Fluegge-1 (1185100), страница 26
Текст из файла (страница 26)
В нашем распоряжении, однако, имеется лишь неполная информация, позволяющая точно определить 7„но не содержащая Ж Средние значения комлонент момента количества денис«ноя Ш7 никаких сведений относительно «фазового» угла ~р. Тогда в каждом отдельном случае мы можем определить лишь фазовое среднее„ например, за (-я- ~, ') (-яйр. о Так как величина г', не зависит от угла ф, то она имеет вполне определенное значение; что же касается средних значений 1.„и (,„, то они обращаются в нуль. Различие между классической и квантовой механикой состоит в том, что в первом случае в прин. ципе можно было бы получить полную информацию и тем самым сделать фазовое усреднение ненужным, во втором же случае получить полную информацию из-за некоммутативности операторов вообще невозможно, так что приходится довольствоваться средними значениями. Вместо классического среднего по фазе квантовая механика позволяет нам вычислить математическое ожидание, т.
е. среднее по состоянию: <ь'„>=ф)'г, 1.„)гг,„с(ь) н т. д. Математическое ожидание описывает средний результат, полученный на основании большого числа независимых измерений, произведенных над системами, которые находились в одном и том же состоянии. Если все эти измерения приводят к одному и тому же результату (именно такова ситуация в нашем случае с компонентой 1.,), то мы имеем дело с вполне определенным значением, и математическое ожидание переходит в собственное значение.
Если же различные измерения приводят к разным результатам, то на основании квантовой теории мы можем получить только соответствующее среднее значение". Вместо того чтобы вычислять средние значения компонент момента, целесообразнее иметь дело с их комбинациями Е+ и ь-. Действие операторов (а.!0) на функцию )гг „дает 1см. приложение, а также соотношения (56.14)) ).еУг „= — $)гс(1+и+1) (1 — гл) Уг, „„„ (;)гг „= — Я ЪГ(1 + т) (! — т+ 1) Ъ'г „,. Следовательно, в выражениях <(.'> и <г*.-> появляются лишь интегралы вида ф)г; У~ „муса, и Квантовая теория дает возможность не только предсказать средний результат большого числа независимых измерений, но и указать вероятность появления каждого отдельного результата.— Прим. ред. !88 П.
Задачи без учел!а спина. Г. Сдмриеесни симметричные аотениыаем обращающиеся в нуль в силу ортогональности сферических гар- моник. Таким образом, математические ожидания Е„и Ь„так же„ как и фазовые средние в классической картине, равны нулю. б. Две действительные волновые функции, рассматриваемые в этом случае, имеют вид и, = — ()с, „+)с, ) -созт!р, ! (58.2) и = —,(1 с — )Г ) з(пт!р.
Обе функции являются собственными функциями оператора Ь', но не являются собственными функциями ни одного из операто- ров 1.„, 1.с, 1.,", так как 5+и, = — — )гг'(1~т+1) (1~т))сс м!+ й' + рс(! ~ т + 1) (1 ~ т) 1'с Е м =! — [)сс(1~т+1)((=г )Уи = й — рс(1 ~ т -1- 1) (1-+- т) г'! Ь,и+ — — ест 1 и, Ь,и = — Гет(и (58.4) (58.3) фи и сй-) сойера)пт!рсйр=О.
с Между математическими ожиданиями <Ь„> и <Ес>, с одной стороны, и математическим ожиданием <(,> — с другой, однако, имеется существенное различие. В классической картине волновым функциям и+ и и все еще соответствуют состояния, для которых фазовый угол ср так же, как и в случае „а", может принимать все возможные значения. Угол же б может принимать всего два различных значения: б, = Ю и б, = и — О, поэтому О Исхлючеяяе представляет случай си=о.— Прим ред. Следовательно, во всех трех случаях нас должны интересовать лишь средние значения. Для й„и 5и (или Е" и 5 ) мы по существу должны повторить выкладки, которые были сделаны в случае „а"; для математических ожиданий, как и ранее, в силу ортогональности сферических гармоник получаются нулевые значения.
Что касается й„то равенства (58.4) и здесь приводят к нулевым средним значениям, поскольку <Е,> = ф им l.,им!И = .+ Гст( ~ им из сЯ = О„ а функции ие и и также ортогональны. Это нетрудно усмотреть, заметив, что дд. Радиальная компонента оператора импульса Е,=~Есозб и Е,=Есозб — Есозб=О. В квантовой механике математическое ожидание Е, проистекает из смеси взятых с равными весами состояний с Е,=+Ьгп и Е,=- — Йт. В этом можно убедиться с помощью равенств (58.3) и (58.4): при действии операторов Е„и Е„вместо функций и, и и получаются совершенно иные функций, в то время как при действии оператора Е, функции и н и просто меняются местами, поэтому из их линейной комбинации мы снова можем образовать собственные функции оператора Е,.
