Fluegge-1 (1185100), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Таким образом, для дальнейшего анализа у аеас остаются значительно более простые выражения з = — ~лс !соз()+ ~~~ + +сан'ч(1ее<г е)-~-)неге<а-г))~ т 2г за = — М е — з1п б — — "" ()е'е '"-"+ ~неге "-") ) . т ( 2г В этих формулах первые слагаемые не зависят от г.
Они представляют собой г- и 0-компоненты направленного вдоль Е0. Интерференция ьадаюжей и рыселннод еалн 2ш оси г вектора плотности тока з,=МУ!т, порожденного плоской волной. Так как Ь(т=о есть скорость частицы, то величину'Ж следует понимать как плотность падающих частиц. Второе слагаемое в выражении для эе представляет собой радиальный поток, который мы можем отождествить с плотностью потока рассеянных частиц. При любого рода наблюдениях для получения конечной интенсивности мы должны по необходимости использовать какой-то детектор, который виден из рассеивателя под малым, но обязательно конечным телесным углом 6(1. Если детектор находится на расстоянии г ат рассеивателя, то в каждую секунду через его поверхность, равную г'6(), пройдет и будет зарегистрировано 68 = ~~ — М 1~,„~ )г'д()= — У~(~('Ж2 (80.4) ьп ьп рассеянных частиц.
Разделив этот поток на плотность потока (М!га) Л' падающих частиц, получим величину бо= ~ (7(0) 1'Й() ж17" (6) ('бй, (80.5) не зависящую от первичной интенсивности и являющуюся, таким образом, характеристикой рассеивающих свойств взаимодействия, вызывающего рассеяние. Это отношение имеет размерность площади и носит название дифференциального сечения рассеяния в телесный угол 60. Отсюда для полного сечения рассеяния получаем о = у 17(6)1'е(й. (80.6) Нам осталось разобрать вопрос об интерференционных членах в формулах (80.3б), которые, будучи пропорциональными 1(г, на первый взгляд играют даже более важную роль, чем члены, отвечающие плотности потока рассеянных частиц. Во всех этих членах имеются сомножители, меняющиеся медленно, и сомножители, меняющиеся быстро при изменении телесного угла.
При интегрировании любого из них по малому, но конечному телесному углу бй медленно меняющиеся сомножители (такие, как з(пб) можно считать постоянными, так что остается лишь рассмотреть интегралы вида ~ созй(г — г) Ж3 или 1 з!пй(г — г) дР. (80.7) ев ьа Если Фг очень велико, то даже при интегрировании по сравнительно небольшому телесному углу 6Р изменения аргумента й(г — г) =йг(1 — сов О) вызовут большое число осцилляций периодических функций, стоящих под знаком интеграла в (80.7). Следовательно, эти 220 у!. Задачи без учета анина.
Г. Сфера'гески симметричные потенциалы интегралы практически будут равны нулю (во всяком случае, их вклад не будет пропорционален бьз), и поэтому в пределе очень больших утг мы вправе опустить интерференционные члены и рассматривать потоки от падающей н рассеянной волн как независимые. В этой связи стоит, пожалуй, отметить, что 2пг йг =- —, Х где Х вЂ” длина волны де Бройля, которая обычно имеет порядок атомных (или даже ядерных размеров, т.
е., скажем, 1О-' см, Величина же г — это макроскопическое расстояние между частями экспериментальной установки, равное по крайней мере 10 слг. Таким образом, величина йг равна 6 1Оз и, действительно, очень велика. Задача 81. Разложение плоской волны по парциальным волнам Решение.
Плоская волна и Вгаг вгег соз о (81.1) является решением уравнения Шредингера для свободного движения: р'и+й'и=О, уз'= —. йз (81. 2) Общее решение этого уравнения, полученное путем разделения переменных в сферических координатах, имеет вид и =,— ~,), (А, уг (узг)+Вг тпг (утг)) Р7 (сов б) вгте, (8!.3) 1=0 зг=-Г где !г (Ь') = 1ггг — /г ы, 1ггг); пг (йг) = ( — 1)г" 1гг — ! и+ г,г(йг).
