Fluegge-1 (1185100), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Задача 19. Полупроницаемая перегородка Дополнительно к условиям предыдущей задачи в точке к=О вводится бесконечно узкая и бесконечно высокая полупроницаемая перегородка. Выяснить влияние перегородки на стационарные состояния. Решение. Полупроницаемую перегородку (фиг. 2), разделяющую всю область на две равные части, можно получить как предельный случай барьера конечной ширины 2е (между точками х= — е и х = — +е) и конечной высоты Рю Для краткости введем обозначения — — = йз, — (Ре — Е) = х'.
(19.!) -а О +а Ф н г. '2. Потенциальный ящик с полупроннцаемой перегородкой. Кроме двух граничных условий и(~а) =О, благодаря наличию барьера мы имеем еше четыре граничных условия, так как функции и (х) и и'(х) должны быть непрерывны в точках х = ~в. Удовлетворяя первым двум условиям и беря решение в дейсг- яо Сн Задачи бее учета енина.
А. Однааернь~е эидачи (19.4) х'е = Й (!9.5) оставалась конечной. Величину 1е будем называть козффициентом непроницаемости перегородки, так как с ростом л1 она становится все более непроницаемой. При положительной четности (В=С) соотношение (19.4) после разложения его правой части в ряд дает й сто йа = — (). (19.6а) При отрицательной четности (В = — С) аналогичным путем полу- чаем й сед йа — оа. (19.66) Второй случай проще.
Собственные функции обращаются на перегородке в нуль, так что решение имеет вид Ая(пи„(х+а), — а(х(О, и„(х) = . (19.7а) А я! и н„(х — а), О ( х ( а„ 1е„а=ни, п=!, 2, 3 ..., и„( — х) = — и„(х), < А <* = —. 1 внтельной форме, имеем А,я!ой(х+а), — а(х( — е, и =- Ве-""+Се"", — е (х (е, (19.2) Аеяшй(х — а), е 'х(а.
Требование непрерывности при х= ь-е теперь дает и ( — е) = А, я!и й (а — е) =- Вене+ Се-"', (19.3а) и' ( — е) = йА, соя й (а — е) =- х ( — Ве"'+ Се-"'), (19.3б) и (+ е) = А, я(п й (е — а) =- Ве-"'-(- Се"', (19.3в) и' (+ е) =нАесоян (е — а) = х ( — Ве-"'-1-Се"'). (19 Зг) После исключения А, н А, из равенств (19.3а), (19.3б) и (19.3в), (!9,3г) соответственно остаются два соотношения н)е(а — ) = хПеаие ! О д — Сеяна нстдй(а — е) =х и+ Сеяна Из тождественности их левых частей следует равенство правых частей.
Последние же равны в том и только в том случае, если В=- ~ С. При В=-1- С из равенств (19.3а) и (19.3в) следует, что А, = — А„и мы получаем решения с положительной четностью, если же В=- — С, то А,= А„и мы получаем решения с отрица- тельной четностью. Следовательно, как и в предыдущей задаче, стационарные состояния разделяются на два класса, характери- зующиеся различными четностями, Теперь перейдем к пределу е — О, х — ао так, чтобы ке О, но величина 79.
Пояупроницаеяая перегородка 51 п=з ) к=4 п=е к=! 7 354 7,886 7,917 7,979 8,097 8,305 8,711 9,425 4,712 4,765 4,816 4,915 5,09! 5,361 5,763 6,283 0 1/4 112 1 2 4 1О 1,571 1,715 1,835 2,023 2,282 2.568 2,866 3,142 10,996 !1,018 11,040 11,085 11,173 11,335 11,704 12,566 14,137 14,155 14,171 14,208 14,276 14,408 14,734 15,708 Полученные таким образом уровни изображены на фиг. 3, гда сплошные линии относятся к состояниям с положительной четностью, а пунктирные — к состояниям с отрицательной. Крайниы слева на фиг.
3 показан случай Й =- О, когда перегородка полностью прозрачна, что соответствует ситуации, обрисованной в задаче 18. Чем непрозрачней становится перегородка, т. е. по мере приближения к правому краю фигуры, тем выше подни- Что же касается уравнения (!9.6а), то оио позволяет определить собственные значения л+ лишь численно. Исключение представ- ляют только два предельных случая: 1) полностью непроницаемая перегородка (Р аа), когда для собственных значений получается тот же результат, что и в слу- чае уравнения (19.6б), т.
е. й+=.ля; 2) полностью проницаемая перегородка (ке = 0), когда й+= 2) Таким образом, при конечном коэффициенте непроницаемости собственное значение )е+ заключено между 7е„и )г„:,, т. е. уровни с положительной и отрицательной четкостями так же, как и в предыдущей задаче, чередуются, Собственные функции можно записать в виде — А з)п а„+ (х+ а), — а < х < О, и+ (х)— ( + А з(п й,', (х — а), 0 < х <+ а, 1 1 (~л — — )я<)г'„а<ля, и=1, 2, 3, ..., (19,7б) и+„( — х) =и„'(х), / А/е= 2ьк+а — Мп 24ко Их значения при х=О конечны, а на графиках имеются изломы.
