Fluegge-1 (1185100), страница 34
Текст из файла (страница 34)
(77.1) В частном случае атома водорода получить интегральное урав- нение для функции д,(й). Решение. Интегральное уравнение (14.6), записанное в атомных единицах, имеет вид ( 2 ле — Е) 1(ее) = — ) (е' (й — ?е') ? (Й') с('"'/г', (?7.2) где ф' (?е) —, е-т е )/ (г) с(зх 1 г (77.3) В том случае, когда потенциал (Г(г) зависит только от модуля г радиус-вектора г, оно сводится к интегральному уравнению для функции д,(/г).
Действительно, в этом случае в формуле (77.3) можно произвести интегрирование по телесному углу, так что в результате получится ядро, зависягцее только от модуля вектора ?е: (77.4) о Но тогда ядро интегрального уравнения (77,2) будет функцией переменной (Ф вЂ” А')' = — й'+ й" — 2И' соз у, (7?.5) где у — угол, образованный векторами й и А', и ядро )Р' можно будет разложить в ряд по полиномам Лежандра. Это разложепяе имеет вид Я ))? ()й — й' () =~а„(А, й') Р„(сову), (77.6) п=а Таким образом, в пространстве импульсов правомерна та же самая вероятностная интерпретация: в рассматриваемом квантовом состоянии абсолютное значение импульса частицы будет обнаружено в интервале между Й и а+ ей с вероятностью ~д,(й) ) ~й.
77. Ураенение 1Нредингера е инлулеенои лредслгаелении 213 причем коэффициенты разложения а„зависят только от абсолютных значений )е и й'. Именно это обстоятельство позволяе~ представить волновую функцию в виде произведения (77.1) Подставляя в интегральное уравнение (77.2) вместо функции 1'(л) ее выражение (77.1), получаем ~ —,' йе — Е') — „' л, (А) У, „(6, Ф) = Ю = — ~) ~е(йХ'ан ()е, й') —,д,(й') ф Р„(созУ) У, (6', Ф') е(о', н 0 Интеграл по углам можно вычислить с помощью теоремы сложения: н Р„(сов у) — — ~~' У„„(0, Ф ) 1'„„(О, Ф).
и=-« В результате от суммы остается только член с индексами л =! н р=-= и, и мы получаем — д,(ге) У, (6, Ф) = —, ) !г'а,(и, А')д,(й') У, (6, Ф)е()г'. о По угловым переменным последнее равенство является тождествоч, что подтверждает корректность представления (77.1). Что же касается функции д,(А), то для нее мы имеем интегральное уравнение ( 2 и Е) кг (л) = — 21л ! ) й ог (А й') й (л') ей'. (77.7) е В частном случае атома водорода У(г) =-- — —, 1 (77.8) и интеграл (77.4) с помощью предельного перехода М 1!т '! е " в!пх е( х = 1 можно вычислить до конца, в результате получаем (77.9) Отсюда, согласно формуле (77.5), )й (ее — )е')— н'/Й-е'е 4 иет — е 214 71.
Задачи без учета спина. Г. Оферически симметричные ааамнциалы н 1 а г= 2ай (77.10) (77. 12) и интегральное уравнение окончательно принимает вид ( )е' Е) дс (й) = — ~ Яс( 2й )8'с ()е') сй'. (77.14) о Замечание. Интегральное уравнение (77.!4) было решено В. Фоком (см. 2з. Рйуз., 99, 145 (1935)]. При таком подходе волновые функции в импульсном представлении находятся без помощи собственных функций в координатном представлении. Однако в случае кулоновского поля второй способ оказывается более простым, и мы рассмотрим его в следующей задаче.
Задача 78. Водородные волновые функции в импульсном пространстве Найти импульсное представление волновых функций, принадлежащих низшим уровням (1з, 2з, 2р) атома водорода. Решение. В задаче 78 мы уже показали, что в поле центральных сил волновой функции в координатном представлении и (г) = — )(с (г) Ус (4), ср) (78.1) в импульсном представлении соответствует функция ) ()е) = — дс (А) )ес „(81, Ф), (78 2) поэтому нам остается определить лишь „радиальную" функцию дс (й), связанную с функцией )(с (г) преобразованием Ханкеля: Ю 81 (й)»» )à — „' ' ) 1с (йг) Хс (г) бг (78.3) о Полагая сову = с, замечаем, что в рассматриваемом случае равенство (77.6) представляет собой хорошо известное разложение Ю ~'.
