Fluegge-1 (1185100), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Наше решение можно записать несколько иначе, если выбрать нормировку таким образом, чтобы амплитуда падающей волны равнялась единице, "(х)= (1 Е),'-,',)О.' ам» ! Ве-и» х», О (21.3) Здесь В и Š— соответственно амплитуды рассеяния назад и вперед. Согласно равенству (20.3), поведение функции и (х) в точке х=-0 определяется условиями и (+0) = и ( — 0) и и' (-1-0) — и' ( — 0) = 211 и (0).
(21,4) Эти соотношения дают В»-Е н !й (1 + Е) — !й (1 — В) = 2й (1 + В), поэтому окончательно В=Е=.„а„. (21. 5) В решении (21.3) можно различить три волны: падающую волну единичной интенсивности, отраженную с интенсивностью ( В (' и прошедшую с интенсивностью ~ 1+ Е ~ь. Из соотношения (21.5) следует ~В~ =„,"'„, ~1+Е~ =„,,"„. (2ЕВ) Это приводит к закону сохранения (уравнение непрерывности) 1 = ) В !'+ ( 1+ Е )ь, (21,7) согласно которому сумма интенсивностей прошедшей и отраженной волн равна интенсивности падающей волны. Если потенциальный барьер почти непроницаем ((е оо), то в силу (2!.5) В = — 1 и !+Еж О, поэтому мы имеем почти П.
Задачи бои чета енина. А. Одномерные иидичи полное отражение. Если же потенциальный барьер почти прозрачен (й — 0), то В=-Е и и интенсивность рассеянной волны становится обратно пропорциональной энергии частицы. Разумеется, это герио лишь в предельном случае высоких энергий и не имеет места при малых энергиях частицы (А(й). Здесь мы имеем дело с частным случаем первого борновского приближения, которое справедливо, как известно, при высоких энергиях. Следует, однако, отметить, что для справедливости последнего вовсе не требуется (как иногда утверждают), чтобы кинетическая энергия была всюду велика по сравнению с потенциальной энергией У(х).
Действительно, в приведенном примере потенциальная энергия при х=О становится даже бесконечно большой. Равенство амплитуд рассеяния вперед и назад для любых значений энергии является специфической чертой потенциала (21.1). Задача 22. Рассеяние на симметричном потенциальном барьере Поток частиц с энергией Е падает на потенциальный барьер У(х), ограниченный областью — а(х(а. Предполагается, что потенциал представляет собой четную функцию х: У(х) = У( — х). (22.
1) Требуется выразить амплитуды рассеяния вперед и назад через логарифмические производные волновой функции в точках х = +- а. Решение. Из условия симметрии (22.!) вытекает важное следствие: при любом значении энергии Е уравнение Шредингера имеет как четное решение ие(х)=и ( — х), и~ (х) = — и+ ( — х), (22.2а) и и (0) =О, Конечно, при этом нормировка довольно произвольной. Таким и' (0) 1.
базисных решений оказывается образом, мы можем вычислнгь так и нечетное решение и (х) = — и ( — х), и' (х) =и' ( — х). (22.2б) Эти решения, разумеется, линейно независимы, поэтому общее решение можно записать в виде их произвольной линейной комбинации. В интервале — а(хя" а частные решения ич и и в крайнем случае можно определить с помощью численных методов, положив в точке х=О и, (0) =1, и+(0) =0 22. Рассеяние на симметричном нанинциияьном барьере 57 йа = с?, (22.?) окончательно получаем следующие выражения для амплитуд:  — — е -и 2 1+В=,' е- ге~ (22.
8а) (22. 86) На основании уравнения непрерывности, следует ожидать, что сумма интенсивностей отраженной и прошедшей волн будет равна интенсивности падающей волны. Действительно, из соотношений (22.8а) и (22.86) следуют формулы (г.+г-+се)' ~в~*=„, +,', -,,„ (22.9а) ее(! — ВР 11+В~*=~~,~ иве).~,'~,,--! ). (22.96) их логарифмические производные в точке х=а, которые для удобства запишем в безразмерном и не зависящем от их етпоснтельиой нормировки виде аи,(а))и,(а)=).„аи (а)!и (а)=1.. (22,8) Логарифмические производные аие ( — а)/и„( — а) в точке х= — а в силу соотношений (22.2) будут равны — В и — В Решение, отвечающее падающей слева волне с единичной амплитудой, имеет вид еих + Ве-мх — оо <х( — а, и(х) = С,и (х)+С,и (х), — а( х(а, (22.4) (1+Р) е!"-", а (х с. оо. Требование непрерывности и(х) и и'(х) в точках х=~а дает четыре условия: е 'е'+ Ве'" =- С,и (а) — С,и (а), (22.5а) !)е (е '" — Ве'ы) = — С,и,' (а) +С,и' (а), (22.56) (! + Р) е'"' = С,и, (а) + С,и (а), (22.5в) сй(1+В) ееее= С,и' (а)+С,и' (а).
(22.5г) Складывая равенства (22.5а) и (22.5в) и вычитая из равенства (22.56) равенство (22.5г), получаем справа соответственно 2С,и, (а) и 2С,и' (а). Взяв теперь их отношение, находим — е- !" е+ ( ! -1- Р -!- В) е!" е (22.6а) е-'Я +(!+Р+ В) еее Аналогичная процедура, но с переменой знаков дает е — !" е+ (! + Р— В) е'"" (22.66) — е-Ме+(!+Р— В) е!"е Разрешая уравнения (22.6а) и (22.66) относительно 1-1- Р -!- В и полагая для простоты аа П. Задачи без учета енина.
