Fluegge-1 (1185100), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Решение же, удовлетворяющее граничному условию и (оо) = О, представляет собой функцию Эйри (см. фиг. 28) ы и(9) =С А19. (40.7) Для положительных значений 9, т.е. правее точки поворота $=-0(х=Х() на фиг. 27, зту функцию можно выразить через модифицированную функцию Хаикеля: у 37чч (3йч*)' 9)О. (408) м В настоящее время имеются хорошие таблицы функции Эйри и ее нулей. См., например, Абгаааха!1з М., ЕГеаил Е Е., Напйьоой о! Маьйешаиса1 РипсПопз, Ыете Уогй, !!очес Рцы., 1965 Приводимая ниже таблица нулей взята из указанного источника. (См.
также Яковлев Г. Д., Таблицы функций Эйри, изд.во „Наука", М., 1969.— Прим. Ред.) Если ввести обозначения 2глзд 1 2гнЕ Х йе 1а йз 1з (40.3) и безразмерную переменную 9=- — Х, (40.4) где ! — характерная длина„то уравнение (40.1) и граничные условия (40.2а) и (40.2б) примут соответственно вид 1!5 40. Свободное падение эблизи земной поверхности воспользоваться асимптотическими формулами / 2 / 5пд тг2 г пт ,/ ь(г) эг — соз ~~г — — ), У ч,(г) — !гг — сов(г — — ~, Р пз (, !2 )' пз (, 12) ' из которых следует, что при больших отрицательных значениях $ и ($) — — /$ ( и соз ( — (сь)ч — — ) . (40.12) Отсюда в дополнение к приведенной таблице при а>)1 получается соотношение (40.13) — Л '=~2и — — ) —.
3 " ~ 2)2' Последнее после очевидных преобразований принимает вид Е» = — ~ 4 ! 2п — )~ при л)~1. (40.14) Замечание 1. Аснмптотнческне формулы (40.9) н (40.!2) полностью согла. суются с формулами, которые получаются с помощью метода ВКБ (см. за.
дачу 115, где рассмотрен вопрос об аналитическом продолжении волновой функции за классическую точку поворота без использования функции Эйри). Замечание 2. Характерную длину 1, фигурирующую в данной задаче, можно вычислить для любого значения массы т. Для электрона мы находим 1=0,088 см, для частиц с большей массой получаются меньшие значения м (1 — т Ь), Фундаментальная энергетическая постоянная данной задачи, согласно равенству (40.!4), имеет вид лз е= —, 2тм ' что в случае электрона составляет 1,03К10-зз эрго. Порядки приведенных величин дают наглядное представление о крайней малости квантовых эффектов в случае макроскопических тел.
Для таких тел длина волны, отвечающая функции (40.12), будет чрезвычайно мала и, следовательно, лишь усредненное по многим периодам выражение из будет иметь непосредственный физический смысл: — Сз эм Се 1 У Л вЂ” —" Обозначая через 6=Л! высоту в классической области, мы. таким образом, нл~еем 1' 5 — х что в точности соответствует предсказаниям классической теории. В самом деле, издх есть вероятность обнаружить частицу (танцующую в стационарном состоянии!) в интервале дл. Тах как эта же вероятность пропорциональна " Приведенные значения прежде всего следует сравнить со значениями соответствующих величин з задачах атомной физики.
Так, радиус первой боровской орбиты равен 5,29Х 10-з см, а энергия ионизацни атома водорода составляет 2,18х !О-ы эрг. Это сравнение показывает, что в задачах атомной физики влияние силы тяжести можно не учитывать.— Прим, дед. ыб П.
Зидичи без Ечеша глина, А. Одномерные задачи времени Ж, в течение которого частица находится в уквзвнном интервале, то и' дх — Ш, и для скорости частицы получаем и=дх~дг — УЬ вЂ” х, что, очевидно, согласуется с классическим выражением о= У 2Е(а — х). в/1 Е ~ — йзшка=е.— Задача 41. Ускоряющее алектрическое поле Пусть металлическая пластина испускает в положительном направлении оси х поток электронов с начальной энергией Е, которые потом ускоряются электрическим полем 8, приложенным в том же направлении. Сопоставить классическую формулу для скорости электронов на расстоянии х от поверхности излучающей пластины, — лгоа = Е+ е8х, (41.1) ! с результатами квантовомеханического ана- лиза данной задачи. Ф н г.
29. Ускорение электронов однородным злектрическим полем. Решение. Так как )г (х) = — е8х, то необходимо решить уравнение Шредингера — — — ", — ерохи = Еи (41.2) в области х > 0 (фиг. 29), причем нужные нам решения этого уравнения должны представлять собой волны, распространяющиеся в положительном направлении оси х. Как и в предыдущей задаче, введем характерную длину 1 и безразмерный энергетический параметр Х, определенные соотношениями 2амю.
2тЕ Д йа — 1з ~ йз Р (41.3) Любопытно отметить значительные математические трудности, возникающие при решении рассматриваемой задачи, которая в классической механике является одной из самых простейших, домашние 3. В данной задаче нулевая знергня, Е, зхь по порядку величины равна в. Этот результат легко получается с помощью соотношения неопределенности, Ьр Ьх=л. Действительно, Ьр га У 2тЕ, а размеры классической области равны ах= Е/тй.
