Fluegge-1 (1185100), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(92.2) Низкоэнергетический предел сечения рассеяния при-А — 0 равен сг (0) = 4па'. (92.3) Так как значения параметров Х, и (3, полученные в предыдущей задаче, согласуются с правильным значением энергии связи дейтрона, то для вычисления величин и и о(0) мы можем просто воспользоваться формулами (92.1) — (92.3). Результаты числовых расчетов таковы: 1. Потенциальная яма без жесткой сердцевины (8 =- 1, Х3 = 3,070): У.е= — 0,3214, а=4,934 ферми, о=-3,059 бари.
2. Потенциальная яма с жесткой сердцевиной (Д = 0,8333, Хч= 4 267): Ез= — 0,3135, а=5,028 ферми, о=3,177 бари. Эти результаты представляют определенный интерес, так как они показывают, что при заданных значениях радиуса потенциальной ямы и энергии связи дейтрона наличие жесткой сердцевины очень незначительно, всего на 3,8оге, изменяет низкоэнергетическое сечение нейтрон-протонного рассеяния. Таким образом, эксперименты при низких энергиях практически не позволяют решить вопрос о существовании жесткой сердцевины в нуклон-нуклонных взаимодействиях, Следует отметить, что благодаря спинозой зависимости ядерных сил и большого вклада в рассеяние зЗ-состояния экспериментальное сеченФе рассеяния фактически составляет примерно 21 бари.
Полученные иге нз нашей модели числовые результаты хорошо согласуются с данными по рассеянию в зЗ-состоянии. УЗ, Рассеяние на модифицироеонном потенциале 253 Задача 93. Низкознергетическое рассеяние на модифицированном потенциале Пешля — Теллера Используя сферически симметричный потенциал 2 Ье йеае Л (Л вЂ” !) (93. 1) являющийся результатом обобщения потенциала задачи 39 на трехмерный случай, получить сечение рассеяния в пределе малых энергий (1=0).
Решение. Найденные в задаче 39 одномерные решения при 1=0 можно использовать и в трехмерном случае, следует лишь учесть, что дополнительному граничному условию уи (О) =-0 удовлетворяют только нечетные решения, поэтому ниже нам понадобятся лишь соотношения (39.126), (39.136) н второе из равенств (39.14). С учетом упомянутых формул имеем у„(г) ойп (йг + 6,), -с — |п 2 =и Г (Ь2~сс) е Дальнейшая, по существу чисто математическая, задача состоит в том, чтобы придать выражению (93.3) вид, удобный для числового расчета. Введя обозначения я л 2и ' 2 — =Ч, — +щц-а (93.4) перепишем (93.3) в более компактной форме: 6,— — "=агй Г (2(д) — 24!и 2 — агй Г (г-+ — )+ ага Г (1 — г).
(93.5) Из хорошо известных тождеств Г (22) = — е" '" ' Г (г) Г 1 г +— Г(г) Г(1 — г) = —. Мине вытекают следующие соотношения для фаз: агдГ(22) = 21п2 1гп а+ай Г(г)+агпГ ( г+ — ~ 1 Л ага Г (г)+ ага Г (1 — г) = — агйз)п пг. 254 П Задачи без унета спина. Г. Сферинесни симметричные лотенаиали — агиз!п и! — + !4 ) ! или б,=- ~-агйГ(2!!7) — агд Г(Л+2!д)— — агс12 ~ с1д —.1й и!7).
(93.6) лЛ 2' Для аргументов, фигурирующих в последнем выражении Г-функций, имеют место следующие представления: агу Г (Л+ 21д) =- 2д 1 — С+ е ( — — — агс1д — — ) ~ Лм (, л 2Ч Л-(дл — 1! агНГ(2!ег)=24( — С+~ ( — — — агс1и — --)1, (а 2д л — ! )!' поэтому их разность запишется в виде агд Г (2!д) — агй Г (Л+ 2ц) =- О 2д 24 — ! агс(д Л+л — 1 — — агс(д — ! =- -1(— Ф л т'! 2д ау! =агс1и — — + г сагс1н — — агс1д — !. Л 2 ~ ! Л+л л)' л= ! Отсюда окончательно получаем 6, = агс1 д — — агс1и ! с1д — ' 11! гсд ) + 2д / лЛ 2у! +~ ! агс1д — — агс1д — ! . Л+л л (93. 7) Нетрудно убедиться, что фаза рассеяния стремится к нулю при стремлении к нулю энергии рассеиваемой частицы (д О).
Действительно, Г'е ! !" е езд Л 2 2 Хе(Л+л л)' !!ш — '= — — с1и — + ~ . — — 1. (93.8) л ! Исключая из них агдГ(г), получаем 1Л вЂ” агйГ(г+ — )+агдГ(1 — г) = — агдГ(2г)+2 !п2 1гпг — агйгиппа. 2) Если теперь заменить здесь величину г ее выражением (93.4), то формула (93.5) приобретет вид б,— — '= (агд Г (2е!7) — 2д !п 2) + ~ — агд Г (Л+ 2е!7)+2!7 !п 2— 256 55 Задачи без учета спина. Г. Сферичссли симметричном потенциалы Некоторые результаты числовых расчетов показаны на фиг.