Действительно, Е,и,=йпа, для и,=и +(и Е,иь = — гьтиь для иа = и„— си Задача 59. Радиальная компонента оператора импульса Получить оператор, канонически сопряженный координате г, Каков явный вид этого оператора в координатном представлении? Решение. В классической механике импульс р„сопряженный радиусу г, определяется как проекция вектора р на направление радиус-вектора г: р„= — (рг). (59.1) В квантовой механике это определение из-за некоммутативности компонент р и г становится двусмысленным; классическому выражению (59.1) априори могла бы соответствовать любая линейная комбинация вида р,= йр — +(1 — )) — р, г г Оператор р, должен быть эрмитов, т. е.
р„=-р~. Это дает Х= 1 — Х или Х=- '/, и, следовательно, ! г г р = 'р —,+ грьг=( ° г (59.3) Чтобы показать, что это симметричное выражение действительно является оператором, канонически сопряженным с радиусом г, мы должны проверить справедливость перестаповочного соотно- шения =Ф Ргг грг= г (59.4) Зпмечание. Действительные комбинапик типа (58.2) играют роль в квантовой химии, где предпочтительнее рассматривать не момент количества движения, а избранные направления, определяемые местоположением соседних атомов в молекуле. бб.
Решения, бкиекие к тбппеенным функциям 161 Эрмитовость этого оператора легко показать, непосредственно проверив справедливость соотношения <и ) Рео> = <Реп ) о> для любой пары комплексных функций и и о, для которых эти интегралы имеют смысл. Мы находим ° Абдо ! <Р "1о>=5 [1 (б + н)3 о'(т=~ ~ Т~бе+ " )1~~~ Эти два интеграла будут равны в том случае, если —. ~ ( иа — + и' — с + — о+ и' — п ) е(т = О, .3~ 'б. ' ° а. или Еао), (а нн~.~ — ',) а,-а. Внутренний интеграл можно преобразовать к виду б, (и'~~') а) =-1ее' «'),", о так что он действительно обращается в нуль, если функции и' и о конечны в точке г=О и исчезают на бесконечности.
Следует, однако, заметить, что нормировочные интегралы <и ~и> и <о)о> существуют и в том случае, когда функции и и о имеют в начале координат особенность вида Пг. Таким образом, одного условия нормировки не всегда бывает достаточно для исключения не имеющих физического смысла решений, например в случае сфе- рнчески симметричной ямы при е'=О. Задача 60. Решения, близкие к собственным функциям Дана потенциальная яма радиусом а с характеристическим безразмерным параметром В" = — У а'=9, «» а где У,— глубина ямы.
Построить графики волновых функций для 1 = 0 и йа = 2,20; 2,28; 2,36 (й †волнов число внутри ямы). Этн значения произведения йа выбраны таким образом, что онн лежат довольно близко к паиннзшему собственному значению. Решение. Обозначим посредством (ка)а = Ж" — (/га)* (60 !) 6 на ~ооо 162 П Задачи без ичепю спина. Г. Сфзрически симметричные потепяиальг энергетический. параметр вне ямы, тогда волновая функция внутри и вне ямы будет соответственно иметь вид и, = —, з! и (йах) 1 (60.2а) и, = з)г [ха (х — 1)1 + й с!т (ма (х — 1)1, (60.26) где .х=— (60.3) — безразмерная радиальная координата с радиусом ямы в каче-. стве единицы длины.
Нормировка волновой функции выбрана йч йг -дг -йэ аа- Ф нг 34. Волновые функции лля энергетических уровней, блнзкнх к собст- венному значению гвмнльтоннзнв. таким образом, чтобы выполнялись начальные условия и=-0 и с(и/г(х= 1 при х=О, а коэффициенты функции и,(х) определены из условия непрерывности и и и' на границе ямы в точке х:=-1. Для получения собственных значений необходимо потребовать, чтобы коэффициенты при гиперболических функциях в формуле (60.26) удовлетворяли соотношению соз йа в!н йа ха йа которое с учетом равенства (60.1) можно записать в виде 1н йа 1 йа )/И г (йа)т (60.4) (ср.
задачу 25). Для случая Ярз=9 решение равно йа = 2,2789. (60.5) Волновые функции (60,2а) и (60.26) изображены на фиг. 34, здесь же схематически показаны потенциальная яма и соответ- бд Каадрупоаьяый момеит ствующие энергетические уровни. Если выбранное значение энергии (да=2,20) меньше собственного значения, то длина волны внутри ямы оказывается слишком большой, и уменьшение амплитуды волновой функции на границе ямы недостаточно для того, чтобы заставить ее асимптотически стремиться к нулю — на больших расстояниях волновая функция вновь возрастает.
С другой стороны, если выбранное значение энергии (да=-2„36) слишком велико, а следовательно, длина волны внутри ямы слишком мала, то уменьшение амплитуды волновой функции на границе ямы оказывается чрезмерным и она обращается в нуль уже на конечном расстоянии, но в дальнейшем, будучи отрицательной, вновь возрастает по абсолютной величине. Промежуточное значение энергии (да=-2,28) настолько близко расположено к собственному значению (60.5), что волновая функция вне ямы почти точно стремится к нулю. Так как тем не менее эта энергия всетаки немного больше энергии основного уровня, то амплитуда волновой функции иа большом расстоянии от ямы становится отрицательной и растет по абсолютной величине — это возрастание отсутствует лишь для того значения произведения йа, которое определяется формулой (60.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
