Fluegge-1 (1185100), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Подставив полученные для А и В выражения в первую пару уравнений (24.3), имеем 1+)г =(р„— (д) С, 1 — Л =(р„— ( ) С, (24.5) где в целях сокращения записи положено р„=- и (0) о' (а) — о (0) и' (а), р„= и (а) о' (0) — о (а) и' (0), о7 = — й (и (0) о (а) — о (0) и (и)], г = — „(и' (0) о' (а) — о' (0) и' (а)]. (24.6) С помощью соотношений (24.5) окончательно получаем )( (Рпа Рап) о (Ч с) (24.7) (Ров+ Рао) ( (и+с) так что коэффициент отражения будет равен ().о !о (Рпа Рао) +(о С) (Роа+Рао) +(а+с) рассмотрим теперь второй случай, когда первоначальная волна падает справа.
Для этого волновую функцию (24.2) достаточно заменить выражением (24.8) Се '"", х<0, ор= Аи(х)+Во(х), 0<х< и, (24,9) е-м(х-Ф+)сева!»-а> х ) и и Через ор мы в этой задаче обозначаем пространственную часть волновой функции, так как символ и уже использован с иной целью. В случае волны, падающей слева, волновая функция имеет вид" ем» ( )7е-!ах х < 0 — Аи (х) + Во (х), 0 < х < а, (24.2) Серн (х-ао х ) и и требование непрерывности ор и тр' в точках х=О и х=а дает 1+И = Аи(0)+ Во(0), й(! — )с) = Аи' (0)+ Во'(0), (24.3) Аи (а) + Во (а) = С, Аи' (и) + Во' (а) = (лС. С помощью соотношения (24.1) из последней пары уравнений находим 62 г!. Задачи без учета спина.
и. Однонернеее задачи Условия непрерывности теперь гласят: 1 + Я =- Аи (а) -1- Вв (а), — й (1 — )7) = А и' (а) + Вв' (а), Аи (0) —; ВВв(0) =С, Аи' (0) + Во' (0) = — ИС. (24.10) Оии имени ту же структуру, что и уравнения (24.3), из которых их можно получить, заменив й на — и и поменяв аргументы а и 0 местами. Это преобразование применительно к соотношениям (24.6) дает Рис Реи Рее Рее Ч с) г г.
(24. 1 1) Таким образом, окончательные формулы будут отличаться от формул (24.7) и (24.8) лишь тем, что р,„я р„, поменяются местами. Так как выражение (24.8) симметрично по отношению к ре, и раи то коэффициент отражения ~В~'=~ВГ (24. 12) будет иметь одно и то же значение для волны, падающей слева, и для волны, падающей справа, Это, однако, не имеет места для амплитуды В. Действительно, равенство (24.7), будучи записано в виде отношения Я=а((1 двух комплексных чисел сс и (з, согласно соотношениям (24.11), преобразуется к виду )7 = — се*8. Задача 25. Прямоугольная потенциальная яма Найти связанные состояния и соответствующие им собственные значения в случае прямоугольной потенциальной ямы — (l, !х((а, О, )х))а, (25.1) Решение.
Результаты двух предыдуших задач позволяют без труда разобраться в поведении состояний с положительной энергией, поэтому достаточно рассмотреть случай отрицательных энергий, соответствующих связанным состояниям. Потенциал инвариаитеп по отношению к инверсии У(х) = У ( — х), так что решения обязаны быть либо четными, либо нечетными (см. задачу 20). Положив В= —— Хе сз (25.2) 2а. Прнноуеольноя нотенциакьнан нма можно записать эти решения в следующем виде: четные А, сов йх, 0<х<а, и,(х) = А сознаен<а-к! х > о и ( — х)=и,(х), ! ! 1 —,= — [на+а!п йа сов на) + — созе !еа; А~~ К (25.3а) нечетные А з)п йх, А знт япен !а-к! = — и (х), ! ! = — ()еа — з! и на сов Йа) + — з1п ь )еа. ь Х 0<х<а х)а, и (х) (25.5б) и ( — х) ! ~ ~и,!ке(х=!.
Требование непрерывности и' в точке хв и дает еще условие: четные — Й з 1п йа = — х сов йа, или (ий = — '„; нечетные исоа йа= — н з!пна, или с(ц й и н (25.46) С помощшо соотношений (25.4) и (25.2) можно упростить выражения для нормировочных постоянных, получая в обоих случаях одно и то же равенство: , =а+ —. (25.5) Чтобы из уравнений (25.4) можно было найти собственные значения, заменим в правых частях этих уравнений величину х в соответствии с выражением (25.2) и введем обозначение С = н,а.
(25.6) Выше амплитуды внутри и вне потенциальной ямы были выбраны таким образом, чтобы функция и (х) оставалась непрерывной в точке х=а. Нормировочная постоянная была определена из условия ба 11. Задачи беэ р ша тина. А. йднамернвм задачи В результате получим четные 1ййа= (25.7а) нечетные 1пйа=— йа )уСх — (йа)а ' При данном потенциале величина С является постоянной, зависящей лищь от размеров ямы (С' 17ах), и уравнения (25.?а) и Ф н г.