В прилагаемой таблице даны численные значения произведе- ния )г+а, найденные с помощью уравнения (19.6а) для низших состояний при некоторых значениях безразмерного параметра Ра; х о х а ~,хо .~ а а, О:Х Ххх х х одх хо о о х х О 'о х х д х хха Охх о о х х ххх х о «1 х о.о о. вэо о' х а ю а ~ х ха + ! а а а о хх оо О ао Оо 'х а 3 х хо .а х э ха а ах о а ха х х х х а х о ха ох аа х а,х ОХО х х а -'% х х са х х о х оо дх Вх о и Д оо Э д о дх $ о а МЦ о а о у оао а о оа а ~ ! а ох о* З х З ЗЕ ОХ лО. Оолупронапоенак перегородка маются уровни с положительной четностью; уровни же с отрицательной четностью остаются на прежнем месте. Это находит отражение и в поведении четных собственных функций. В качестве примера одна такая функция для п — — ! показана на фиг.
4 (волновые функции не нормированы). В случае непроницаемой перегородки (П оо) она при х=--0 обращается в нуль, н обе части ящика становятся независимыми друг от друга. За исключением знака в левой части ящика эта функция совпадает с первой нечетной собственной функцией, показанной в нижней части фнг. 4; таким образом, в пределе (г — аа энергетические уровни становятся вырожденными (крайняя правая полоса на фиг. 3).
Задача 20. Полупроницаемая перегородка в виде Ь-образного потенциального барьера Потенциальную стенку предыдущей задачи с равным успехом можно описать с помощью 6-функции Дирака, полагая 1I(х) = — Яб (х). (20.1) Докажите это н обсудите обусловленные наличием такой стенки граничные условия. Решение, Нам нужно решить уравнение Шредингера и" + 1/г' — 206 (х) ) и = О, (20.2) Прежде всего мы видим, что и дифференциальное уравнение (20.2), и граничные условия и(~а) =0 инвариантны относительно ин- версии х — — х. Следовательно, решениями этой задачи, которая определяется дифференциальным уравнением и граничными усло- виями, могут быть только собственные функции оператора чет- ности (он заменяет х на — х).
В этом можно убедиться следую- щим образом. Всякую функцию и (х) можно разбить на две части: четную ) (х) =Г( — х) и нечетную п(х) =- — д( — х), поэтому и (х) = Аг'(х)+ Вд(х), и ( — х) = Аг (х) — Вд (х). Если и(х) есть решение нашей задачи, то таковым будет и и( — х), а так как вырождение отсутствует, решение с точностью до муль- тнпликативной постоянной, скажем я, должно быть однозначным. Следовательно, и ( — х) =- сои (х), или А) (х) — Вд (х) = се ( А) (х) -1- Вд (х)!. Так как Г и д линейно независимы, последнее возможно тогда и только тогда, когда А =аА н В = — аВ, т.
е. когда а = 1, 54 !!. Задачи без учеиеа спина. А. Однамерньи задачи В=О, так что и(х) — четная функция, или же когда сс= — 1, А =-О, так что и(х) — нечетная функция. Рассмотрим теперь окрестность вблизи потенциальной стенки. Интегрирование уравнения (20.2) по указанной окрестности [функция и (х) предполагается непрерывной[ дает и' (+ 0) — и' ( — 0) = 2(еи (0). (20.3) Другими слова ми, логарифмическая производная В (х) =— и' (х) и (е) терпит на стенке разрыв со скачком 20.: Е(+0) — !. ( — 0) = 2!е. (20.5) Таким образом, довольно трудоемкую предельную процедуру, использованную нами в задаче 19, можно заменить в известной мере искусственным, но очень простым граничным условием на поп нциальной стенке.
Следует отметить, что мы получили это граничное условие, рассматривая поведение дифференциального уравнения лишь в непосредственной окрестности потенциальной стенки; поэтому оно должно удовлетворяться и в том случае, когда дополнительно имеется какой-либо несингулярный потенциал й(х), а также любые граничные условия, наложенные в каком-либо ином месте. Обратимся теперь к вопросу о собственных функциях. Что касается нечетных решений, то функции и„(х) обращаются в нуль на потенциальной стенке: и„(0) =О.
Но тогда в силу равенства (20.3) производная не будет иметь никакого скачка и будет непрерывной. Таким образом, оказывается, что наличие перегородки не влияет ца нечетные решения, каков бы ни был коэффицент непроницаемости. Это полностью согласуется с результатом, полученным в задаче 19 [см. равенства (19.7а)).
С другой стороны, четные решения по необходимости должны иметь вид, предписываемый равенствами (!9.7б): з — Аз!пй~(х-)-а), — а(х с. О, +Аз!пй'„(х — а), 0 < х(а. Отсюда Е. (+0) = — й+ с!п)е„"а, У. ( — 0) =й+ с!де)„"а, так что в силу условия (20,5) й+ стп й+а = — й в согласии с уравнением (19.6а). Таким образом, дальнейшие рассуждения дословно повторяют соответствующие рассуждения задачи 19. Гк Раеееяние на б-обраоном потенциальном барьере зз Задача 21.
Рассеяние на 6-образном потенциальном барьере Слева на потенциальный барьер йь )е (х) = — ьеб (х) (21.1) падает поток частиц с энергией Е. Показать, что наличие барьера приводит к появлению разбегающейся в обе стороны от него „рассеянной" волны. Решение. Всюду, кроме бесконечно малой окрестности точки х=О, общее решение уравнения Шредингера можно записать в виде и (х) = Ае'ь"-, 'Ве-"", не= —, и > О, (21.2) йь где А и  — константы, имеющие различные значения для об- ластей х< 0 и х) 0; подбирая их, можно добиться, чтобы ре- шение (21,2) удовлетворяло граничному условию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
