Fluegge-1 (1185100), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Зто нетрудно сделать, восполь- зовавшись тождеством ,Р,(и+1-!-у, а+1 — у, 2и'+1; у) ,Р,(а+1+у, а+ ! — у, 2а'+ 1: 1 — у)+ Г (2а'+ 1 ! Г (! — е) -1-(1 — у)'-' „1,,Р,(а — у+ е,а+у+ е, е; 1 — у), где е = 2(а' — а). Так как далее аь ,Р, (а, Ь, е; 1 — у) = 1+ — (1 — у) +..., то первый член в точке у= 1 в пределе е — О становится равным Г(2сс+1) !.
Г(е — !) !(щ Г (а+У), е Г( — У+е) ' Поскольку !пп =( — 1)"+ел(, Г (е — !) е о Г(е — л) первый член будет конечным, если и только если и — у= — л, л=О, 1, 2, 3 .... В знаменателе второго члена имеется множитель Г (а+ 1 — у) оо, поэтому этот член обращается в нуль, за исключением случая а — у =О, когда он равен и, следовательно, расходится при у- 1. Таким образом, мы при- ходим к выводу, что при л= О граничное условие (68.66) не вы- полняется и поэтому собственные значения определяются из условия (68. 10) а — у= — л, л=1,2,3..., ! Зб !!.
Задачи бга рчепт саина. Г. Сферически симметричисм иотенциали а принадлежащие им (ненормированные) собственные функции имеют вил у=е "(1 — е «),гт(2сс+1+л, 1 — л, 2са+1; е""). (68.11) Отметим, что в этом случае гипергеометрический ряд вырождаетср в полипом относительно переменной е ", Из условия (68.10) получаем а=— яа (68. 12) уг!!лоооосаий ~т а ау у!отели иал потенциал Л г Хиииптепа г/а Чэ и г 39. Кулононский потенциал и потенциал Хюльтсна с оаинакоимми син- тулирностами. Обретите ввнвввне нв сленг энергетнчесннх урсвнеа Так как а > О, то по необходимости должно выполняться неравенство (зэ ) и*. (68.13) Оно означает, что для существования дискретных уровней энергии размеры потенциальной ямы должны превышать некий минимум, определяемый равенством ре= 1. Точнее говоря, неравенство (68.13) определяет число связанных состояний, реализующихся в потенциальной яме данных размеров. Используя равенства ЮУ.
Молеауллрный аотеицаал Кратцера 181 (68.2б), соотношение (68.12) можно записать в виде (о( о ) (68.14) Потенциал Хюльтена при малых значениях г ведет себя наподобие кулоновского потенциала Ъ'еа Г Задача 69. Молекулярный потенциал Кратцера Для анализа вращательно-колебательного спектра двухатомной молекулы Кратцер предложил использовать потенциал вида )г(г) = — 2О( — — —,) (69.1) у(л) с минимумом у'(а) = — 0 (фиг. 40). Решить уравнение Шредингера, считая, что один из атомов значительно тяжелее другого (примером может служить молекула Не). В этом предположении тяжелый атом можно считать неподвижным и связать с ним' начало системы координат (в противном случае нам пришлось бы решать и эквивалентную одночастичную задачу — см.
подробности в задаче 150). циал Кратиера. Решение. Движение легкого атома массы еп описывается уравнением Шредингера 7'и+ — е ~Е+20( — 2 з)) и=0, (69.2) допускающим разделение переменных и =- —, х, (г) 1', (О, ф). (69.3) а при больших значениях г он убывает экспоненциально, поэтому в хюлтеновскую потенциальную яму „вмещается" меньше связанных состояний, чем в кулоновскую. На фиг. 39 представлены для сравнения оба потенциала при числовом значении 8*=30: кулоновский потенциал изображен слева, а потенциал Хюльтена— справа.
