Fluegge-1 (1185100), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Ниже приведено несколько примеров, относящихся к первым трем низшим состояниям; в правильности соответствующих формул можно убедиться не- посредственной проверкой. а=О (основное состояние, невырожденное); а, = О, М = О, а=О, Е=йса, и„ , (г, ~р) = 1/ — е * = и„(х) и„ (у). вырожденный гипергеометрический ряд обрывается, превращаясь в полинам, н волновую функцию можно нормировать. В таком случае имеем 121 вз. Эффект Шогарка двя двумерного роногнора п=1 (дважды вырожденные состояния); и,= О, М = ь.
1, п = 1, Е = 2ггво, л и, ~,(г, ~р)= ге ' е+ав==[и,(х)и,(у) ~(ио(х)и,(р)1. п = 2 (трижды вырожденные состояния); и, = 1, М = О и п,=О, М=~2, Е=ЗФнз, ух — гг и,,(г, ~р)= ~/ — (1 — )ьгз) е = — [и,(х) и,(у)+и,(х) и,(у)), )Г 2 ,г» ",г ио,~з(г <р)= ~г — )гзе в ее»ге — Уя = — [и, (х) и,(у) — и,(х) и, (р) ~ 1 )г 2 и, (х) и, (у)1. Замечание. Полученные здесь результвты следует срввннть с результатами звдвч 65 и 66, тле рвссмотреи трехмерный изотропный оспиллнтор. Задача 43. Эффект Штарка для двумерного ротатора В плоскости вращается жесткий ротатор с моментом инерции В и электрическим дипольным моментом р. Исследовать влияние однородного электрического поля в)з, направленного по оси х, на уровни энергии ротатора.
Решение. Невозмущенный ротатор описывается уравнением Шредингера ге»з аза — — — = Еи. 2В воз= (43.1) Собственные функции и собственные значения соответственно имеют вид ~т>=- е' е, т=О, ~1, ~2, ... (43.2) )Гзи Взтз Е и (43.3) Возмущающий потенциал (г (<р) = — рзу соз <р (43.4) достигает минимума ( — рег) при ~р=О и максимума (+рег) прн гр=-и. В первом порядке сдвиг невозмущенных уровней (43.3) определяется формулой А,Ем= <т ~У)т> = — р~~ ') е-' осокоре' егйр.
о <22 П. Задачи бев учета спича. Б. Задачи с двумя ияи тремя степ. свободы Так как интеграл в последнем выражении обращается в нуль, то <я,Е„= О. (43.3) Эффект Штарка второго порядка, пропорциональный еуч, вычисляется по формуле (43.6) м т Фигурирующие и этой сумме недиагональные матричные элементы У равны <т'~У(т>= — ~ ( е'<"-"'<исоа<ребр 2п,) о ! = — 2 РЯ (Бт те<+ б„,,). (43.7) Таким образом, сумма (43.б) состоит всего-навсего из двух слагаемых с т'=т~1: Л Е = — чауч! 2и( ! ! 4 Р Ея ( тч — (т — !)ч +те — (т+ !)ч~ ' или (43.8) Собственные функции в этом приближении определяются по общей формуле и„=!т>+ )т'> (43.9) Х~в Ем Е где сумма опять-тани содержит только два слагаемых: и = — (е<тч+ — р<Б ~ — е« "<ч — — е'< -<<ч~ ) (43 10) г ! '" у'2а ( 2 12т+ ! 2п< — ! В том же приближении для относительной вероятности различных ориентаций диполя получаем ~! 4тч — ! (43.1!) В случае, когда т = О, имеем ( и„! е = 1+ 2Р8 соз <р, т.
е. вероятность обнаружить диполь, ориентированный по полю (<р=О), максимальна, а против поля (<р=п) минимальна. Этот результат, как очевидно, соответствует статической ориентации диполя в классической теории. Если же тчьО, то у дополнительного слагаемого в формуле (43,11) изменится вне<э и поведение диполя будет иметь противоположный характер. Этот результат также можно уяснить с помощью классических модельных представлений: при своем вращении диполь проходит поло- 123 44. Ион лслгкулы водорода жение ф= 0, где потенциал минимален, с большей скоростью, чем противоположное положение. Следовательно, если сделать большую серию статистически независимых моментальных снимков, то на ннх диполь чаше будет обнаружен вблизи положения ф =-и, чем вблизи положения ф= 0.
Замечание ) Состояния ) ш > и ) — т> вырождены, однако нет никаиой необходимости использовать вместо самих волновых функций ~ т> и ~ — т> их линейную комбинацию ) $, ) ш )>=гав ~,„1)т>+31 1,„~ ) — ш>, $=1, 2. Это обьясняется тем, что матричный элемент энергии возмущения < — т )(г ) т> равен нулю, и, следовательно, возмущение не смешивает указанные пары вырожденных состояний. Замечание 2. Если задать магнитное поле 2Е, направленное перпендику. лярно плоскости движения ротатора, то в гамильтониане появится дополнительный член, обусловленный энергией взаимодействия 1 маг= еФ вй где едй — магнитный момент ротатора, связанный с его моментом количества движения соотношением егхв = — Е, е 2Мс а М и е — масса и заряд ротатора соответственно.
