Fluegge-1 (1185100), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Ф (34,5) Вводя обозначения Х= —, пиа Е (34.6) которые уже использовались нами при рассмотрении осци4лятора в задаче 30, убеждаемся, что уравнения (34.4) (координатное пространство) н (34.5) (импульсное пространство) по существу идентичны. Зо. Ангармонивгсхиа осциллятор 93 Инпульсвов пространство Кооряннвтвос прострввство и'+(2ИХ вЂ” лвхв) и=о )с )с=— у"Х' ~ ~ + (2)в — Ъв) ) = О Кйв х = )Гйх ври — +(29 — хв) и=о сесв Следовательно, с точностью до нормировки функция ) зависит от й точно так же, как функция и зависит от х.
Так как из условия Ф ~ ( и (х) )в с(х = 1, как было показано в конце задачи 14, следует ~ ~ ) (й) ~*3й =1, Ф то отсюда и(х)=ЪН и(х), /'(й)=Х и')г(ь), где ~ так же зависит от й, как и от х, а эта последняя функция была найдена в задаче 30. Задача 35.
Ангармонический осциллятор Оценить энергетические уровни ангармонического осциллятора у[о- —,' 'гь.,(*) ьь(ф)', ~=у —, <ввп в первом и втором порядке теории возмущений. Решение. В первом порядке теории возмущений сдвиг уровней гармонического осциллятора с энергией ( +2) (35.2) и нормированными собственными функциями и' (х) = (2"п)1)Г ус ) бе б ~ Н„($), $ = — (35.3) 94 П. Задачи бее учета спина. А. Одномерные задачи определяется диагональными матричными элементами энергии возмущения: О сч "Е„= ń— Е'„= ~ (еД'+еД') !иеа(х)!еа!х.
(354) й Так как (иЯе — четная функция х, то член еД' не дает вклада в первую поправку Ь"Е„. Таким образом, первая поправка равна 0 ЬсоЕ„= е, ~ ае !и„' ($)!'е(х и и ее можно вычислить тем же приемом, что и нормировочный интеграл: заменить один из полиномов Эрмита Н„($) в подынтегральном выражении, согласно формуле Н„($) = ( — 1)" ее' — „е-4', (35.5) и произвести и-кратное интегрирование по частям. Ц результате получим МоЕ„= ' ~ е-и — „($'Н„(9)) 4(9.
О Многочлен (п+4)-й степени, который требуется продифференцировать и раз, начинается с членов $еН„(а) — — 2" [$н+е — — (") $н+е-)- — (н) $н -~- 1, (35.5) поэтому ( 4! 2(2) 21 а+4(4) Учитывая значения хорошо известных интегралов Ю Ф м ~Г -~' В~=-,'У'и, ~~"-4' $= 4 У., (35.7) окончательно приходим к выражению ЬшЕ„= 4 е,(2п'+2п+!).
(35с8) Результат первого порядка теории возмущений можно качественно пояснить следующим образом. Малая добавка к потенциалу еДе вызывает небольшую асимметрию параболы У(х), но еще не меняет для низко лежащих уровней ее ширины. Следовааельно, движение осциллирующей массы происходит в области таких же размеров, что и в случае гармонического осцнллятора, поэтому нет причин, которые вызывали бы изменение энергии. Добавоч- Зо. А нгоомоничгсниа осцилгнтоо аз Для осциллятора отличны от нуля только следующие недиаго- нальные матричные элементы (они вычисляются тем же методом, который использовался при вычислении поправки (35,8)1: <и!Р! + >= ( р ) <п($'(п — 1>=3® *, <п ) $' ! п + 3> = ~ — (п+ 3) (и + 2) (и+ 1) ~ Г! 1 '/ ° <п(5г~ п — 3>= ~ — и(п — 1)(п — 2)~ 'г з (35. 1О) <и! $'! и+ 2> = Р (и+ 2)(и+1) (и+ ~ ), <и ( $' ! п — 2> = $~ и (и — ! ) ( и — — ), 1~ (35.11) <а / 5' / и + 4> = — „$~ (и + 4) (и + 3) (и + 2) (и + 1), <и / $'( и — 4> = 4 !г п(и — 1) (и — 2) (и — 3).
1 С учетом значений этих матричных элементов общая формула (35.9) дает Л"'Е„= — — ' — (иг+ и+ — ) — Ф- ° — (34п'+ 51и'+ 59и + 21). (35.12) Если теперь ввести обозначения А„'= — (п +и-т — ), В'„" = — (2и'+ 2п+ 1), В,'," = — (34и'+ 5 ! и'+ 59и+ 21), (35.!3) ный же член его' при е, > 0 (е, < О) симметричным образом поднимает (опускает) обе ветви параболы, тем самым уменьшая (увеличивая) ширину параболы и размеры области движения даже для самых малых энергий, поэтому все энергетические уровни смещаются вверх (вниз) в согласии со знаком правой части формулы (35.8).
Во втором порядке теории возмущений к энергиям (35.2) и (35.8) мы должны добавить поправку <г, гс ! <н ! еДг+ег54 (т> !е (35.9) н г о Ен — Е, т гн л 96 71. Задачи бээ рчеща спина. А. Одномерныэ задачи то выражение для энергии с точностью до членов второго порядка включительно принимает вид Е„йчо~(п+ — ) — ( — „ы) Аы'+ — "В„'" — ( — „" ) Вы'). (35.14) Значения коэффициентов для четырех низших уровней приведены в таблице: в,"1 л<з) ч в„"' 3 4 15 4 39 4 75 4 91 8 165 8 615 и 1575 8 П 8 7! 8 191 8 371 8 '! Строго говоря, при наличии возмущения зДа энергетический спектр является непрерывным, так что дискретных уровней в этом случае вообще не существует, См,, например, Давыдов А.
