Fluegge-1 (1185100), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Первые два нуля знаменателя дроби в (86.7) расположены соответственно при х, = 2,57 и «г — а- г г 4 5 5 т г -йа -)5 Фиг. 48. зависнаюсть фазы рассеяния йо от я)т для сферической полости с ь)=4. При больших аначениях Я реаонансы выражены отчетливее (сы. фиг. 49, а). х, =- 5,35 (на фигуре их положение отмечено вертикальными пунктирными линиями). Эти резонансные энергии лежат заметно левее точек х=ап, в которых фаза рассеяния вновь обращается в нуль. При ббльших значениях ьг резонансные энергии располагаются ближе к точкам х=пи, так, например, для значения за=-10 первый резонанс сдвигается в точку х,= 2,86, а второй— в точку х,=5,76 (см. фиг. 49, в). Подъем фазовой кривой становится при этом круче, и резонанс выражен более отчетливо. В пределе Й вЂ” оо мы имеем в точках х„= — пп скачки фазы Л6, =-и.
Разумеется, это не противоречит линейному закону (86.9) для случая жесткой сферы, так как к фазе 6, всегда можно добавить целое кратное и. Проанализируем явление резонанса в случае ь) = 10 более подробно. На фиг, 49, б изображена амплитуда А, рассчитанная по формуле (86.8). Мы видим, что у амплитудной кривой имеется два отчетливо выраженных резонансных максимума, лежащих в тех же точках х, которые отмечены на фазовой диаграмме (фиг.
49, в) вертикальными пунктирными линиями. Из фиг. 49, а видно, что сечение рассеяния, по крайней мере для первого из 238 Ы. Задачи без учета спина Г. Сферичеспи симметричном потенциала 1 бб 02 0 1 г 0 4 б б 7 0 зу б т г 0 1 г г 4 0 б 7 0 лх 0 0 1 г 3 4 б б 7 0 -00 о -11 -г,о Фиг 49. а — сечение рассеяния при!=О (на фигуре использованы два раз- личвыд масштаба). Несмотря на превебрел ение высшими моментами количества движения, на нривоб сечения Рассеяния даже для отчетливо выраженного реаонаисв прн ая=б,зб печется всего лишь довольно неаиачительныа пик.
б †резонан на амплитудной кривой. в — та же фаза рассеяния бш что и иа фиг. 48, но для случая ь1= 1О этих значений х, имеет небольшой, но не очень отчетливо выраженный резонансный пик. По обе стороны от каждого резонанса имеются две точки, для которых А =1 и, следовательно, Верхнему знаку отвечают точки х= пп, где б„= 0 и о, =- 0. Последний результат совсем нетрудно понять, еслй заметить, что в этом случае волновые функпии внутри и вне полости тождественно совпадают и поэтому не возникает никакой рассеянной Вт, Вклад состояний с виссаияи внаяения.ии асиента колиявства движения 239 волны вообще. Нижнему знаку в формуле (86.10) отвечают точки, расположенные вблизи минимумов фазы рассеяния. Из соотношения йов — =0 йх легче получить, что фаза рассеяния стационарна в точках !кх 2 х 0 — 1' Для случая 11 = 10 мы находим х= 2,6!6 н х= 5,406, в то время как формула (86,10) при выборе нижнего знака дает !Нх 2 х Й ' что прн том же значении (с приводит к значениям х=-2,654 и х= 5,454, располагающимся очень близко к точкам минимумов фазовой кривой.
Кривая сечения рассеяния содержит довольно скудную информацшо (см. фиг. 49,а). Первый резонанс приводит лишь к небольшому пику. На кривой не заметно никаких следов второго резонанса, если не считать двух нулей, расположенных много правее и много левее от него. Наличие этих нулей говорит лишь о том, что где-то между ними имеется резонанс неизвестной высоты и ширины. Еще меньше сведений мы можем получить из экспериментальной кривой сечения рассеяния, так как возрастающий с ростом х вклад состояний с высшими значениями момента может замаскировать наличие нулей на кривой сечения о,.
Задача 87. Вклад состояний с высшими значениями момента количества движения Для потенциала, рассмотренного в предыдущей задаче, вычислить фазы рассеяния и парциальные сечения рассеяния вплоть до значений 1= 2. Решение. При любом значении ! радиальную волновую функцию можно записать в виде Кс (г) = Лс)с(Ь ) для г ( )с, (87.!а) )(с(г) =)с(яг) сов 6,— пс(яг) з(пбе для г ) )7. (87.16) Так как при йг>)1 сферические цилиндрические функции имеют асимптотику !нх !зх 1 (нг) — з!и( !сг — — '!, п (нг) — — сов~ )сг — — '~, 2 ) с 2) то выражение (87.1б) приводит к следующей асимптотической 240 11. Задачи бее учета спина.