Таким образом, е $ д . д ета 1 маг= Я~ ° = врЯ р= 2Мс 1 дф дф ' 23(с и уравнение Шредингера (43.1) теперь заменится уравнением Ф* д'и . д~ — — — +(РЯ вЂ” = Еи. 2Е дфд др= Решениями последнего по-прежнему являются функции (43.2), однако приищи лежат оии другим собственным значениям: йз Е = — лга — РЯш. 2вт Эти собственные значения уже более ие вырождеиы по отношению к знаку ш (эффект Зеемана на плоскости). Задача 44. Ион молекулы водорода Получить приближенное значение энергии диссоциацни для реакции Н+, — Н + Н+, взяв электронные волновые функции в виде линейной комбинации функций в! ° вт )а>=т е та и )Ь>=1 е (44.!) ргп где г, и г, (фиг. 30) — расстояния между электроном и протонами, расположенными на фиксированном расстоянии Я друг от друга.
Параметр у считать вариационным параметром Ритца. Определить 124 Н. Задачи Еев учета спина. Б. Задачи с двумя ияи тремя степ. свабода Ни = — — 7*и — ( —, + — ) и = Е,и, (44.2) где Е,— энергия электрона. При этом энергия молекулы для фиксипованного положения ядер будет равна ! Е„,„= — + Е,. Мы будем пользоваться варнационным методом, согласно которому последнее выражение должно иметь минимально возможное значение: а ~? Ь Фнг. 30. Е„„= <и ~ Н(и>+ — =Минимум 1 при условии (44. 4) <и/и>=1. (44.5) Рассмотрим линейную комбинацию и = а!а>+ () ! Ь>, (44.
8) где функция !а> так же зависит от переменной г„как функция (Ь> от переменной гв. С учетом нормировки наших функций имеем <а(а> = 1, <Ь1Ь> = 1, <а)Ь> = <Ь)а> = 5, (44.7) где через 3 обозначили так называемый иепеграл перекрытия. Теперь выражения (44.4) и (44.8) можно записать в более развернутом виде Е„= (ив+ ря) <а ! Н ~ а>+ 2ар <Ь ~ Н ) а>+ — =Минимум (44 8) а*+ р'+ 2аро = 1. (44.9) Из соображений симметрии непосредственно очевидно, что имеется два решения — симметричное — е — ~ — — — ~-~ — (44. ~ Ю) 1' 2(1+З) 1+З и антисимметричное У2 (1 — З! равновесное расстояние К, между протонами и в дальнейшем учесть нулевую энергию их колебаний. Решение. Сначала будем считать, что положения двух протонов фиксированы и расстояние между ними равно )? (приближение Бориа — Оппенгеймера).
В этом случае уравнение Шредингера для электрона в атомных единицах принимает вид ЕЕ. Ион нолввули водорода 125 ! <Ь ! Н ) а> — — ' у'Я + (у — 2) ву, (44. 17) поэтому ! уь4 т(т — 1) — Ф+(т — 2)84 ! (44 13) ьоь 27 !+Я Нам осталось вычислить интегралы и", 6. н Я.
Так называемый кулоиовский интеграл й характеризует нулоноееное притяжение между протоном Ь и „облаком" отрицательного заряда, которое окружает протон а и описывается волновой функцией ~а>, Этот интеграл можно вычислить, воспользовавшись разложением (см. фиг. 30): —., ~Х' ® Р„(созб.) =о ~Ч~~ ( ) Р„(соз б,) ь прн г,( Я, гь при г,) Я. Из этого разложения только член с а=0 дает вклад в интеграл и, вычисление которого теперь тривиально: Ж = —,(1 — (1+7Н) е ьтн). 1 (44.19) Симметричное решение принадлежит более низкому энергетиче- скому уровню и, таким образом, соответствует основному со- стоянию молекулы, поэтому в дальнейшем мы ограничимся рас- смотрен!(ем соотношений (44.10), Для нормированных функций 1а> и !Ь>, определенных соот- ношениями (44.1), непосредственное вычисление дает 1 т †! Н !а>=~ — — у'+ — — — ~(а>, га гь ! поэтому <а(Н~а>= — ) е-'в"! — — у + — — — ) ь(т, (44.12) тг,г н,) (, 2 г„гь ) <Ь ) Н ) а> = — д! е- т !' +'ь! ( — — У'+ "— — — — ) в(т.
(44. 13) ,в г I 1, — 1 ! я (~ 2 га гь ) Вводя обозначения 8 = †„ ) е(т (44,14) и учитывая, что в силу определения (44.7) Я = — ~ е-м !'и+'и в(т, (44.15) после несложных преобразований получаем <а ) Н ) а> = — — у'+ у (у — 1) — й (44.16) !26 ск Задачи бев учета саина. Б. Задачи с двумя ияи тремя стел.
свободы Интеграл кс называется обменным интегралом. Он характеризует обменную энергию, являющуюся следствием симметризацин собственных функций (замена электрона, находящегося вблизи а, электроном, находящимся вблизи Ь). Обменная энергия не имеет классического аналога. Обменный интеграл б.
можно вычислить, перейдя к вытянутым эллипсоидальным координатам с фокусами в точках, где находятся протоны. Для этого надо положить г, = — ($+ т!), гв = — ($ — т!), р от=у(1+у)с)е 'и (44,20) и (!+у)ч+ з у ес ) е тн' 1 (44.21) Если теперь в соответствии с формулой (44.18) записать энергию молекулы Е„ , то она будет зависеть от двух параметров у и Я. Для дальнейшего вместо у и )с в качестве параметров Ритца, минимизирующих энергию, удобнее использовать величины у и р =уй Подставив в формулу (44.18) вместо 5 выражение а вместо 6 и б" соответственно выражения й' = — [! — (1+р)е-во! 1 Р (44. 22) (44.21), (44.23) 8' = (1+ р) е-о (все три выражения зависят только от параметра р), 1 ч у (у — 1) — уй'+ у (у — 2) Е7' мое 2 у !+я Последнее выражение можно представить в виде Е„„= 1(р) у~+к (р) у (44.24) получим (44.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