(2 -( 1) 4. ( ) Р. (() (77.11) »=о коэффициентами которого служат так называемые функции Лежандра второго рода 1 Р„(11 дс 2) а — С -1 Следовательно, в нашем случае а» (Й, Й') = 44нзйй' (2п+1) (с» ~ 2йй' д (77.13) 79. Штарк-444ект у проетранотоенною ротатора 215 Для трех заданных состояний, используя атомные единицы, можно написать Ви )(„(г) = 2ге ", Ф /2 Р и„= "à — 2 ) г з!п йге 'е(г) о 29: )( (Г) =- ( à — 2 Ге Е-Пг Ю д, = — ( à — — Г') З!П МГЕ-е7' Е(Г1 1 2р1 Х„( ) = — 'е-", )/24 О у — 1= г'( — — созйг)е-т'Ь.
1 Г Гяндже Вычисление этих интегралов элементарно, хотя громоздко. Результаты вычислений дают .,/2 4к й1о( ) )~ (1 ! 1е)ее 32 )е (1 — 4уе) 1' хс (1+4йе)е ' . 12З Ье 8'„(и) = — 1— 1' зп (Г+И')т Непосредственной проверкой можно убедиться, что чаях выполняется условие нормировки ~ ) д„, (й) (' й = 1, о и несколько (78.4а) (78 4б) (78.4в) во всех слу- (78.5) Задача 70. Штарк-эффект у пространственного ротатора Во втором порядке теории возмущений рассчитать штаркэффект у пространственного ротатора с электрическим дипольиым моментом р. Решение. Невозму1ценному уравнению Шредингера удовлетворяют сферические гармоники: е 7 е'г' Е,)', как это и должно быть согласно общей теории (см.
формулу (76.11)). 216 П. Задачи без учета спина. Г, Сферичесни симметричные потенциалы причем для собственных значений имеет место формула йз( (1+1) (79.2) 26 Энергия возмущения при наличии произвольно направленного электрического поля Фо равна У = — р (~„з!и 6 соз ф + 8и з(п () 3 !и ф + 8 соз ()) . (79.
3) Чтобы определить матричные элементы энергии возмущения У, <1', т'(У(1, т>=9)Угб У(6, гр)У! г(й, (79.4) воспользуемся соотношениями" 3!пбе'еУ! =а, Угчт „— а,, „,У,, созбУ! =Ь, Уг, „+Ь,, „У,, „, где (! (- т+ 1) (! + т+ 2) а! = (2!+ !) (21+3) " См., например, Ве(не П. А., Яа!ре!ег Е. Е. в книге: Епсус!арейа о1 РЬуа(сз, чо1. 35, зрмпдсг, нег!)п — Согппдеп — Нс!де!Ьегя, 1957, р.
432. (Имеется перевод: Бепм Г., Солпитер 3., Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами, Физматгнз, 1960, стр. 542. — Прим. перез.) (1+ т + 1)( ! — т+ 1) (21+ 1) (21+ 3) (79.6) Если теперь учесть свойство ортонормированности сферических гармоник, то окажется, что для каждой данной пары квантовых чисел 1 и гл отличными от нуля будут следующие шесть матрич- ных элементов: 1 +" + ( (' 2(ыч тя)~ <1 — 1, т+ ! !У(1, т>=+ — (Ф.„— 1Е„) ра,, <1+1, т — 1~У!1, т>=+ 2 Ы.+~В„) рао „, <1 — ! — ! (У(1 т>= — 2 (т +18„) р <1+1, т!У/1„т>= — 4',рЬ! <1 — 1, т!У/1, т>= — 4'грЬ! г Среди них нет ни одного диагонального матричного элемента (1=1').