Г. Сферически симметричньм потенциалы формуле для функции )(ю: )(, з)п (йг — — з+ 6,), (п (87. 2) Следовательно, 6, есть фаза рассеяния 1-й парциальиой волны, а соответствующее парцнальное сечение о, = —, (21+ 1) з)п'бр (87,3) Для определения фазы рассеяния 6, мы снова воспользуемся граничными условиями в точке г Я, где функция )(ю должна быть непрерывна, а ее логарифмическая производная, г)(; (г)1тю (г), имеет скачок, равный но величине ье.
Таким образом, имеем А ю1ю (х) =!ю (х) сов бю — пю (х) зюп бю, (87.4) (т, -15 )ю (х) — (и бюпю (х) )ю (х) ( (' юю(х) — (Ибюпю(х) )ю(х) ) (87.5) Здесь х=М, а штрих означает производную по аргументу йг. Уравнение (87.5) позволяет получить для фазы рассеяния 6, выражение вида (д 6,— — ', (87.6) )ю (х) пю (х) —— гю 1а о,а О,а б ч АД5 которое можно подставить в соотношение (87.4) с тем, чтобы йг найти явное выражение для амплитуды А,. При 1== 0 сферические цилиндрические функции сводятся соответственно к 1,(х) = з(пх и л,(х)= — созх, а формулы (87.4) и (87.6) точно переходят в формулы предыдущей задачи.
На фиг. 50, а показаны фазовые кривые, соответствующие значениям 1=0, 1, 2. Расчеты проводились для случая ью=)0, а значения х брались в интервале 0<х(5. Все фазовые кривые зависят от х аналогичным образом, и основное различие между ними состоит в том, что при малых х по мере роста 1 они все медленнее удаляются от прямой 6=0. При низких энергиях о г 5 1юг Фиг. 50. Фаза рассеяния (а) и сечение рассеяния (б) в случае сферической полости с учетом вклвдз высших моментов. Пнк прн За=2.вз еще можно заметить. Ва. Приближение, не зависли!ее от формы потенциала 241 вклад дают только центральные столкновения с (=О.
Начиная со значений х=! и выше становится существенным вклад волны с 1= 1, а со значений х= 2 — и волны с ! =2. На кривых парцнальных сечений для 1=-0 и 1=! заметны небольшие резонансные пики (фиг. 50, б), однако на плавно меняющейся суммарной кривой о=о„+а,+о, они проявляются лишь в виде небольших возвышений. (Резкий спад этой кривой справа от точки х=4 обманчив: на самом деле здесь уже велик вклад от неучтенной нами волны с 1=-3.) Задача 88. Приближение, не зависящее от формы потенциала Показать, что при низких энергиях имеет место разложение в ряд по степеням й', начало которого имеет вид 1, 1 й с!й б, = — — -1- — гаА, где длина рассеяния а и эффективный радиус г,— единственные параметры, зависящие от потенциала.
Из сушествоваиия подобного разложения следует, что в области энергий, достаточно низких, чтобы можно было ограничиться двумя первыми членами (т. е. там, где еше не наблюдаются эффекты, связанные с 1=!), любая экспериментальная кривая о (Е) содержкт информацию, достаточную лишь для определения двух констант. Это означает, что таким путем нельзя определить фзгму потенциала. Последнее обстоятельство особенно важно в ядерной физике низких энергий, где опо является одной из причин нашего незнания количесгвенных законов для ядерных сил.
Решение. В этой низкознергетическои области мы будем иметь дело только со случаем ! = О. Обозначим посредством )( (г) радиальную волновую функцию состояния с энергией Ьй'!2т, а посредством )(а(г) †волнов функцию состояния с нулевой энергией. Эти две функции подчиняются дифференциальным уравнениям 1( — У(г)1( =О (88.1а) )(й+1йа — У(гЦ ун =О, (88.1б) где (у (г) = йт р (г), а также граничным условиям 2,(о) = о, х, (о) = о. (88,2) Поведение этих функций в области г ) Я„где потенциал считается равным нулю, определяется формулами )(а = С (г — а), у„= з!и (йг+ б,), (88.3) причем постоянная а может быть любого знака. 242 П.