А. Юднамернеее задачи так что ожидаемое равенство ! В !'+ ( 1+ Р (' = 1, (22.!0) очевидно, выполняется. Таким образом, проблема нахождения амплитуд рассеяния вперед и назад свелась к отысканию логарифмических производных (22.3) четной и нечетной волновых функций в точке х=а. Разумеется, эту последнюю задачу нельзя решить, пока потенциал (22.1) не задан в явном виде. В противоположность результату задачи 21 равенство В=г" теперь уже не имеет места. Если д ( 7.„— у. ( ) ) (. й + де (, то преобладает рассеяние вперед, в противном случае †рассеяние назад.
Задача 23. Отражение от прямоугольного барьера Общую формулу, полученную в задаче 22, применить к потенциальному барьеру вида — 'у'(х) =)е'„) х ) (а и )е=О вне этого интервала. Вычислить коэффициент прохож- дения. Решение. Внутри барьера уравнение Шредингера запишем в виде: и" + (яе — А,') и = О. (23.2) Оно имеет решения двух типов: для кинетической энергии ниже порога (и < ие) н для кинетической энергии выше порога (й ) )е,).
Мы начнем с первого случая. Положим йо (23.3) тогда ич — х'и О. Поэтому для четного и нечетного решений имеем соответственно ие (х) =ей их, ие (0) = 1, и~ (0) =О (23.4а) и и (х) = — зй хх, и (0) О, и' (0) = 1. (23.4б) Следовательно, 1, = аи,' (а)!и„(а) = ха('п ха, (23.5а) Е = аи' (а)/и (а) = ха с(п ха. (23.56) Уг. Отражение ош прямоугольного барьера Для коэффициента прохождения с помощью формулы (22.96) после элементарных преобразований получаем Т=~1+РГ=,), (23.6) ) 1 ( ~~ ) эйг2ка Коэффициент отражения находится с помощью (22.10): Р =! В)а =-1 — Т.
(23.7) В классической механике падающий слева поток целиком отразился бы от барьера и мы имели бы !В/'=-1 и 1!+ Р)'=-О. Согласно же формуле (23.6), это может быть только при условии ха- оо, т. е. только в том случае, когда над энергетическим уровнем частицы возвышается огромная „потенциальная гора". Коэффициент прохождения становится при этом очень малым, хотя и конечным („туннельный эффект" ), и приближенно его можно записать в виде (23.8) аг Порядок величины коэффициента прохождения в основном определяется экспоненциальным множителем.
В дальнейшем для показателя экспоненты наин будет получено общее выражение (см. задачу ) )6) в виде интеграла ч-а 4ка=2 ~ "у — ()г — Е) Их / 2гл йа -г при произвольном потенциале )г(х). Когда кинетическая энергия частицы превышает высоту потенциального барьера, величина х, определенная соотношением (23.3) становится чисто мнимой. Вводя для удобства обозначение К* =/т* — /г, *= — х', (23.9) мы можем теперь вместо (23.6) написать Т=, )ь (23.10) (+ — ь Мп'2)та т, 2й/т / В классической механике при рассматриваемых энергиях должно было бы быть Т =! и Р = О, коэффициент же прохождения, определяемый формулой (23.10), достигает максимального значения Т=! только при 2Ка=лп (и=1, 2, 3, ...).
Между этими максимумами в точках 2Ка = (и+ '/,) и находятся минимумы, которые лежат тел| ближе к значению Т =1, чем л1еньше множитель прн синусе в формуле (23.10), другими словами, чем 60 П. Задачи беэ учета елина. А. Одномерные эадачы больше энергия частицы по отношению к высоте потенциального барьера. Зависимость коэффициента прохождения Т от отношения энергии к высоте барьера (скажем, У) показана на фиг.
5, где ь 0,5 а=0,5 55 г,0 Е/и а=г Задача 24. Инверсия отражения Пусть слева на препятствие в виде потенциального барьера у'(х) > О, расположенного в области О < х < а, падает волна. Показать, что независимо от формы потенциала коэффициент отражения будет иметь то же самое значение и в том случае, когда волна падает на барьер справа.
Решение. Пусть и(х) и и(х) — два независимых действаьтельных решения уравнения Шредингера для обгюсти О < х < и с вронскианом ир — ггь =1. (24. 1) Ф н г. 5. Зависимость коэуфггцггента прохождения Т от отношения энергии к высоте барьера (при Е > У). дзображен график функции Т (Ег(У) для случая 2йеа=-Зп. На фиг. б иллюстрируется поведение волновой функции: на ней изображена зависимость плотности вероятности ~ и ~' от координаты х. По правую сторону от барьера ~ и ~а = =(1+ Е (', т. е. плотность вероятности постоянна, слева же от барьера имеет место интерференция между отраженной и падающей волнами. На фиг. 6 показан случай й' == к'= х!,неа для барьеров различной ширины.
Чем шире барьер, тем меньше интенсивность прошедшей волны и тем ярче выражено явление интерференции. а 5 Ф и г. 6. Зависимость плотности вероятности ~гга ( от координаты к для потока частиц, падающих слева на прямоугольный барьер в случае Е < У. Парей вертикальных лнннй отмечена шнркна барьера е. Осцалляцна слева аг барьера обусловлены ггнтерференцней между отраженной н падающей еолна- ык. б! уа, Инверсия осярамвния А =С (о' (а) — (ло(а)], В = — С (и' (а) — ((зи (а) ] .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