Здесь же показаны энергетические уровни; кулоновские уровни всегда располагаются ниже хюлтеновских, число которых остается конечным (в нашем примере их всего пять). !88 П. Задачи без унта саина. Г. Сбмричесни симметричнне аатенциали Используя безразмерные величины (69.4) где у > О, а р в случае связанныл состояний действительно и также больше нуля, мы получаем для радиальной части волно- вой функции Х, дифференциальное уравнение вида б'х Г хт те+~ (с+ 0) — '+ ~ — р'+ —— бее 'Г х хе ~ )(,=о, Оно имеет существенно особую точку при х= аа, вблизи которой нормируемые решения, соответствующие связанным состояниям, ведут себя как е-а, и другую особую точку при х=О, где )(, — хх, а показатель Л является корнем характеристического уравнения Л (Л вЂ” () = те -(- ( () -~- ().
Из двух корней этого квадратного уравнения на(н нужен лишь положительный корень: 2 'гс у +(с+ з) (69.6) Так как Л>1, то волновая функция обращается в нуль при г= — О, что объясняется наличием сильного отталкивания между атомами (см. фиг. 40). Приведенные соображения наводят на мысль положить )(, (г) = хне-зх Г (х). (69.7) Подстановка выражения (69.7) в уравнение (69.5) приводит к уравнению Куммера общего вида для вырожденной гипергеометрической функции: х~" +(2Л вЂ” 2()х) 1'+( — 2ф+ 27') 1 О. (69,6) Стандартная форма уравнения Куммера получается после замены х на г =- 2рх. Таким образом, имеем 7=,Р,(Л вЂ” 1— , 2Л; 2()х) .
(69.9) Теперь мы по отдельности разберем случаи отрицательных и положительных энергий. а. Отрицательные энергии. Для связанных состояний () > 0 и решение (нормировка произвольная) принимает вид Х,=-хне-а',Р,(Л вЂ” ~— „, 2Л; 2(зх) . (69.10) Для больших значений х вырожденная гнпергеометрическая функция пропорциональна егах, поэтому функция )(с неограниченно возрастает при х- оо, если функция,Р, не вырождается в поли- 7вз оу. Моеекуеарныа иотекцаае Кратцера (69.! 3) (69,15) Заменяя в формуле (69.13) величины (7 и у на частоту»а и момент инерции 6:= гпа') (69. ! 6) получаем Е = — — В~'+ Ьеа (о+ — ) + — (! -(- — ) — — ( + — )— Первый член в этом выражении является постоянной и непосредственно не сказывается на положении спектральных линий, хотя его значение и можно вычислить иа основании спектроскопических данных. Второй член описывает колебательные уровни, характеризующиеся колебательным квантовым числом о. Третий член ном.
Когда же такое вырождение имеет место, функция ~, стремится к нулю при х- оо и решение действительно становится нормируемым. Следовательно, Л вЂ” т= — о, о=0,1,2,.... (69. 11) Соотношение (69.11) определяет собственные значения 6 и приводит к следующей формуле для энергетических уровней: ье те Е= —— 2тае (о+Л)е ' эту формулу с учетом соотношения (69.6) можно записать в виде е= — ' » [,.» '.» 7» (())). ')'.»» ~ )69)2) Остановимся на анализе этой формулы несколько подробнее.
Так как для болыцинства молекул у)~1, то выражение (69.12) можно разложить в ряд по степеням !7у. Это даст 2(+-2') (!+-2')' З(+-2')' Е=)7 — 1+ + т )(+-')(»-,')' те Выражение (69.1) для потенциала )г(г) также можно разложить вблизи минимума в точке г=а: Р(г) = —,— О. (69.!4) Отсюда для классической частоты малых гармонических колебаний получается выражение )90 )д Задачи без учета саина. Г. Сферичесни симметричные аатенциаеы б.
Положительные энергии. В этом случае 6 — чисто мнимая величина. Если ввести волновое число й, то, как показывает определение, мы можем написать () = — 1)са и, следовательно, йх=- — йс. Вместо решения (69.10) теперь имеем )(с = с"е"',Р, (Л вЂ” (т, 2Л; — 21)сс) . (69.19) (Здесь нормировка по-прежнему произвольна).
