Fluegge-1 (1185100), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Решение. Если положение оси волчка задается двумя сферическими углами б и !р, а поворот волчка вокруг этой осн углом ф, то классическое выражение для кинетической энергии имеет вид": Т„,= — ~А(!р'з)изб+О*)+С(!рсоа б+ф)']. (45.1) " Вывод етого выражения можно найти в учебниках по классической механнке. Ом., например, Р!йрпе Я., 1.еЬгЬнсЬ бег Рлеогепзсьеп РЬуз!й, Вд. ! 1, 5.
50, 75. (Ом. Ландау Л. Д. н Лифшиц Е. М., Механнка, Фнзматгнз, !958, 4 32 н 35.— Прим. ред.) 132 П, Задачи бев учета слила б. Задачи с двумя или тремя стел. свободы В этой задаче три эйлеровых угла б, !р, ф являются обобщен- ными координатами, а кинетическая энергия Твв представляет собой квадратичную форму в переменных б, чр и ф, поэтому для написания соответствующего квантовомеханического оператора мы можем воспользоваться методом, развитым в задаче 13. Опре- деленный там метрический тензор в нашем случае имеет следующие ковариантные компоненты: кое=.А, до, =О, д„=о, д,,о=О, д = А з(ив б+Ссозв 6, хчч=Ссоз 6, (46 2) йео О йчч=Ссозд де,=с, а соответствующий ему определитель равен д= А Сз!и о. (46.3) Контравариантные компоненты метрического тензора вычисляются с помощью формулы ям=О!в/д и имеют вид й-= — „'.
йбч=О, до»=о, ач*=О, д ! сов О А Мп'б ' л е= — ., (46.4) А в!и'О' А в!псе' С А в!ив О ' Оператор кинетической энергии теперь можно получить путем непосредственного расчета по формуле (13.11). Это дает Гсвг 1 д/. дл 1 дв 2совб дв Т = — — !à —. — ~ з 1 п б — ) + —. — — —. — + 2А 1в!и бдд ~ дб) в!ивбдчсв в!ивд дед~> +(с + ! !во) в1' (46,5) Так как в отсутствие внешних сил оператор Гамильтона совпадает с оператором кинетической энергии Т, то уравнение Шредингера для свободно вращающегося волчка записывается в виде Ти= Еи. (46.6) Уравнение (46.6) с оператором Т, определенным равенством (46.6), можно решить методом разделения переменных: и= Г(6)ес<ир+ке1 (46.7) Чтобы волновая функция и была однозначной, квантовые числа М и К должны быть целыми, так как областью изменения и угла ср и угла ф является интервал длиной 2п.
Эти квантовые числа имеют простой физический смысл: ГГМ вЂ проекц момента количества движения волчка на неподвижную в пространстве ось г (полярная ось сферической системы координат), а ЙК вЂ” проекция момента количества движения волчка на его ось симметрии. йй. Симметричнь~й возик После подстановки выражения (46.7) в уравнение (46.6) мы для функции 1(д) получаем дифференциальное уравнение вида + ащ~д (С +взп~д) К ~ ! = Е~. (46.8) Дифференциальное уравнение (46.8) можно записать несколько по-иному, если ввести обозначение Х= — Š— К' ~ — 1) 2А, г А (46.9) и новую переменную з= ~ (1+спад)=сов' —, О =.з(!.
(46.1О) Имеем ( 1 з) [ ( 1 з) ~ + [ХЗ ( 1 ) 4 (М + К) + Мкй ! ~ О (46. 11) Вместо квантовых чисел М н К удобно ввести положительные числа р и 4с Т~ + !' 4 2~ (46. 12) удовлетворяющие соотношениям 4 (М+К) Р' МК= Р' — Ч'. 1 Теперь уравнение (46.11) с помощью подстановки 1(з) =з (1 — з) Е(з) (46.13) где А=У(,7+1), (46.16) так что теперь выражение для энергии Е с учетом формулы (46.9) приобретает вид Е= — 7(1+1)+ — — — К'. Ф Ьг! 2А З(,С АУ' (46,17) Второе решение уравнения (46.14) имеет сингулярность в точке а=О(Р з 'г,.1-з г), и его можно ие рассматривать. легко приводится к гипергеометрическому уравнению з (1 — й) Г -1- ((2р + 1) — (2р + 24 + 2) з~ Е'— — !(р+ д) (р+ д+ 1) — Х] Е = О.
(46.14) Регулярное в точке з = О (б = и) решение этого уравнения имеет вид Г=,Е,(р+д+1+7, р+д —.7, 2р+1; з), (46.16) 134 11, Задачи без учета спина. Б. Задачи с двумя ияи тремя степ. свободы т„.= —,'„~.1+~ —" — 1)К~ с квантовой формулой (46.17). Замечание 1. Собственные функиии в стандартных обозначениях имеют вид 1У>е е! !меч Кв!дт (0 1 (46, 19) ми 2и где дмк — — Лмкез(1 — з)е ерз (Р+у+ 1+1, Р+Π— /, 2р+!1 з).
