Fluegge-1 (1185100), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В выражениях же (26. !а) и (26. )б) для самих волновых функций, когда )х~ <1, но х(1 — х)>) !. можно положить 88 П. Задачи воз учета саима. А. Одномерные задачи плотную систему уровней, которая в предельном случае 1 пп переходит в континуум. Введя вместо Е ) О новую переменную (26.3) мы можем записать волновые функции в виде: четные ! А соз йх, О<х<п, 1 1 соззма Г к(! —.! ), — = — (йа+ з!п йа соз йа1 — — !Гс(н К (1 — а) — .
А' а К Мп'К (! — а)1 ' (26.4а) нечетные А 5!и йх, О<х<а, 1 1 з!аз за Г К (1 — а) — = — ')йа — яп Фа соз йа1 — — [с(и К (1 — а) — . А~ К Мп'К(! — а) ! ' (26.46) Согласно зтим выражениям, функция и(х) уже непрерывна, требование же непрерывности производной и'(х) снова дает условие: четные 1д йа= — „стиК(1 — а), К (26.6а) нечетные 1дйа= — — (н К(1 — а), й (26.6б) и ! 1 —, = — (lга — 81п йа соз йа1 .+ + (1 — а) (яп' да+ —, соз' на) + —, яп йа соз йа. (26.
бб) Если 1 — оо, то второй член в зтнх выражениях неограниченно которое позволяет вычислить собственные значения. Используя это условие, мы можем заменить стйК(! — а) во вторых скобках в нормировочных выражениях для 11Ам. В результате получим —, = — Р!а+ 81п ла спала)+ 1 1 !е у +(1 — а)(соз'йа+ —.,яп*йа~ — —., япйасозйа (26.6а) 26. Потвнниальная яма мвлсду двумя бесконечными стенками 69 возрастает, поэтому —,ж1<соз йа+ —,з!п йа), (26.7) — ж1 з!п' йа+ — созя на) . Амплитуды вне ямы можно, однако, определить непосредственно из (26.4а) и (26.4б) мпяК(! — а) я!ля К(! — а) 1, А~~ савв йа АЯ я!ив на так что при х> а обе волновые функции принимают вид и~ = — з!и К(1 — х). ! р ! (26.8) Здесь величина 1 все еще входит в фазу волновой функции, но ее можно исключить, воспользовавшись снова уравнениями (26.5а) и (26.56), определяющими собственные значения: четные -л-+!я на !я Ка К К1= агс(ц 1и аа — — 1я Ка К (26.9а) нечетные 1Д Ка — — 1И уа К К1 = агс1д ! + — 1а на1Н Ка (26.9б) й ..Гь* ЛЕ = — К вЂ” = — 1,с — Е.
т 2! ! 1' 2о| (26. !0) Таким образом, среднее расстояние между последовательными уровнями растет лишь как Емв н обратно пропорционально длине Наиболее примечательной особенностью этой системы волновых функций являются их энергетические уровни, плотность которых можно определить из уравнений (26.5а) и (26.56) для случая очень больших, но все е!це конечных значений 1. Правые части этих уравнений пробегают всю действительную ось от — оо до оо, когда переменная К1 пробегает интервал шириной и. В каждом таком интервале существует ровно одно решение как у одного, так и у другого уравнения; поэтому мы получаем чередующиеся четные и нечетные уровни, расположенные в среднем на расстоянии ЛК=п/(21) (в шкале переменной К) друг от друга.
Среднее же расстояние между уровнями в энергетической шкале, согласно (26.3), равно 70 1Д Эадачи беа учета енина. А. Одномерном эадачи нормировочного интервала. Следовательно, в пределе 1 — о дискретный энергетический спектр переходит в непрерывный, Поведение амплитуды при переходе к непрерывному спектру для случая й,а= С=2 показано на фиг. 11. Безразмерная величина Ав! представляет собой меру квадрата амплитуды внутри ямы, когда нормировка на всем протяжении вне ямы остается одной и той же, а величина 1 велика. График этой величины в зависимости от (Ка)э, т, е.
в зависимости от энергии в безразмерных единицах, построен с помощью формул (26.7). Ясно, что Четныв Нечетныв иду пу "~О 10 гд гд ВО да Уд уд (ха) — ' Ф и г. 11. Виртуальные состояния в непрерывном спектре. имеется бесконечное число последовательных значений энергии, для которых величина АЧ принимает максимальное значение, равное единице.
Между максимумами лежат минимумы амплитуды, выраженные тем слабее, чем выше энергия (обратнте внимание, что нижняя половина оси ординат на фиг. 11 не показана). При энергиях, соответствующих максимумам амплитуды, рассматриваемые состояния, хотя их энергия положительна, все еще сохраняют некоторые черты связанных состояний, так как в этих состояниях достигается максимально возможная концентрация волновой функции в области, занятой ямой. По этой причине о н1мг часто говорят как о виртуатьных состояниях в противоположность „истинным" связанным состояниям с отрицательной энергией. Задача 27.
