Й" — УЛ') г(ггЮгйр. (1) Выразим здесь 1 и д через [~ и [з при помощи (2) 9 б Н+ Иа 1~ — гй з72 зг 2 (2) где ф" — собственные функции невозмущевного оператора энергии Н*. Подставим (9) в (8), умножим слева на фь и проинтегрируем; затем умножим на ф" ьэ, и проинтегрируем. Мы получим два уравнения [)Р ь + (л ~ гс [й)! С1+ (и[ 74 [ — и + 1) сз = )Рсо 1 — й + 1 ~ )т [й) с, + [(г' ь+, + ( — lг + 1 ~ Л [ — й + 1[ с, = Ю'с„1 (1О) где (рд есть невозмущенный уровень, соответствующий квантовому числу й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
