Fluegge-1 (1185100), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Исключение представляет очень узкая область, расположенная немного левее точки 2йа 20п, где ее поведение носит типично резонансный характер. Разлагая величину !/А' в степенной ряд вблизи резонансной энергии, определяемой соотно- шением 74 ! .
Задачи бее «еспа спина. А, Одномерные задачи вания дают И 1 — соз 2да 1ь Г а 1+ — в1п 2да д (27.14) Если отношение 141н велико, то мы, как правило, можем пренебречь единицей в знаменателе, так что выражение (27.14) становится не зависящим от Й: 1 — соз 2 Ва 1п 6 ж — . = — 1пйа. з1о 2/га Это снова соответствует случаю непроницаемой стенки с волновой функцией и (х) = з!и А (к — а) при х > а. Такое приближение неприменимо лишь для тех значений А, которые близки к корням уравнения з!и 2йа = — —.
и 42 (27.15) Имеется два типа решений уравнения (27.15): когда 2йа немного больше (2п+1)п и когда 2йа немного меньше 2пп. В первом случае числитель 1 — соз 2йа близок к 2 и почти постоянен. Но тогда 1и 6 обращается в бесконечность, т. е. 6 становится полуцелым кратным и, для определенности, скажем, л!2. В этой области фазовая кривая имеет постоянный наклон и в ее поведении не наблюдается сколько-нибудь существенных особенностей.
С другой стороны, если 2йа лежит вблизи 2пп, то числитель равен нулю, причем этот нуль, хотя и лежит вблизи, но не совпадает с нулем знаменателя, положение которого определяется уравнением (27.15)„поэтому 1п 6 внутри очень узкого интервала изменений переменной 2йа пробегает значения от бесконечности до нуля, а фазовый угол 6 — от л72 до и. Выше мы видели, что в областях, близких к точкам 2йа= 2пп, имеются резонансы, а скачкообразное изменение фазы при прохождении через резонанс является характерной особенностью колебательных систем.
На фиг. !4 показано изменение фазового угла в том же интервале значений 2йа, который приведен на фиг. 13. Если бы величина (2 была бесконечно большой, то поведение фазового угла описывалось бы пунктирной кривой. При построении этой кривой мы для удобства в точке 2йа= 20п произвольно добавили скачок фазы, равный и, что влечет за собой скачкообразное изменение знака волновой функции, который сам по себе, как известно, не имеет физического смысла. Для выбранного нами конечного значения !е поведение фазового угла показано на фиг.
14 сплошной кривой. Согласно этой кривой, для последовательных значений энергии мы получаем набор волновых функций, которые по фазе не слишком отличаются от волновых 28. Периодический потенуиал функций, соответствующих непроницаемой стенке, но которые тем не менее непрерывным образом переходят друг в друга при прохождении через резонансное значение энергии, так что в этом случае скачок фазы приобретает реальное значение. г сап гоп нйи — а- Ф н г. 14.
Реаонвнсный уровень, Зависимость валового угла от анаргви, Задача 28. Периодический потенциал Получить общие соотношения для волновых функций и энергетического спектра в случае периодического потенциала. Решение. Если у'(х) †периодическ функция с периодом п, то уравнение Шредингера инвариантно по отношению ко всем трансляциям, кратным а: 'у'(х+а)=)г(х), х х+па, п=О, ~1, ~2,,... (28.1) Обозначим через иа (х) и и,(х) два линейно независимых решения уравнения Шредингера, тогда функции и, (х+а) и иа (х+а) также должны быть решениями этого уравнения. Так как любое решение можно представить в виде линейной комбинации и, (х) и и,(х), то это должно быть справедливо и в отношении решений и, (х+а) и и, (х+а): и, (х+ а) - С„и, (х) + С„и, (х), и, (х+а) =С„и, (х)+С„и, (х).
(28.2) Теперь можно доказать (гпеорема Флоке), что среди этих решений имеются два, скажем арс и ф„таких, что чр (х+ а) = 1ьтр (х), (28.3) где множитель Х вЂ” постоянная. В этом случае, очевидно, ф(х+па)=Х"тр(х), п=О, ~1, ~2, .... (28.3а) 76 г!. Задами без учета спина. А. Однамернесе задачи (28.5) Искомое доказательство выглядит следующим образом: чр(х) = Аи, (х)+Ви,(х), (28.4) и, согласно (28.2), ф (х+ а) = (АС„+ ВС„) и, (х) + (АСм+ВС„) и, (х).
Последнее же выражение равно Лчр(х), если АС„,+ВС„=ЛА, Система (28.5) двух однородных линейных уравнений относи- тельно А и В имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда обращается в нуль детерминант: = О. (28. 6) Это — квадратное относительно Л уравнение, двум корням кото- рого, Л, и Л„соответствукп две функции, чр, и ф,. Из формулы (28.3) можно усмотреть, что определитель Врон- ского Р =ФА; — М~ удовлетворяет соотношению Р (х+ а) = Л,Л,Р (х). По теореме Грина определитель Вронского Р не зависит от х, отсюда следует, что Л,Л,= 1.
(28.7) О параметрах Л, и Л, можно получить более подробные све- дения, рассмотрев равенство (28.3а). Пусть (Л ~ ) !, тогда ампли- туда волновой функции ф будет неограниченно возрастать при х- ао и неограниченно убывать при х- — аа. Противополож- ный случай имеет место, если ~Л~ < 1. Такие решения не нор- мируемы даже в том смысле, который мы вкладываем в это понятие в случае плоских волн, поэтому физически значимые решения существуют лишь при 1Л(=1, т.