(81.4) Каждый член суммы (81.3) представляет собой вклад состояния, характеризующегося вполне определенным моментом количества движения, т. е. квантовыми числами ! и гп, Представляя плоскую волну (8!.1) в виде разложения (8!.3), сразу же можно добиться двух упрощений. 1. Вклад в сумму лают только слагаемые с пт=О, так как выражение (81.1) не зависит от угла гр. Физически это связано с тем, что пучок частиц параллелен оси г, и поэтому проекция момента количества движения на ось г равна нулю. Разложить плоскую волну по парциальным волнам, соответствующим состояниям с определенным моментоьг количества движения. 222 Ы. Задачи без учета спина.
Г. Сферически симметричные потенциалы Подстановка выражений (81.8) и (81.9) в равенство (8!.7) теперь дает А, = (21+ 1) (г, (81. 1О) так что окончательно разложение (81.5) принимает вид О ага' = — ~, (21 + 1) Р 1, ()гг) Р, (соз 8). 1 !=о (81. 11) Если воспользоваться нормированным выражением для сферических гармоник Г2! -(- 1 (81.12) то разложению (81.11) можно придать несколько иную форму: ег"'= — ~~~'1 4гт(2!+1) 1~(г()гг) 1'г о(0). (81.13) с=о Обоими разложениями (81.11) и (81.13) можно пользоваться с равным успехом. Замечание Д Из равенства (81.7) и соотношения (81.10) вытекает интегральное нредставлеиие для сферических функций Бесселя ! г (г(г) =1-г — ) егыр! (!)дг.
2 -1 Метод, использованный нами при решении этой специальной задачи, часто применяется для нахождения подобных интегральных представлений. где ь — длина волны де Бройля, а р является грубой мерой расстояния, на котором частица с квантовым числом ! пролетает мимо начала координат. Такое выделение из полной суммы одного отдельного члена разложения, разумеется, некорректяо: наблюдаемые величины по необходиьюсти выражаются через билинейные комбинации и и и* (или их производные), что ведет к возникновению интерференциониых членов. Только в пределе больших квантовых чисел ! можно дать классическую интерпретацию отдельной пррциальной волне.
Дело в том, что высоние сферические гармоники быстро осниллируют, поэтому усреднение даже ио небольшому интервалу углов приводит к выпадению интерференциониых членов. Замечание 2, Для т=о проекция момента количества движения на ось г равна нулю, Ь,=О, две другие проекции. й„ и ую ие имеют определенного значения.
Это йаходит отражение и в классической картине, когда пучок па. дающих частиц расслаивают на тонкие пилнндрические слои радиуса р. Для каждого такого слоя, имеющего ось г в качестве оси симметрии, величина ь имеет определенное значение (и=тор), но при этом все еше допустимы всевозможные способы разбиения вектора ь иа компоненты !а и йю Бесхитростное ивантование, ь Л1, прнводит к соотношению Гс! Х р — =! —, то 2п' 82. Разложение амплижуды рассеяния па парииальным волнам 223 Зама»ание 8. Пусть плоская волна распространяется не в направлении осв а, а в направлении вектора а со сферическими углами т» и П». Если посредством б' обозначить угол между векторами а и г, то в соответствии с форл»улой (81.13) будем иметь »' у ГТ~(~~~»й»»гс,»»».
1 — йг 2м »=в Применяя к этому выражени»о теорему сложения сферичесиик гармоник 2!+ 1 4 1».в(б)= ~» Уст(ет. б»)» им(б, Ф), (81.15) м=-! получаем разложение более общего вида и е'"'= — „~~»' ~~»' 1'й(дг)У7,ы(6, б»)уды(б. Ф) (8!.16) Задача 82. Разложение амплитуды рассеяния по парциальным волнам Пусть внутри сферы радиуса )с имеется потенциал (г (г) и пусть вне этой сферы потенциал равен нулю. В этом потенциальном поле рассеивается пучок частиц, описываемый плоской волной, Воспользовавшись разложением в ряд по парциальным волнам, вычислить амплитуду рассеяния и выразить ее затем через значения логарифмических производных парциальных волн на сфере г = )т.