(46 20) Они нормированы таким образом, что и зп зп ~ ддз(об~ дф ( ~Юмк~'дф=1 о о о (46.2! ) Необходимо подчеркнуть, что величина У не обязана быть целым числом (пока что это всего лишь новое сокращенное обозначение) и формула (46.17) еще не определяет искомые собственные значения. Однако в нашем распоряжении есть еще второе граничное условие. В точке а= 1 (6=0) гипергеометрический ряд (46.15) имеет сингулярность типа г" — (1 — з)-*ч н, следовательно, наше решение 1' ведет себя как (1 — з) ч; исключением является случай, когда гипергеометрический ряд (46.15) обрывается, что происходит всякий раз, когда либо первый, либо второй аргумент функции (46.15) равен целому отрицательному числу. Поскольку первый аргумент в силу своего определения положителен, в нашем случае должно быть р+д — 1 = — и, и=1, 2, 3, ..., (46 18) при этом функция Р становится полнномом п-й степени н волновая функция оказывается конечной для любых физических значений угла.
Как следует из формулы (46.12), сумма р+д есть положительное целое число, равное либо )7(), либо (М( в зависимости от того, какая из этих величин больше, поэтому величина з, равная сумме и+р+4, также есть целое положительное число, всегда превосходящее или в крайнем случае равное большему нз чисел )К( и (М). Этот результат выглядит вполне разумным, если понимать под в' (хотя мы этого еще не показали) полный момент количества движения волчка, поскольку всякий вектор всегда не меньше любой нз своих компонент. Только теперь„после того как выяснен вопрос о допустимых значениях величины 7, мы можем сказать, что формула (46.17) является решением поставленной задачи.
В том, что величина У действительно является квантовым числом полного момента количества движения, проще всего убедиться, сопоставив классическое выражение 47. Бесконечно мальм вращения и ~ з!и д ~ с(мк ~ ад 1. (46.22) (46.23) Замечание 2. Применительно к твердому телу метод построения оператора Т [формула (46.5)1 нельзя ни в коей мере считать обоснованным: в задаче 13 разбирался исключительно вопрос об обобщенных координатах для системы точечных масс. Более того, в квантовой механике вообще не может быть абсолютно твердого тела, так нак последнее понятие предполагает наличие таких ограничивающих внутренние движения связей, которые приводят к бесконечной нулевой энергии. Только путем коррентного отделения этих внутренних движений от вращения системы в целом можно решить указанную проблему.
Зта программа была выполнена в работе Флюгге и Вейгани [Р!йлла 5., Ве!уилу А., Ез. РЬуэ., 171, 171(!963)1, где было произведено упомянутое отделение внутренних движений и выполнен предельный переход к бесконечно малым колебаниям составляющих систему частиц охало их равновесных положецийтц Что же касается самого выражения (46.5) и квантовой теории симметричного волчка, то онн, разумеется, были получены значительно раньше.' первой относяшейся сюда работой мы обязаны Рейхе [)га(сйе г., Ез.
Рьуз., 39, 444 (1926)[. В. Момент количества движения Задача 47. Бесконечно малые вращения Показать, что результат преобразования скалярной функции 7(г) при бесконечно малом вращении системы координат простым образом выражается через операторы момента количества движения. Решение. Пусть поворот системы координат описывается формулами г' = )7г, И = 1 + А, (47.1а) где Я и А — трехрядиые матрицы, причем А= — е, О и„ (47.1б) и Впервые эта проблема рассматривалась в работе Уилкера [)ра(двг Но 2з. Рпуз., 101, 95 (!936Ц. з Определенная с помошью последних соотношений нормировочная постоянная Аыг, выражается формулой У27+1 т/(1+р+4)!(У+р — 4)! 2 (2р)! [г (з' — р+4) ! (l — р — 4) ! ' С математической точки зрения эти функции примечательны тем, что матрица Я с элементал1и Ямк реализует(2/+1)мерное представление группызмерг ных вращений.
В этой связи см. также задачу 55. !36 П. Задачи бее учета саина. В. Момент количества деикенин Г' (г') 7" (г) — — (е е.) 1"'(г), (47.5) где через е обозначен вектор с компонентами е„, е„е,. Так как последний член в выражении (47.5) есть величина бесконечно малая, то здесь мы можем пренебречь различием между )'(г) и 7'(г'), поэтому выражению (47.5) можно придать иную форму: 7' (г) = ~1+ — ' (е х,)1 7' (г'), й До сих пор мы не пользовались тем, что функция 7 (г) является скаляром, т. е.
инвариантна по отношению к вращениям: 7"' (г') = 7 (г). (47.7) Последнее равенство позволяет все величины, входящие в соотношение (47.6), выразить через старые координаты г, так что окон- (47.6) Фигурирующие здесь бесконечно малые величины е представляют собой углы поворота относительно трех осей х, у, г. Заметим, что обратное преобразование можно получить, либо изменяя знак всех трех величин е, либо переходя к транспонированной матрице А.
Следовательно, А =- — А. (47. 1в) В результате преобразования (47.1а) — (47.1в) функция 7(г) перейдет в функцию 7'(г') от новых координат. Эту функцию можно выразить через старые координаты г, воспользовавшись разложением в ряд Тейлора: 7' (г') = 7' (г) + (Ьг ч1) 7' (г), (47. 2) где бг= — г' — г= Аг; в (47.2) все члены, содержащие более вы- сокие производные, отброшены. Как следует из фтермулы (47.1б), е,у — еег Аг= — е х +е„г (47.3) е„х — екд поэтому равенство (47.2) можно записать в виде Г(г')=Г (г)+ ~(е,у — вез)д +( — е,к+е„г)д — + + (еех — е„У) — 1 7" (г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