е. когда Л, = е!"' и Ле = е-сх (28.8) а К вЂ” действительная величина. Так как е'"= 1, то можно огра- ничиться теми значениями К, которые лежат в интервале — — (К( —, (28.9) что даст нам полный набор всех допустимых волновых функций. Таким образом, для всех ограниченных решений ф(х) имеем ф (х+ па) = е'"! еф (х). (28.10) 28. Периодический потенциал 77 (28.!2) Последнее возможно лишь в том случае, если ф(х) =е'а"и»(х), (28. 11) а и»(х) — периодическая функция, т. е. и, (х) = и»(х+а).
Этот результат составляет содержание втеоремы Блоха. Обратимся теперь к вопросу об энергетическом спектре. В интервале 0(х(а построим решение зр из двух каких-либо решений и, и и, так же, как это сделано в (28ей). Для соседнего интервала периодичности а(х(2а в соответствии с формулой (28.!О) получаем ф(х)=-е'»" 1Аи,(х — а)+Ви,(х — и)), (28.13) причем значения аргумента х — а попадают в предыдущий ин- тервал.
На границе этих интервалов, в точке х=а, должны совпадать как сами выражения (28Л) и (28.13), так и их про- изводные: Аи, (а) -1- Ви, (а) = е»о [А и, (О) + Ви, (0)1, Аи,'(и)+Ви,'(а) =е»" '!Аит(0)+ Ви,'(О)).' Эта однородная относительно А и В система уравнений разре- шима в том и только в том случае, если обращается в нуль . детерминант: ! и, (а) — е™ит (О) и, (а) — ег»'и, (О) и,' (а) — ег»оит (О) и,' (а) — е'»'и, '(О) Раскрывая детерминант, окончательно приходим к соотношению (ит(0) из(а)+и, (а) из(08 — (иа(0) и, (а)+из (а) ит(0)! 2 (итиз — и,ит) Здесь в знаменателе стоит вронскиан, взятый для любого значе- ния аргумента (так как вронскиан есть константа, то нет необ- ходимости указывать его конкретное значение).
Уравнение (28.15) представляет собой условие существования собственных значений. Оно разрешимо только в том случае, если абсолютная величина правой части не превышает единицы, тогда с помощью этого уравнения можно вычислить величину К. Имеются целые интервалы значений энергии, удовлетворяющие указанному условию, и чередующиеся с ними интервалы значений энергии, для которых это условие не выполняется.
Таким обра- зом, энергетический спектр состоит не из отдельных уровней, а представляет собой чередующиеся последовательности разрешен- ных и запрещенных енергетичее»их зон. Границы энергетических зон определяются согласно (28.15) из соотношения совКа= ~1. Замечание. Так как функции и, и и, можно заменить любой другой па- рой линейно независимых решеннй о, н о, то уравнение (28.!8) с таким аге 78 11. Задачи без учвнга спина.
А. Одномерные задачи успехом можно записать через функции в. Оно, однако, должно приводить к тем же самым энергетическим зонам. В этом нетрудно убедиться, подставив выражения иг =агава+ с,зез, из =сзгез+сззпз в уравнение (28лб). Несложные выкладки показывают, что при использовании функций в получается в точности то же самое выражение, что и при использовании функций и, если детерминант йсгэ 11 ие обращается в нуль. Задача 29. Дираковская потенциальная гребенка Дан периодический потенциал, образованный последовательностью 6-функций Дирака (интервал между соседними особыми точками постоянен и равен а): (г(х) = — ьз ,''г, 6(х+па). вз Определить воны разрешенных значений энергии. Решение.
Начнем с фундаментальных решений и,(х)=е'"" и и,(х)=е '"'. (29. 2) Если поэтому егка (А 1 В) Аегаа+ Ве-Мга (29.6а) и где»' (А — В) = И (Ае㻠— Ве-1"') + 211 (Аец + Ве-гэа). (2966) Уравнения (29.6а) и (29.6б) представляют собой однородную систему линейных уравнений относительно А и  — ее детерминант должен обращаться в нуль. Тривиальные преобразования дают сов Ка = соз йа+ — з1п йа. Я (29.7) Следовательно, зоны разрешенных значений энергии о()ределяются неравенством соз»а+ —, з(п йа ~ ( 1, ! й (29.8) и (х) = Ае'"'+ Ве-мн (29.3) — решение в интервале 0(х(а, ограниченное в смысле за- дачи 28, то в соседнем интервале а(х(2а будем иметь и (Х) =Е1Ка (Авга ~з-а1+ ВŠ— М Гн — а1) (29.4) Далее при х=а должны выполняться граничные условия и (а+ О) = и (а — О), и'(а+О) = и' (а — О).+ 2йи (а), (29.5) 2Я.
Диракоескае погнен налопал еребенка или ( Ф)~а (29.9) а собственные значения энергии равны йе Е =. — (йа)е. 2глае (29.10) На фиг. 15 — 18 приведены результаты расчетов для случая 11а = 4. Функции переменной йа, стоящие в правой и левой частях неравенства (29.9), показаны на фиг. 15, Точки пересечения соответствующих кривых изображены кружками, а интервалы, в которых выполняется неравенство (29.9), отмечены на оси йа жирными линиями. го Верхним границам зон соответствуют точки, го ~ го ов уо Ю го и «ив Ф и г. 16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