Это означает, что поправка первого порядка теории воз- мущений равна нулю: Л,Ее=<1, т)У)1, т>=0, (79.8) т. е. в рассматриваемом случае линейный эффект Штарка отсут- ствует. Это же утверждение сохраняет силу и для матричных 80. Интерференция падающей и рассеянной воли 217 ч ч 1<!', т' ( у !1, т>)е 2 Ь и Е! — Ер (79.9) В этой сумме, согласно (79.7), содержатся шесть слагаемых, а их знаменатели находятся с помощью формулы (79.2), поэтому тйю 1 а1, т , а!, 2 л в ~а~!,т=Р ь ~4 Ял+8и) 1! !б ! 1) (! ! 'ц(! ! 2)+ г 2 + и! т,-т-тти~ Ьт-~~+ 1(!+ — (! — ц ! Ь1,„ Ь! т,т + ф1 ~! (!+ ц — (!+1) (!+2)+ ! (!+1) — (! — 1) Д ~ .
(79.10) Подставляя в последнее выражение значения коэффициентов а, и Ь! из (79.6), мы окончательно получаем р'6 2 а т, !(!<и ц — Зт' ~~еЕ!, — 2й,е ( ю''в — ю. — юи) (2!+з) (2! ц 1(!+ ц. (79.!1) Найденная формула не применима к случаю (=О. Зто нетрудно понять, если принять во внимание, что в состоянии У,, нет никакого выделенного направления, поэтому возмущение должно быть просто пропорционально б".*. Вычисления, аналогичные выполненным выше, показывают, что в этом случае из шести матричных элементов (79.7) отличны от нуля только три матричных элемента <1, т'1 У ! О, О> с т' = + 1, О, — 1. Окончательный результат имеет вид (79.
12) Литература Меуелл К., Еа. Рйуа., 231, !54 (1970). В работе рассмотрен случай сильных полей, а также устаиовлейы гранины применимости второго порядка теории возмущений, б. Упругое рассеяние Задача 80. Интерференция падающей и рассеянной волн В задачах рассеяния на волновую функцию необходимо наложить асимптотическое граничное условие (так называемое элементов вида <1, пт')У((, пт), поэтому возмущение не приводит к смешиванию вырожденных состояний, принадлежащих одному н тому же значению ! и разным значениям т. Следовательно, мы можем воспользоваться более простыми формулами теории возмущений без вырождения. Таким образом, для расчета квадратичного эффекта Штарка мы будем иметь 218 гг'.
Задачи деа учета саина. Г. Сферичесни симметричнне потенциала условие излучения Зоммерфельда) е1"г и — е'"' + "( (()) —, )ее — оа, (80.1) Показать, что на больших расстояниях от рассеивателя оно приводит к суперпозиции падающего и рассеянного потоков без заметной интерференции между ними, и установить соотношение между амплитудой рассеяния и сечением рассеяния. Решение. К волновой функции, имеющей вид (80.1), можно применить формулу для плотности тока в = —. Ф (и*11и — итги*), й (80.2) в которой нормировочная постоянная М характеризует интен- сивность потока частиц. В сферических координатах оператор градиента имеет компоненты: д 1 д 1 д аг' в г дд' а ге1пб дгу ' (80.3а) Так как функция и не зависит от угла ф, то, очевидно, з„= О.
Для двух других компонент вектора а с помощью формулы (80.2) после несложных вычислений получаются выражения Йу l ег" '"-" е,= — Ф ( соз(г+ — е )+ — Ж~~(йг(1+сов О)+1) —,, + Еае "-О1 +г [~г (1 +с~~э б) е ге йь Е 1, ей~г аа = — — У з1п б + —. чч' ~(1" — ейг з1п 61) —— т 2т1 ге ЕМ ~е-с~1 Й вЂ” У +~~"щ 1) —,. )+2 т.ге (1~ — И ), здесь штрих означает производную по О. Полученные формулы должны выполняться лишь асимптотически (нг — со), поэтому мы можем пренебречь последним членом, который пропорциона- лен г-', по сравнению с плотностью потока рассеянной волны, пропорциональной г '. Что касается интерференционных членов, стоящих в фигурных скобках, то мы оставим только те из них, которые содержат в качестве множителя величину нг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