Виртуальные уровни Потенциальная „полость" между точками х- 0 и х а ограничена справа, как это показано на фиг. 12, полупроницаемой стенкой (см. задачу 20) так, что между волновыми функциями внутри и вне полости существует лишь слабая связь. Показать, что при большом коэффициенте непроницаемости существуют узкие полосы энергии, для которых упомянутая связь становится довольно сильной. Рассмотреть числовой пример ьва7п = 50. 27. Вирглуальньа уроена Решение. В данном случае спектр энергии непрерывен и волновые функции, нормированные так, чтобы их амплитуда равнялась единице вне полости, имеют вид з!п(/гх+6), ан х< оо.
Граничные условия на стенке с конечным коэффициентом непро- ницаемости (г, согласно задаче 20, выглядят следующим образом: и(а+О) = и(а — О), и'(а+О)-и'(а — О)+21ги(а). Для функций (27.1) это дает О ' а з1п (на+ 6) А э1п на, Ф н г. 12. Потенциальная полость, ограниченная полупроницееной стенкой. Этн два соотношения определяют фазовый угол б: с1д (/га + б) — с1д !га = 2— (27.3) и амплитуду А волновой функции внутри полости: 1 Я ят у= 1+4 — з!плисов/га-)-4 —, з!п'йа, (27,4) или 1 Я ят —, = 1+2 — и!п 2йа+2 —., (1 — сов 2йа). (27.4а) В случае непроницаемой стенки (ьг — оо) амплитуда А обращается в нуль: колебания, имеющиеся снаружи, не могут проникнуть внутрь полости — она оказывается совершенно не связанной с внешним пространством. Однако при больших, но конечных значениях Й допустимо появление малых амплитуд А — йг(г, Если же значения тригонометрических функций в формуле (27.4) близки к нулю, то не исключено появление даже весьма больших амплитуд.
Пусть произведение йа велико по сравнению с и (на>)2а), тогда полному периоду изменения тригонометрических функций будет соответствовать такой интервал изменения переменной и, в котором отношение ьггн будет оставаться почти постоянным. В таком случае максимальные и минимальные значения величины А' с разумной степенью точности можно найти, дифференцируя выражение (27.4а) по переменной 2!га при условии (г/!г ° сопз1: д11гАт!1 Я ят д!2йа) <па й = 2 — соз 2)га -+ 2 — з !п 2на = О. йт т2 !П Задачи вез учета енина.
А. Од»азарт»е задачи Таким образом, имеем 1и 2йа д 42 ' (27. 5) Обозначая решения уравнения (27.5) через й„и полагая »» 77= е„, получаем 2й,а = ии — а гс1ц е„, (27.6) (27.7) где и †цел число, и, следовательно, з!п2й„а ( — 1)"" )' 1+ ее ! соз 2й„а = ( — 1)" )/1+ ей А» )Г~~ еч ей ~ У1-)-ей/ а при нечетных и=1, 3, 5, .4й )/1-1- е,', ей ~, )/1+ еч / Так как е„~!, то последние выражения можно разложить по степеням е„: 4еч 4~, при и=2,4,6, 1 ! ч нй (27.9а) » 1 4 1, 4йч — = —,+2 — 4ейж —, при и=!, 3, 5, ... (27.9б) Ач ей а» Выше отброшены все члены, имеющие порядок ей.
Таким образом, при четных значениях и, т. е. при значениях произведения йа, близких целым кратным и, мы имеем максимальные амплитуды: 2Я А„„,„, = — )) 1, » а при нечетных и, т. е. для значений иа, кратным и,— минимальные амплитуды: '1».
мм» 2ц»ч 1 (27. 1О) близких полуцелым (27. 1! ) Следовательно, заметная связь внешнего пространства и полости имеет место лишь при тех значениях энергии, которые близки Подставляя зги выражения в равенство (27.4а), для экстремальных значений величины 1/А' находим при четных и=2, 4, 6, ... 27, Вирлауальньм аноним 73 Ф н г. !3. Резонансный уровень. Зависимость амплитуды волиовоа фунииин от ьнартнн. 2й,а 2пте — агс!и — „, з приближенно получаем й Г 4Оа 4 "- ~1+ —,-(2йа — 2й,а)'~, Таким образом, ширина резонанса по порядку величины равна йв 40т (27.!3) Нам осталось обсудить повеление фазового угла, определяемого соотношением (27.3). Несложные тригонометрические преобразо- (27 12) к энергиям, обеспечивающим выполнение соотношения (27,10),— только в этом случае наружная волна проникает заметным образом сквозь потенциальный барьер. С классической точки зрения это означает существование резонансных частот, при которых воздействие извне способно возбудить собственные колебания полости.
7в Согласно соотношению (27.7), резонансы имеют место, если произведение й„а лишь незначи- в тельно отличается от нп, где и— 7 целое число, т. е. для тех значений й, при которых волновая ~ в функция внутри полости, опре- с деляемая формулой (27.1), весьма близка к собственной функции в случае непроницаемой стенки (ь1 — оо) д и„(х) = А з!и — """, и„(а) = О. Следовательно, резонансные 7 уровни располагаются вблизи собственных значений энергии Дв "йв 7в "в в йв (в йв йв полости при ьа оо, По этой причине их называют виртуальными уровнями, На фиг. 13 показано гюведение амплитуды А при изменении произведения 2йа от 18п до 22п, а численное значение величины йа взято равным 50п = 157,08. В этом случае й7211 ж О, 1, и нетрудно видеть, что амплитуда А, как правило, имеет такой же порядок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
