Fluegge-1 (1185100), страница 37
Текст из файла (страница 37)
О, фаза цбб цаб цоб йог аш Об бл о Ог о дг а г 4 б в тб гг ьх Фнг. 45. Зависимость сечения з-рассепннп о, от М (в двух различных масштабах). Внладсм выеепэа аначеннй момента ! можно пренебречь толвно прн йй (( Ь Резонансный максимум вблизи Вя=а в вкспернменте будет выражен пс втой прнчнне менее атчетлнво. б„согласно равенству (84.б), становится малой величиной, так что в формуле (84.7) з!и б, можно заменить его аргументом: о, (О) = 4па,', а, = Я ~1 — " ) . (84,8) тч ест / Величина а„определенная равенством (84.8), называется длиной рассеяния потенциала.
Для нашего числового примера а,= 0,75)7. (О роли длины рассеяния см. задачу 88.) По мере роста энергии на виде кривой сечения рассеяния начинают сказываться резонансы, но в нашем примере только первый из них, расположенный вблизи м)7=5,1, приводит к отчетливо выраженному эффекту, Высшие резонансы почти не заметны на кривой сечения рассеянии.
Экспериментальная ситуация в этом отношении еще менее благоприятна, так как здесь приходится иметь дело со все возрастающими вкладами в сечение а от волн с 1~0. Таким образом, кривая сечения рассеяния содержит не очень много информации. чениями длин волн достигает наибольшего возможного значения. Далее, мы знаем общую закономерность всех резонансных явлений — при прохождении через резонанс фаза (в идеальном случае) скачком изменяется на и. Этой закономерностью и объясняется резкий рост фазы между точками, соответствующими минимумам амплитуды (на кривой 2 фиг.
43 они отмечены крестиками, а резонансы — кружками). Зная фазовую кривую, нетрудно рассчитать зависимость парцнального сечения рассеяния а,=- —, з!пеб, (84.7) 232 П. Задачи без учета слила. Г. Сферически симметричны потенциалы 2т ! Г Ье —— — хь" ' й ) з)пзйгр(г)дг, е откуда для частного вида потенциала, рассматривавшегося выше, получаем Я Кз у~2 бз= — — е ~ з)пэйгдг = — — е (2М вЂ” з)п 2М). е — ), 4й' о Рассчитанная по этой формуле фаза рассеяния показана на фиг.
43 пунктирной линией. Для представленной там энергетической области значения фазы рассеяния еше довольно велики, поэтому от борновского приближения не следует ожидать результатов, удовлетворительных в количественном отношении. Замечательно уже то, что даже для этих энергий борковская формула, если отвлечься от смешения резонансов, правильно передает ход фазозой кривой, включая ее ступенеобразиый характер; последнее, конечно, обьясняется наличием члена с синусом в формуле (84.9).
(84.9) Задача 85. Аномальное рассеяние Изменим потенциал предыдущей задачи таким образом, чтобы центр сферы был окружен потенциальной ямой: ~ — К'„0(г < г„ 2тр (г) О, й(г. Вычислить изменение фазы б„определенной в предыдущей задаче, и проанализировать случай Кз)4=4 (прежнее значение), К,г, = 1,5 и гт = т/,)т'. Решение. Рассматриваемый потенциал схематически изображен на фиг. 46. Введем обозначения х'= К,'— й', Кз =К;+Аз, (85. 2) смысл которых для энергий, не превышающих порогового значения (й'< К'„х — действительная величина), разъяснен на той же фигуре, В этих обозначениях радиальная волновая функция )(е(г) записывается в виде В 81п Кг, 0(г <г„ д, (г) = А (зй хг+ у с)т хг), г, ( г ( Р, (85.8) 3!п(лг+8,), г))с.
Для энергий, превышающих пороговое значение, величина х будет чисто мнимой, х = гх' (х' — действительная величина), Замечание. Каким образом фаза рассеяния Ьз стремится к нулю при очень больших энергиях, можно выяснить, воспользовавшись первым борновским приближением (см. задачу !Об). При ! О имеем ао. Аномальное рассеяние 238 однако формулы (85.2) и (85.3) после указанной формальной зал~ены можно использовать и в этом случае. Рассматриваемая задача отличается от предыдущей наличием дополнительного граничного условия при г=-г,.