7. Графическое решение уравнений <25.7а) и (25.7б). Н» фигуре покааавы точки пересечения кривых, иаображвющвх правые части ураввеяид прн рваличиых аначеииях параметра С, с таигенсоидоа Гиде. Кривые с положительными ордаиатами относятся к четным состояниям, кривые с отринательиыми ордниатам»вЂ” к нечетным. (2о,7б) дают возможность определить все значения на, а тем самым н все значения энергии Я= — и ~1 — ( — ")'1, реализующиеся в яме данных размеров. На фиг.
7 1дна, а также правые части уравнений (25.7а) и (25.76) показаны как функции переменной на. Собственные значения находятся как абсциссы точек пересечения двух последних кривых с тангенсоидой. Упомянутые кривые, разумеется, зависят от параметра С, определяемого размерами ямы. Начав, например, со значения С=.1, мы получаем одну точку пересечения, обозначенную буквой а, в четном случае и вообще не получаем ни одного пересечения в нечетном случае.
Следовательно, в яме такого размера имеется не более одного связанного состояния с положительной четностью. Эта яма с соответствующим уровнем гюказана на фиг. 8,а. Лля ямы ббльщих 65 25. Прнмоуеольман потенциальнол лма размеров, С = 1,5, кривые на фиг. 7 пересекаются в точке по-прежнему имеется только одно состояние с положительной четностью (фиг. 8,6), причем Еб ( Е, поскольку (на)р ) (аа)„. Если еще увеличить размер ямы, взяв, например, С=2, то пересечение в точке у даст еще более низкое состояние с положительной четностью (Ет( Ев), но, кроме того, к нему добавится а с'=г,гб гб Фиг. 8. Энергетнчесние уровни (а — е) в потенпиальных ямах при различном значении характеристичесного параметра С.
Сплеюяне линии — состояния с положительной четиостью, пунктирное линн» вЂ” со- стояния с отринетельной еетиостью. состояние с отрицательной четностью, соответствующее пересечению в точке сх' (фиг. 8,в). С дальнейшим увеличением размеров ямы ее „вместимость" возрастает (фиг.
8, б — е); число связанных состояний растет линейно с ростом С, образуя чередующиеся серии состояний с положительной и отрицательной четностью. Что касается собственных функций, то они следуют общему правилу: чем больше у них нулей, тем выше их положение на шкале энергий. Волновые функции четырех низших состояний показаны для случая С=5 на фиг.
9. В классической механике частица могла бы колебаться между стенками (точки х=~ а), ограничивающими яму, при любом значении энергии. Вне ямы ее кинетическая энергия была бы отрицательна, поэтому область вне ямы классически недостижима. В квантовой механике мы не имеем такого жесткого ограничения, Вероятность Рг обнаружить частицу внутри ямы оказы- 3 ъ |озо 66 11. Задача бои учаиса саина. А. Одномерные задача вается меньше единицы: +а йе Рг ~ 1и!'с)х=1 —, йе(~+на) -а Таким образом, имеется конечная вероятность того, что частица находится снаружи, Для всякого конечного интервала вне ямы Фиг. 9.
Энергетические уровни и собственные функции лля случая С=5. Спеоюяне линии — состояния С положительной четностью, луянтиряне линии — состоя- ния с отрияетельиой четиостью. вероятность убывает экспоненциально, как е-еннл'-а>, по мере увеличения расстояния (х) — а между частицей и ямой.
Задача 26. Прямоугольная потенциальная яма между двумя бесконечными стенками Найти решения уравнения Шредингера иля потенциала, изображенного на фиг. 10. Особо рассмотреть состояния с положительной энергией в предельном случае 1 — оо. Решение. Начнем с беглого рассмотрения „связанных" состояний, для которых Е < О. Используя прежние обозначения яе, яее и х', определенные посредством (25.2), и условие нормировки ~ ~и!ес)х 1, можем записать волновые функции следующим образом: лб. Потенциальная яма между деумя бесконечными стенками Б7 четные А, совках, 0<х<а, и = А "'у"л'11-') 0<х< 1 ! 5Ь к !! — а) — = — ) йа + з )п йа соз на1 + — 1тстц х (1 — а)— 1 ! сое' йа ! х(! — а) ) А~ х еьех(! — а)! ' (26.)а) нечетные ( А з!пйх, а- = е)п на он х(! — х) ~ А 5Й х 1! — а) ! 1 е!пе)са à — = — (йа — з1п на соз йа)+ — [ А' х 0<х<а, а<х<1, (26.!б) уже позаботились о непре- Здесь, как и ранее в задаче 25, мы рывности а (х) при х = а, но требование непрерывности производной и'(х) в этой точке дает нам дополнительное условие: четные (а 1!а = — — с!)! х (1 — а), (26.2а) нечетные !ада= — — !)) х (! — а), (26.26) и Ф я г.
10. еах(! — х) н!а-к> еьх(! — а) снова возвращаясь, таким образом, к волновым функциям (25.3а) и (25,3б), Гораздо более интересен вопрос о состояниях с положительной энергией. При конечных значениях 1 имеются дискретные собственные значении, образующие по мере роста 1 все более которое и позволяет вычислить собственные значения. Мы не будем, однако, углубляться в дальнейшие детали и лишь заметим, что при х(1 — а)))1 обе гиперболические функции быстро стремятся к единице. При этом уравнения (26.2а) и (26.2б) переходят в уравнения для собственных значений (25.4а) и (25.4б) предыдущей задачи, а нормировочные соотношения (26.!а) и (26.)б) для !1А~ — в соответствующие соотношения (25.3а) и (25.36).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