С,, Квантовая механика, Физматгиз, М., 1963, стр. 195 и далее,— Прим, рэд. Следовательно, положение последних теперь нетрудно рассчитать. Для возмущения еДз оно показано на фнг. 20 в зависимости от безразмерного параметра эх!лаго. Так как в данном случае эффект первого порядка отсутствует, то кривые, характеризующие положение уровней, представляют собой параболы с вершинами на прямой е,,=О. Отрицательный знак возмущения обусловлен тем, что описйвающая потенциал парабола уширяется в области более высоких значений е„где пренебречь этим эффектом уже нельзя.
Роль эффекта уширения все более возрастает по мере продвижения в область высоких энергий, где даже второй порядок теории возмущений становится все менее надежным. В точке $ = — Ьоз/(Зэг) у потенциальной энергии имеется максимум )'„,„,=(гаго)з((54вз), поэтому для энергий Е > (г„,„, дискретные уровни перестают существовать: эффект, который нашим приближением не учитывается ". Приведенные кривые в целом показывают, что чем выше энергия уровня, тем меньше значения параметра е,1йхо, характеризующего возмущение, для которых используемое приближение дает надежные результаты. Это же подтверждает и фиг.
21, где бб. Приближенные волковые функции пунктирные и сплошные линии относятся соответственно к поправкам первого и второго порядков. Разумеется, на результаты второго приближения совершенно нельзя полагаться там, где л l е l Выиущелие ет 4 Венцрцеяие елч Л' о ооб пш гг/Лги — ж соответствующие поправки, достигнув максимума, начинают убывать. Задача 36. Приближенные волновые функции Частица свободно движется по оси х между двумя абсолютно жесткими стенками, расположенными в точках х= ~а.
Аппроксимировать волновые функции основного и первого возбужденного состояний простейшими нормированными полиномами, имеющими те же нули, что и точные волновые функции, и сравнить точные значения энергии с приближенными. Решение. Пусть и, и и,— точные волновые функции, а Е, и Е,— соответствующие им точные энергетические уровни двух 4 и |обо Ф и г. 20. Энергетические уровни ангармоннческогоосцнлляторесеснмметрнчным возмущением.
В клади от возмущения валия квит Вжько во вто. ром приближении. Ливия У /Зм грубо хкмвко рв ктсривувт область применимости испальвоввннога приближения. олг 7О ек/Лгл — и- Ф н г. 21. Энергетические уровни енгнрмоннческого оскнлляторн с симметричным возмущением. Пукктиркмв линии соответствуют одному первому орвближввию, сллажкмт линии пастровим с учетом второго приближения, эв г'г'. Задачи вез учета спина.
А. Одномерные подачи рассматриваемых состояний. Тогда (см. задачу 18) йг нг и,==сов —, Е,= —.— е' а 2а' 2таг 4 (36.1) Е, = — и*. йг 2таг 1 . ие и, =- — з)п —, )са а' (36.2) Простейшие полнномы с теми же нулями имеют вид (36.3) (36.4) Все четыре волновые функции (36. 1) — (36.4) нормированы со- гласно условию ч Е= — ) ( — ) с(х.
Для приближенных значений энергий уровней элементарное интегрирование дает аг Б - аг 21 (36.5) Выбрав в качестве единицы величину Ь/(2лгаг), можно сравнить численные значения энергий (36.!), (36,2) и (36.5): Еч = 2г4674г Еч = 2г5000 Е, = 9,8696, Ег = 10,5000. В обоих случаях приближенные значения энергий превышают точные. Значения Е, и Е, весьма близки друг к другу, согла- о ) игс/х= 1.
-а Максимум функции и, при х=0 равен 1 (в единицах а-"), у функции и, максимум расположен в той же точке и равен (15/16)О*=О,970, что лишь на ЗоАг меньше. У функции и, экстремумы находятся в точках х= ~г/,а и равны ~1, в то время как экстремумы функции и, равны +-(35/36)не=~0,986 н располагаются в точках х= + (1/)/ 3) а=-~0,577а, так что согласие по величине здесь еще лучше, но имеется сдвиг в положении. Энергия во всех рассматриваемых случаях определяется вы- ражением Ег. Потенциальная ступенька сне между Е, и Е, несколько хуже, но и здесь ошибка не пре- вышает бось. Задача 37. Потенциальная ступенька Определить коэффициент отражения в поле потенциальной ступеньки: 2 ь ( +1)! 2,е) (37.1) (37.5) 1 е ая а — = — — у (1 — у) —, ау ' 1+ !)! — „= 2(! — у), получаем леа ан Г н' Хя1 у(1 — у) — + (1 — 2у) — + ~ — "~ и = О. (37.6) еуа ау !у(1 — у) у) Это дифференциальное уравнение имеет три особые точки у=О, 1, оо, н, следовательно, его решение выражается через гипергеометрическую функцию.
С помощью подстановки и (у) = ун (1 у)н Г (у), (37.7) 4* Решение. Рассматриваемый потенциал монотонно возрастает от значения У=О при х= — оо до значения 1'=!'„прн х=+оо, при этом наиболее существенное возрастание потенциала проис- ходит на отрезке — 2а < х < 2а: У( — 2а)=0,119Уь и У(+2а)=0,88!Ус.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