Следовательно, при г,=О она точно переходит в задачу, рассмотренную ранее: формально в этом можно убедиться, положив в формуле (85.3) 7=0. Ф и г. 48. Рассеивающий потенциал задачи 88. х — 1я Кг,— Ш кгт у К (85.5) к 1- — 1а Кг, 18 кг, К а затем из условия (85.4б) — величину 6„ 6 = — М+агс18 а ха+у 1 ь 1 к 1+т18хй~' (85.8) Выражение (85.5) показывает, что при г„= О, действительно, 7=0, на что мы уже обращали внимание выше, С точки зрения числовых расчетов выражение (85.5) для у удобнее сразу же подставить в формулу (85.5).
Такая подстановка после элемен- тарных преобразований дает с,К., Ш х (1т — гД+хг,— 6, = — М -1- ага(8 — ° ' . (85.7) 1+ кг, — ' Ш к (тс — г,) Кг, Зависимость фазы рассеяния б„вычисленной по формуле (85.7) для значений параметров К„гт = 1,5, Ка ()с — г,) 2, Теперь в нашем распоряжении имеется два условия непрерывности логарифмической производной функции (85.3): одно в точке г = г„ другое в точке г = )с. Зги условия гласят: О ( 1) =Кгтс~акгт — — ягт 18 (85.4а) пхгь+т У.а(Р)=хЯ „к =Мс(8(И~-(-6,).
(85.4б) Из соотношения (85.4а) мы находим величину у, 234 11 Задачи без учета спина. Г. Сферичегни симмесчричные носченциалы КеЯ=4, от йгча показана на фиг. 47. Там же для сравнения изображены результаты, полученные в предыдущей задаче (кривая 6,), и результаты для случая рассеяния на жесткой сфере радиуса ах (прямая линия). Между кривыми б, и б, мы не видим существенного различия при энергиях, меньших ЙЯ = 2, 04 ог 0 -02 -ОМ -00 -ов -1 4 0 1 г г 4 г ы 7 йг — м. Фиг, 47.
зависимость фазы йа от 012 для случая 1=0 при аномальном рассеянии, которое вызвано потенциальной ямой внутри рассеивающей сферы. для сравнения приведена Фаза рассеянна а, в отсутствне потенцнальнаа ямы, определенная в предыдумеа задаче. Прямая линяя йолучена для рассеянна на жесткое сФере. Из этого можно сделать вывод, что волна не проникает глубоко внутрь рассеивающей сферы и поэтому потенциальная яма, окружающая ее центр, не оказывает заметного влияния на характер рассеяния.
Однако положение дел в корне меняется в интервале энергий 3 < яЯ < 6, где поведение фазовых кривых носит существенно различный характер. Резкий подъем кривой б, в окрестности точки 72)4=-3 указывает на наличие резонанса при этой энергии. Следующие рассуждения позволяют понять причину аномального поведения фазовой кривой б,. Предположим, что значение гг бесконечно велико. В этом случае мы имели бы дело просто с потенциальной ямой глубиной Д а + 7(оо в которой были бы принадлежащие связанным состояниям знер- Вб, Рассеяние на Резонансных рргммях гетические уровни, определяемые уравнением 1цК.,= —, К )'К вЂ” К В рассматриваемом числовом примере этому уравнению удовлетворяет значение Кг, =2,125, которому, если вернуться к первоначальной величине )с, будет соответствовать значение М = 3,14, т.
е. как раз точка фазовой кривой на фиг. 47, указывающая на наличие резонансного уровня. Задача 86. Рассеяние на резонансных уровнях С'1ерическая полость радиуса )с окружена тонкой потенциальной стенкой, непроницаемость которой характеризуется безразмерным коэффициентом ьа, так что потенциал имеет внд )7 (г) = ,2 о б (г — )с).
