Fluegge-1 (1185100), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Г. Сферичэсии симметричные иотснциолы оптимальное значение энергии будет равно Е= — 1' Р з 4 (р+1)з ' (72.9) Так как величина р по определению положительная, то связанные состояния могут существовать только в том случае, когда р >! или, как это следует из формулы (72.8), когда К > 2. В рассматриваемом приближении этим неравенством и определяется минимальный размер потенциальной ямы, в которой возможно существование связанных состояний, Ниже мы приводим цифровые данные, полученные по формулам (72.8) н (72.9), -л)У, л/тч Зомсчоиие.
Использованное приближение является довольно хорошим. Если пробную функцию (72.1) заменить менее удачной функцией Х' = С'сзе "', С' = — аз, 3 то вариационная процедура даст 2(р+1)з рз(р — 3) = зрз (р+ 5) " е 8 (р+! )з . Очевидно, в этом случае связанные состоянии могут существовать только прн условии р > 3, т. е.
для значений Задача 73. Изотопический сдвиг границы рентгеновского излучения В тяжелых атомах средний радиус орбиты К-электрона примерно в 100 раз превышает радиус ядра )с. Следовательно, благодаря конечному размеру ядра энергетический уровень К-элект. рона должен претерпеть небольшое смещение. Рассчитать указанное смещение, считая электрический заряд равномерно распределейным по объему ядра. Кроме того, определить изотопическое смещение границы рентгеновского К-излучения галлия (2=81) 1,00 1,05 1,!О 1,15 1,20 1,30 1,40 2,000 2, 025 2, 050 2,08 2,!1 2,!8 2,24 0 0,0017 0,0036 0,0058 0,0081 0,0!35 0,0198 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,50 2,32 2,39 2 46 2,54 2,70 3,12 0,0270 0,0349 0,0438 0,0532 0,0633 0,0740 0,1364 гд.
Изотоничесний сдвиг границы рентгеновсноео излучения Ю! для двух изотопов с атомными весами А 203 и А=205, пользуясь для радиуса ядра формулой )7=ею 4 ' го=1,2 10-" см. ' (73,1) Эффектом экранировки К-электрона пренебречь. Решение. Энергия взаимодействия электрона с ядром имеет вид / Лег — — с) Я, Г (73.2) Начнем с невозмущениой задачи о движении электрона в поле точечного ядра Я=О). В этом случае лег У, = — — (всюду). (73.3) т г', тег 1, тег и =-= -', 7=-2 —, Е = — — гг— лг ' ' 2 йг Здесь иг(г) и Е,— соответственно волновая функция и энергия основного состояния кеплеровской проблемы (см.
задачу 67). Энергия возмущения равна разности (О, г>Я, 1' г = Лег г г' 3 й т '=1 ( ) г + 1 юг 2 с Отсюда для сдвига энергетического уровня получаем и ,се с г З йц бЕ= Š— Е, =) и,'(У вЂ” У,) с(т= 4п ) гг ~е-'г' — ( — „— — -1- — ) с(г. о (73.5) В области интегрирования показатель 2уг всегда меньше 27)7- 0,02, поэтому в подынтегральном выражении (73.5) мы можем положить е-ге~ Используя далее величину гЯ в качестве переменной интегри- рования, после элементарных вычислений получаем ЬЕ = — угс,е%г =- — Лг — ( — ) = — Яг ~ Е ! ( — ), (73.6) 5 5 ог (,аг,) 5 ' (,аг ) ' где а, = 7гг((ргег) означает боровский радиус.
В случае Л=-81 формула (73.3) дает Е, = — Лг 13,60 эВ = — 88,3 кэВ. (73. 7) Полный сдвиг уровня ЬЕ для изотопа с атомным весом А =203, 202 П. Задачи без учета спина, Г. Сферически симметричные потгпмполы согласно формулам (73.1) и (73.6), оказывается равным ГзЕ= )Ее( 0,935 х10 '=8,25 эВ. (73.8) Изотопический сдвиг, т. е. разность между значениями 7зЕ в случае А=203 и в случае А+ЛА =-205 получается отсюда дифференцированием: Я= — — ЛА = — — ЛЕ.
йАЕ дп 2 ЛА 37с ЫА 3 А Йля рассматриваемого примера это приводит к значению 5=0,00656ЛЕ=6,14Х!0 т(Ее). (73.9) В то время как абсолютное значение энергии К-оболочки, согласно формуле (73.8), сдвигается вверх на вполне заметную величину ЬЕ7Е 10 ', разностный эффект для соседних изотопов 37Е (который можно было бы обнаружить по расщеплению К-линии рентгеновского излучения, будь он достаточно велик) составляет, согласно (73.9), менее одной миллионной.