54, где изображена зависимость сечения рассеяния от энергии падающих частиц (обе величины взяты в подходящих единицах). Гнпсрбола 1)(2д)' соответствует предельному значению сечении Рр о=4п)лв1 оно всегда превосходит значение парциального сечения рассеяния с 1=0. В слу- ((М' чае Л 2 мы имеем резонанс при нулевом значении энергии, л йд для двух других кривых, соответствующих значениям Л42 Л=2,5 и Л=3, предельное сечение рассеяния конечно. В случае Л4З Л -2,5 вблизц точки (2д)' = 0,6 г ~- имеется виртуальный уровень (бо=п/2), поэтому кривая сер ах ос рб аа чениЯ РассенниЦ. ватой области энергий проходит очень близко от предельной гиперболы. Для Ф и г.
54. Сечения рассеяния на трех значения Л= 4 (эта кривая не различных модьнриииронанных потен- показана на фигуре) сечениЕ цизлах Петли — ТеллеРа. спадает до нуля (б =и) в точ! вперболв определяет предел члгй', кото- в Рмй ппкогдв не может бить превзойден КЕ (2е)) = 1, НО ЗатЕМ ПО МЕрв сечением о,. роста энергии снова возрастает. Задача 94. Радиальное интегральное уравнение Заменить радиальное уравнение Шредингера Х + ~йт — Ц(г) — —., 1 Х1= 0, !(!+1)) (94.1) где где )л = — +Ла —, де в 1(!+1) дгт г (г) = (' (г) )(! (г)~ (94.3) Й'= — и (! (г) = т 2тЕ 2т)т (г) дт ав интегральным уравнением.
Каким образом превратить это уравнение в интегральное уравнение с симметричным ядром? Как записать интегральное выражение для асимптотического значения фазы волновой функции )(,? Как связано решение этого уравнения, найденное методом последовательных приближений, с последовательными борновскими приближениями? Решение.
Уравнение (94.1) формально можно записать в виде неоднородного дифференциального уравнения О)(т = т' (г) (94. 2) Уь'. Радиальное интегральное уравнение 257 Функция Грина б (г, г') определяется как решение уравнений сгб(г, г') =б (г — г') и 0'6(г, г') = б(г — г'), и ее можно взять, например, в виде ( 1 —, (, (Ь ) п, (Ь'), г а. г', 6 (г, г') = †, ),((гг') и, ((гг), г ) г'. Так как нас интересует только волновая функция )(,(г), ре- гулярная в точке г= О, то в равенстве (94.5) мы должны поло- жить В=О; кроме того, мы можем выбрать такую нормировку, при которой А=!.
В результате искомое интегральное уравне- ние приобретает вид Х,(г)=1,(йг)+~ 6(г, г')У(г'))(,(г')г(г'. (94.7) о Теперь можно перейти к ответам на вопросы, поставленные в условии задачи. а. Симмегпричное ядро. Неоднородное интегральное уравнение (94.7) имеет несимметричное ядро 6(г, г') У(г'). Однако с помощью подстановки у(г)=)г~Ч)Х (), 1()=)г(7()! (Ь), К(г, г') =Р У(г) 0(г')6(г, г') оно преобразуется в уравнение у (г) = ( (г) + ) К (г, г') у (г') г(г' о (94.9) 9 Ре !ООО а выражение г" (г) можно рассматривать в качестве неоднородности. Однородное уравнение О)(,=О имеет фундаментальную систему решений !и'1 / Ы~ (г (Иг) — з(п ( йг — — ), п, (йг) — — соз ( йг — — ) . (94.4) Общее решение неоднородного уравнения (94.2) представляет собой суперпозицию общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, причем последнее определяется функцией Грина 6(г, г').
Таким образом, имеем ь т,(г)=А!',(йг)+Вп,(нг)+~6(г, г')г" (г')е(г'. (94.5) о 258 П. Задачи без учете саино. Г. Сферичееки симметричные нотенииаеа 1кт ! «1п!Г т,(«) з!и (Ь вЂ” — — — соз И« — — У (« ) 1,(Ь. ) т,(« )Й о (94.11) Последнее выражение можно записать по-иному: )(! («) — з)п (й« вЂ” — + б, ) 1п Х 1 (94. 12) 2 !,) сочи! ' где асимптотическое значение фазы 6, определяется интегралом Ф ! Р 1й б, = — — ) У («) 1, (Ь ) )(, («) Й . о в. Последовательнае приближения.
Эти приближения к решению нашего интегрального уравнения имеют вид последовательности Неймана: Х)о' = 1! (1'«) (94.!4а) Хео = /, (й«) + ) 0 («, «') П («') 1, (й«') е!«', (94. 14б) о (94.13) )()"' = 1, (И«) + ) 0 («, «') Е/ («') )(ы о («') е(«'. (94. 14 в) а Можно показать, что рекуррентная формула (94.14в) с точностью до нормировочных постоянных совпадает с формулой я-го борновского приближения (см. задачу 105): ! Г о!о ! е и„(г) = еом — 4 ) ~ ««, е«(«') и,, (Г ) о(ех'. (94.15) Чтобы убедиться в эквивалентности соотношений (94.!4в) и (94.15), разложим функции, фигурирующие в (94.15), по парци- с симметричным ядром К («, «') = К («', «).
(94. 10) В преимуществах такого преобразования позволяет убедиться задача 95. б. Асимптотическое значение фазы. Если нас интересует решение )(,(«) интегрального уравнения (94.7) при больших значениях «, то мы можем во всей области интегрирования пользоваться тем выражением функцяи Грина из (94.5), которое написано для «) «'. Эта возможность обусловлена наличием под знаком интеграла множителя У(«'), благодаря которому основной вклад в интеграл происходит от области 0(«' < )с, где П вЂ” величина порядка атомных размеров. С учетом изложенных соображений получаем 94.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