йэ (86.1) Исследовать расссяние парцнальной волны с 1=0. Замечание. Эта задача тесно сиязаяа с одномерным случаем, рассмотрен. ным нами а задаче 27, Однако определение коэффициента непроницаемости здесь отличается от определения, данного а задаче 20 и использояанного а задаче 27, наличием множителя 2Р н знаменателе формулы (66Л).
Дело а том, что а одномерном случае з нащем распоряжении не было характерного пара. метра, имеющего размерность длины, который был бы подобен радиусу сферической полости настоящей задачи. Заметьте, кстати, что одномерная Ь.функция имеет размерность обратной длины. Решение. Уравнение Шредингера для радиальной волновой функции )(,(г) в случае потенциала (86.1) имеет вид Х",+ ~й' — — 6 ( — г)] К,=о. гт (86.2) Сама функция у, должна быть непрерывной в точке, где у потенциала имеется сингулярность, ее же производная )(э' в этой точке претерпевает разрыв, что можно установить, проинтегрировав уравнение (86.2) вблизи поверхности потенциальной стенки. Зто интегрирование дает лег, Ь~г=Х'(Я+е) — ж'()~ — е)= ~ Х.
()т). З2 я-е так что для логарифмической производной (86.3) в результате получаются граничные условия Е„ф+е) — 1,, Я вЂ” е) = Ы. (86.4) 236 П. Задачи беа учета спина. Г. Сферичесхи синметричнме потенциала С помощью соотношения (86.4) теперь можно связать выражения для волновой функции внутри сферической полости: т, (г) = А з!и аг, г < )с, (86,ба) и вие ее )(,(г) =-з1пЯг+бо), г> й. (86.5б) В результате имеем л 1стЯ (л)ч' + 6 ) — стЯ лгч '1 =- ье.
(86.6) Последнее уравнение можно переписать в виде, более удобном для определения фазы: 1ц (х+ бе) =, где х = й)(. (86.7) 1+ Г1— х Амплитуда А, фигурирующая в выражении (86.ба), легко находится с помощью условия непрерывности функции те(г): А= х+ '). тпх Исключая отсюда с помощью уравнения (86.7) фазу б„получаем А = "*х+', (86. 8) 1Ке х+ (! + 11 — ) Как нетрудно убедиться, для непроницаемой потенциальной стенки ((е- со) нз уравнения (86.7) следует результат, соответствующий предельному случаю рассеяния на жесткой сфере: 1п(х+6„) =О, или 6,= — х. (86.9) В этом случае амплитуда А, согласно формуле (86.8), обращается в нуль. При конечных, но достаточно больших значениях йе, вблизи нулей знаменателя дроби, стоящей справа в уравнении (86.7), имеются такие узкие полосы значений энергии, для которых в характере рассеяния наблюдаются существенные отличия от рассеяния на жесткой сфере.
Это те же самые узкие энергетические полосы, для которых, как показывает формула (86.8), амплитуда А внутри полости становится большой. Таким образом, налицо типичное явление резонанса, когда для узких энергетических полос имеется сильная связь между колебаниями внутри и вне полости, а лля всех прочих энергий такая связь почти полностью отсутствует. Чем более проницаема потенциальная стенка, тем менее отчетливо выражено явление резонанса. Если (1>) 1, то резонансы имеют место вблизи точек х=пл. Но это соответствует как раз тем энергиям, для которых те ()7) = О, другими словами, это собственные уровни полости аб.
Рассеяние на резонансных ррш)нях в том случае, когда она окружена непроницаемой потенциальной стенкой. Таким образом, резонансные уровни, отвечающие максимальной связи, совпадают или весьма близки к собственным энергетическим уровням полости. Ниже обсуждаются результаты числовых расчетов для случаев Я=4 и )1 =10. Для меньшего значения, 0=4, зависимость фазы рассеяния от х показана на фиг. 48. При малых энергиях наша кривая ие очень отличается от прямой, соответствующей рассеянию на жесткой сфере, однако тангенс угла наклона начального участка нашей кривой равен — ь))(11-ьа) = — 0,8 вместо — 1 в случае жесткой сферы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