Задачи без учета спина. Г. Сферически сиииетричные потенциала Умножая уравнение (88.!а) иа Х„, а уравнение (88.1б) иа хо и вычитая одио из другого, получаем Хохо Хохо = й Х,хо. Проинтегрируем это уравнение от О до г и воспользуемся условиями (88.2): Х (г) Хо(г) Х (г) Х»(г) й'~Хохойг о или Х Ход/ Хо Хо ~о 0 — — — =и Хо ХО Хо (с) ХО (с) Если в качестве верхнего предела интегрирования взять какое- либо значение радиуса )с > )г„то в левой части последнего равенства мы сможем воспользоваться выражениями (88.3) и в результате получим и Х (с) Хо( ) д' — й с1и (й)с+ бо) =-А" ( .
(88.4) Хо (~) Хо Я) Теперь мы можем заменить здесь котаигеис суммы по формуле с(а(йК+Ь,) =, о Д В результате уравнение (88.4) превратится в линейное уравиеиие относительно с1пб„и его решение будет иметь вид (88.5) ( — ()— (аул ' и где Хо (с) Хо (с) "с (1,, о — Х ((с) Х Ф) (88.8) До сих пор мы ие делали никаких приближений. Разложим теперь наши выражения в ряды по степеням й'. Для этого сначала заменим тангенс его разложением: йс188„= )+, +"' ! — я)1 — — яде~10+... 3 а затем заменим величину Я, определяемую формулой (88.6), более простым выражением: (88.
7) аа. Приближение, ие зависящее оиз фориоз пвтеиииала 243 где (88.9) или '.П ='-.— ' (88. 12) поэтому, подставляя (88.12) в уравнение (88.11), сразу же получаем — ( — г,) =О, каково бы ни было значение )с, лишь бы оно превосходило Ро. Следовательно, постоянная г, не зависит от выбора )с. Чтобы ответить на второй вопрос, предположим, что )г >(а(, тогда первый член в правой части (88.10) будет положительным, второй же член в силу неравенства 2(' > 0 — отрицательным. Таким образом, эффективный радиус будет положительной вели- чиной, если первый член рассматриваемого выражения больше я ) Х.з(е) ае 0 Хо (и) (88.8) В результате этих преобразований в числителе н знаменателе дроби (88.5) получаются выражения, верные с точностью до членов Й' включительно, так что после соответствующей перегруппировки мы приходим к формуле искомого вида: А С(8 бо —— + 2 Гол з где эффективный радиус определяется соотношением ! я а)з + аз Г я а ,з (88.10) Нам осталось разобраться в двух вопросах.
1. Величина )4, удовлетворяющая неравенству )с > )з'„ в остальном совершенно произвольна, поэтому необходимо убедиться, что эффективный радиус (88.10) от нее не зависит. 2. Если величина г, действительно имеет смысл эффективного радиуса, то следует проверить, всегда ли эта постоянная должна быть положительной. В первый вопрос легко внести ясность, рассмотрев изменение выражения (88.!0) при переходе от )з к й+е(К. Мы имеем ив ( 2 'о) = ( ) г ( ') — 2ЗЬ аз (88.11) Из определения (88.81 следует (, +„, ) он (П) Хо(П)-(-Хо'(П) и ок (Р~+ П ХОЯ)+ 2ХО (И) Хо (Й) сЯ 1+ Я вЂ” а 244 !д Задачи без учета спина, Г. Сферически силметричньы потенциала второго, т. е (я — а)э+аз УС"- З(д-а)* . Зто неравенство эквивалентно условию ~)[',(г)с(г ( ~~С(г — а)1эс[ = — Сэ(()с — а)'+аз), о о в чем нетрудно убедиться с помощью определения (88.8).
В случае а < О (фиг. 51, а) справедливость нашего неравенства следует а у асд Фиг. б!. Волновая функция ул(г) состояния с нулевой энергией иееасимптотнческое поведение при различных знаках длины рассеяния а а1 а с о; б> а > о. из того, что график функции )[, всюду располагается под прямой С(г — а).
Оно справедливо и в случае а > О (фиг. 51, б), если только точка г 4 а распололсена не слишком далеко от нуля функции )[,(г). Замечание. С помощью равенства л [С [г — а)]э дг= — Сэ ((!г — а)э+аз) 1 3 о формулу для эффективного радиуса [Яо.!0) можно привести к виду гч ~((! а) эСэХе[г)~дг о Обычно в литературе используют такую нормировну, при которой асил~птотически уэ 1 — гга и, следовательно, С= — 1/а. Кроме того, в рассьютрение вводат Разность этой асимптотнки и фУнкции 1!э г Ч' [г) =1 — — — Хэ [г) а что позволяет записать формулу для эффективного радиуса в виде т ф(э[2(~ —.')-,К))чы. 89.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