Замечание. Эффект экранировки, конечно, значнтельно больше рассмотренных сдвигов, однако он совершенно одинаков для обоих нзотопов. Экспернмент для границы К-лнннн таллня дает значенне 6310 рндберг, нлн 88,9 кзВ, вместо нашего неэкраннрованного значення (73.7), Что касается нзотопнческого расщепления, то оно почти не зависит от агой поправки. Задача 74.
Основное состояние мезоатома Вычислить энергию связи (ь-мезона в 1з-состоянии в поле того же ядра (Л = 81), которое рассматривалось в предыдущей задаче. а) Почему в этом случае нельзя использовать применявшуюся там теорию возмущений? б) Применить вместо теории возмущений вариационный метод Ритца, взяв в качестве пробной функции выражение вида и = С (1-)- иг) е-"', (74.1) в котором считать величину а вариационным параметром. Решение а. Масса р-мезона р в 207 раз больше массы электрона пт, и вместо атомных единиц длины и энергии а,= — =5,29>с!0 ' см, Е,= — =27,2эВ, $' Ш6~ те' Лз мы теперь имеем мкюнные единицы а,= — '=2,56х10 " см, Е,= ~ Е,=5,63 кэВ. (74,2) В невозмущенном состоянии (точечное ядро) средние радиусы электронной аг/2 и )ь-мезонной а,72 орбит в соответствующих 74.
Основное состояние аевсасяона для которого волновая функция основного состояния (см. за- дачу 65) имеет вид яа и, (г) = ("— ) ' е (74.4а) где Хее о1' = —, „,де а соответствующая энергия равна (74,46) (74.4в) Приближенно решение (74.4а) должно быть верным прн малых значениях г, для которых его можно разложить в ряд и,=(~~ ) *(1 — ~ г'+ ...). (74.5) С другой стороны, прн больших значениях г истинный потенциал стремится к нулю, а не к бесконечности, что имеет место в случае потенциала (74.3), поэтому поведение истинной волновой функции будет определяться множителем 2и1 е (74.6) и она будет убывать значительно медленнее, чем функция (74.4а).
единицах в обоих случаях равны 1)е.= 1,236 х10 '. С другой стороны, радиус ядра гг = 7,05 х 10 ни см в атомных единицах равен 1,33 Х 1О 4, а в мюонных 2,75 Х 10 '. Таким образом, радиус электронной орбиты примерно в 100 раз превышает радиус ядра, а радиус )с-мезонной орбиты равен примерно половине ядерного радиуса. Следовательно, р-мезон находится главным образом внутри, а электрон — вне ядра, поэтому р-мезонная волновая функция определяется осцилляторным потенциалом внутри ядра, а электронная волновая функция — кулоновским потенциалом вне ядра. Эти геометрические различия отражаются и на значениях энергии.
Отношение ЬЕ)~Ео), равное для электрона [согласно формуле (73.8))е/,Л'(Р!а,)'=0,935х!О-е, в случае р,-мезона будет равно е/,2' Я)а,)' = 3,98, следовательно, в этом последнем случае „возмущающая" энергия не является малой по сравнению с энергией невозмущенного состояния, более того, она значительно превосходит ее. б. Внутри ядра имеется осцилляторный потенциал )Го(г) = —,(г — 3Р ), (74.
3) 204 гл'. Задачи без учета спина. Г. Сферичесни симметричные потенциалы Разложение пробной функции (74.1) имеет теперь вид и=С(1 — — г*+...), сравнение этого выражения с разложением (74.5) позволяет огкндать для а' значение, близкое к рмгггс. Кроме того, пробная функция в отличие от (74.6) асимптотически ведет себя как е- ', что гораздо больше похоже на поведение истинной функции, чем поведение функции (74.4а), но хорошего результата от пробной функцин можно, разумеется, ожидать только в том случае, если а ж к. В мюонных единицах, как следует из формул (74.4б) и (74.4в), от= 1,98х!0' н Е,= — 1,46х10' и, следовательно, в соответствии с (74,6) к=-54. Если для того, чтобы отождествить функции (74.4а) и (74.1) при малых значениях г, мы положим а'= рлогй, то в принятых единицах а=)г ог будет равно 44,5, что ис так уж сильно отличается от к= 54.
Таким образом, у нас есть все основания ожидать, что пробная функция (74,1) обеспечивает хорошее описание реальной ситуации. Заметим здесь же, что использованная далев вариациониая процедура приводят к слсдукгщим значениям: а 64 и к — 60. Перейдем теперь непосредственно к приближенному вычислению энергии основного состояния, при этом мы всюду будем пользоваться мюонными единицами (!с =1, гг=1, е =1). Нормируя функцию (74.1), получаем аа С'=- —. тп ' Вычисление среднего значения кинетической энергии дает Е„,„= — — ) иу ис(т= гоаз. (74.8) Что же касается вычисления среднего значения потенциальной энергии Е = 4п ) г и — ( — — 3) й — 4гт ) гаи — с(г, г,х гг г я,х потея = ) 2Й (, Н~ о л то оно оказывается несколько более затруднительным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