Решение. В области г < )с волновую функцию можно записать в виде и= — ~~ Р(21+1)К,(й, г) Р,(созО), (82,1) где Кг" + ~йа —, — — „)г(г)1 К, =- О, К,(0) = О. (82.2) Г (О+1) 2га Граничные условия определяют функции К, с точностью до постоянной амплитуды, но логарифмические производные, ' =(й'-'),, (82.3) от этой постоянной амплитуды не зависят. Ниже предполагается, что величины Сг известны.
Вне сферы г=)с можно написать ы и = — ~~»' 1' (21+ 1) ~/г(йг)+ — ссгйн' (Иг)) Р, (соз О). (82А) » а 224 П. Задачи без учета саима. Г. Сферичееии симметричные аотеициаеи Если бы все а,==О, это выражение совпадало бы с разложением плоской волны из задачи 81; члены, пропорциональные сферическим функциям Ханкеля первого рода, соответствуют наличию дополнительных расходящихся сферических волн, Действительно, 6) и (Аг) =- (, (лг) +!п, (лг) е' " не'е'.
(82.5а) Вспомнив далее асимптотическое поведение функций (, ) (Ь) з(п Ь.— — '~, !ах 2 (82. 5б) находим, что на больших расстояниях разложение (82.4) для и ведет себя как и 2,.а ~~' (21+1) 1(1+а,) ееэи — ( — 1)'е ™) Р,(созб). (82.6) е=о Основываясь на законе сохранения числа частиц при упругом рассеянии, можно заключить, что квадраты модулей амплитуд сходящихся и расходящихся волн должны совпадать, а именно ~ 1+ «е!' =-1. (82.7) где величины би как очевидно, представляют собой аснмптотический сдвиг фаз решения уравнения (82.2) по отношению к решению (82.55) уравнения Шредингера для свободного движения. Лмплиепуда рассеяния ) (б) связана с рассеянной волной и, соотношением ееее — еее* г (б) поэтому 1 (чт) = 2 у ~' (21+ 1) и, Р, (соз и), (82.11а) е=о С учетом равенства (82.8) эту формулу можно записать несколько иначе: ( (б) =- —, ~~~' (21+!) (е*еое — 1) Р, (сов 6).
(82.11б) е о Другими словами, должно выполняться равенство м еееое (82.8) с учетом которого разложение (82.5) можно записать в более компактной форме и — — ~" (21+ 1) ('емез(п ()ег — — + бе) Р, (сов б), (82.9) е=о Ю. Рассеяние ари нивких внереиях 225 Теперь нам осталось выразить коэффициенты ас через логарифмические производные Е„определенные посредством формулы (82.3). Последняя задача решается с помощью условий непрерывности функций )(с и с()(е/с(г на поверхности сферы в= К, Мы имеем Здесь штрих означает производную не по г, а по )ег. Деля второе из приведенных соотношений на первое, имеем +2 7и = х,, х= М, (82, 12а) )с (х)+ — сс!)ес (х) 2 и отсюда находим Ее)е (х) — х(е (х) а =— (на("(х) — хьео (х) (82.12б) Разумеется, полученное выражение опять удовлетворяет закону сохранения числа частиц (82.7).
В этом нетрудно убедиться, введя сферические функции Ханкеля второго рода и исключив функции /,(х) с помощью соотношения )с(Х)= 2 (Ь! '(Х)+Ь) (х)3 (82. 13) если учесть, что при действительных значениях аргумента функции л)е'(х) комплексно сопряжены с функциями й',о (х). Действительно, в соотношении 1 + е еь) ~(х) ха)и (х) (82.14) ~А" (х) — ")и'" (х) числитель дроби комплексно сопряжен с ее знаменателем, поэтому 11+а,~ = 1 в полном согласии с равенством (82.7). Задача 83. Рассеяние при низких энергиях В М 1Обб Разложение амплитуды рассеяния по сферическим гармоникам сходится тем лучше, чем меньше параметр х = )б)с. Убедиться в справедливости этого утверждения прямым вычислением коэф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