Таким образом, имеем Ьр ах= ГгйтЕ ° — =а, Е ше что для энергии дает величину ожидаемого порядка: !!7 4д угкоряюи(ее электрическое поле а также безразмерную переменную $= х +Х. (41.4) В результате получаем дифференциальное уравнение — е+Ци=О, (41.5) которое требуется решить в области $ ) )ь. Решение, соответствующее расходящимся волнам, имеет вид и($) С ~/ 3 $Н17! ( з $7 ) ' (41'8) Как следует из формулы НЦ~ ~г/ — -ехр ~! (г — — Я, оно имеет аснмптотикуо зем 2! Ч и ($) — Се " 5 — ч е ' (41.7) Чтобы сопоставить выражение (41.1) с нашими результатами, сравним теперь плотность потока частиц (41.8) с плотностью частиц р=йи; (41.9) отношение этих плотностей даст нам скорость частицы о. Из формулы (41.7) иолучаем г(х ! ( 4$+ ) ч) так что соотношение (41.8) теперь дает или х.
— ь ух+и о= — = — 'р 5=в р т! ! т !зге " Заметьте, что асимптотика (41.7) совпадает с асимптотикой, получаемой методом ВКБ. Здесь, как и в предыдущей задаче, мы не пользуемся функцией Эйри, поскольку в данном случае никаких трудностей с аналитическим продолжением не возникает. Более того, нужное нам решение представляет собой линейную комбинацию функций Эйри первого н второго рода; гл и=С )гне з (А!( — В) — (В1( — й)1. 118 П. Задачи бев учета слила. Б. Задачи с двумя или тремя стел.
свободы что с помощью равенств (41.3) можно записать в виде = г'с'е ( ~~.) — Г' — ~' е <-е в полном согласии с формулой (41.1). В наших рассуждениях мы пользовались аснмптотикой волновой функции, т. е. считали, что ~)) 1 или х))Е Характерную длину 1 можно вычислить по формуле (41.3). В случае электрона н для вполне разумного значения напряженности поля е.=300 В/см (или 1 эл. стат. ед.) получаем 1= 3,69 х 10-' см. Таким образом, условие х>)1, как правило, выполняется очень хорошо. Б. Задачи с двумя или тремя степенями свободы без сферической симметрии Задача 42.
Круговой осциллятор Исследовать движение точечной частицы в двумерном потенциальном поле )с = — со' (х'+ у'). 2 (42. 1) Решить задачу в прямоугольных декартовых и полярных координатах с (42.2) г'=хе+у'. Полученные результаты сравнить. Решение а. В прямоугольных декартовых координатах уравнение Шре- дингера допускает разделение переменных: и(х, у) =1(х).д(у), причем каждый из сомножителей удовлетворяет уравнению для одномерного осциллятора (см. задачу 30): 1" + (й,' — Л'х') 1' = О, д" + (Й1 — Леус) д = О, где 2т' ф, Таким образом, для собственных значений имеем й.;=2Л(,+ —,'), й*,=2Л(п,+-,'), илн Е = Ьео (и, + п, + 1), п„пе = О, 1, 2, (42.
3) 42. Крупппоа ипцилллтор ыэ а соответствующие волновые функции имеют внд ип,п, (х, у) — ~п, (х) )п, (у) где посредством 7„, обозначены одномерные осцилляторные функции, определяемые выражением (30.10) с нормировочными постояннымн (30.11). Энергетические уровня в данном случае вырождены, потому что сумму п,+п,=п, (42.4) входящую в выражение для энергии, можно составить нз двух целых чисел и + 1 различными способами, н, следовательно, общее решение имеет внд линейной комбинации ип(х, У) = ~~й А„г'„(х) 7, и (У), п,=о где ;Е ! Лп, ! ' = 1.
б. В полярных координатах потенциал зависит только от г н здесь также допустимо разде.. ние переменныж и(г, <р)=о(г)е'мт. М=О, ~1, ~2, .... (42.7) Это приводит к дифференциальному уравнению ( о" + — о' — —, о)+(йп — )ппгп)о=О, 1, Мп г гп первая скобка в левой части которого получилась нз лапласиана. После подстановки о=г!м!е р(г) для функция В(г) получается дифференциальное уравнение р" +~'! !+' — 2);) р — (2),(~М!+ П вЂ” й)у=О, которое с помощью замены иезавнснмой переменной г на ! == )пг' преобразуется в уравнение Куммера йпй аг 1г пи 1 ! — „+ ~(! м !+ 1) — т! — „, — —, ((~ м !+ 1) — зх ! Р = о Решением этого уравнения, регулярным при 1=0, являезся вырожденный гнпергеометрический ряд г" (!) =,г",(а, !М(+ 1, О, !20 т!.
Задачи бев учета слила. Б. Задачи с двумя или тремя стел. свабода где ! яе а= — () М(+1) — —. 2 4Л ' (42.В) При больших значениях ! этот ряд расходится как е', что делает нормировку решения невозможной. Только в том случае, если а= — п„где п,=О, 1, 2, (42.9) и, м(г, ~р)=Сл, мг~м1е,р,( — и„) М(+1; Лгч)е'мв (42. 10) Е= вась (! М 1+ 1+2и„). (42. 11) Так же, как и в случае равенства (42.4), можно положить ) М )+ 2пе = и и снова подсчитать кратность вырождении, для которой полу- чается то же самое значение, что и выше.
в. Сравнение результатов. Каждое решение (42.10), с одной стороны, есть собственная функция оператора проекции момента на ось, перпендикулярную плоскости движения, Й д Е = — —, д,у принадлежащая собственному значению ЙМ: (,,и„,, м=ЬМи, м (42. 12) С другой стороны, за исключением основного состояния, отдель- ные сомножители в волновой функции, полученные разделением переменных в прямоугольных декартовых координатах, не явля- ются собственными функциями оператора момента. Однако можно найти такие значения постоянных А, в формуле (42.5), чтобы получающаяся линейная комбинация вырожденных функций сво- дилась к выражению вида (42.10).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