Как и раньше, в точке с=О волновая функция обращается в нуль. Ее аснмп- тотика определяется с помощью известной формулы с ' ' Г(с — а) Г(а) (и с. з) е-саа з-а ) Ссаа-с е "(с) -а Г(с) которая выполняется иа всей комплексной плоскости г с разре- зом вдоль положительной мнимой полуоси. Применение этой формулы к выражению (69.19) после довольно длинных преоб- разований дает те хя )(,— С,соз~йс+ ~ !п2йс — — пи), где фазовый угол т)с определяется соотношением т'1 Г(Л+) — 1 е'"с= (69. 21) а С,— (не представляющая интереса) нормировочная постоянная.
С точностью до логарифмического члена радиальные части волновых функций (69.20) оказываются периодическими, когда (69. 20) соответствует вращательным уровням с постоянным моментом инерции (так как ((+с)е)*=-1(1+1)+'/„то это слагаемое содержит еще один постоянный член). Четвертый член ведет к некоторону понижению колебательных уровней, обусловленному ангармоничностью потенциала.
Наконец, пятый член характеризует связь между вращениями и колебаниями, что опять-таки обусловлено ангармоничностью потенциала, Разумеется, наше разложение оказывается тем хуже, чем больше квантовые числа, особенно колебательное квантовое число и, и поэтому им нельзя пользоваться в случае энергий, близких к энергии днссоциации (и - са). Однако для таких энергий вся модель вообще теряет смысл из-за нефизического характера поведения потенциала прн очень больших и очень малых с. В заключение приведем формулу для энергии диссоциации молекулы, получающуюся из выражения (69.17) при о= — О, 1=0: Ее„„=.з 6) са — й ссса -1 4еч -1 Гзсэ, +,, . (69.18) ) , ) ьч Зйе 70.
Полмияиал Морса 19! Замечание. Потенциал Кратцера сыграл большую роль на ранней стадии развития квантовой механики, так как он позволял получать точные решения даже в том случае, когда ! > О. Однако этот потенциал горазло менее фиаичеи, чем потенциал Морса, который тем не менее все еще достаточно прост, чтобы с его помощью можно было построить теорию рассматриваемого круга явлений.
Потенциалу Морса будут посвящены две следующие задачи. Полученные там результаты, по крайней мере для связанных состояний, можно бтдет сравнить с результатами, найденными нами в случае потенциала Кратцера. Литература Кга(хег А., 2з. Рьуз., 3, 289 (1920) (классическая трактовка задачи). гиез Е., Апп. Рйуз., 80, 367 (1929) (квантовая трактовка задачи). Задача 70. Потенциал Морса Колебания двухатомиой молекулы прекрасно описывает потеициал Морса Р (г) = )л (е-'"' — 2е-'"), х = (70.1) го Решить уравнение Шредингера для связанных состояний при! = О.
Для количественного анализа воспользоваться приведенными ниже экспериментальными данными для трех типичных молекул м —, см-в зм'о О, см-о Моловтлв 38292 37244 12550 60,8296 10,5930 0,0374 1,440 2,380 4,954 Но НС1 зо Здесь М вЂ” приведенная масса атомов, а энергия дана, как это прииятов спектроскопии, в ем ' 1Е(эВ) =Е(см-') х1,2398х10 '1. Решение.
Начнем с небольшого обсуждения свойств потеициала, который впервые ввел Морс (фиг. 41). На больших расстояниях ои соответствует силам притяжения, в точке х=О расстояние между атомами велико. Логарифмическое искажение периодичиости обусловлеио тем, что рассматриваемый потенциал асимптотически подобен кулоиовскому потенциалу.(см. задачу 111). Интерпретируя потенциал Кратцера как потенциал взаимодейст. вия пары ионов, каждый из которых имеет электрический заряд е, мы находим, что 2дга=е' и уо/иа=е',гЬ(где р — скорость), и, таким образом, действительно можем отождествить логарифмический член формулы (69.20) с логарифмическим членом в кулоиовском поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
