Fluegge-1 (1185100), страница 24
Текст из файла (страница 24)
мерном представлении. Мы получим решение нашей задачи, проведя сравнение этих двух выражений. С этой целью воспользуемся для матрицы А выражением (47.1б), которое запишем в виде раз,тожения: 144 !д Задави дев аксона спина. В. Момент калик»с~пап движении так что равенство (52.2) теперь примет вид (52.1) Комбинируя равенства (52.3) и (52.7), можно исключить ор' (г'). Это дает или (52.8) где (52.9) 5' = 5„'+ 5'„+ 5,' = Фо или 5»=2ло. В соответствии с общей формулой 5»=лез(е-)-1) получаем для спина векторного поля значение а=1.
Задача 53. Перестаиовочные соотношения компонент тензора Рассмотрев бесконечно малые вращения системы координат, получить перестановочные соотношения компонент симметричного тензора с компонентами оператора момента количества движения. Решение. Как было показано в задаче 50, всякий квантовомеханический оператор при бесконечно малых вращениях пре- и» = с.» + 5». Отсюда следует, что три матрицы 5„суть компоненты спина, .е — полный момент количества движения, а Š— его орбитальная часть.
Пользуясь определениями (52.6), нетрудно показать, что операторы 5» подчиняются перестановочным соотношениям для компонент оператора момента количества движения: (5В 5») = — 5, (1, /г, 1=к, у, г и их циклические перестановки). Каждая из матриц (52.6) имеет собственные значения + 1, О, — 1, так как они отличаются от двухрядной матрицы Паули о„имеющей собственные значения +1 и — 1, лишь одной дополнительной строчкой и одним дополнительным столбцом нулей (если отвлечься от знака матрицы 5„), что приводит к собственному значению О в дополнение к собственным значениям матрицы ои.
Таким образом, проекция спина на любое направление имеет собственные значения +Ь, О, — 1». Наконец, квадрат спина равен оо. Лерестановочнззе соотношения компонент тензора 145 Т' = (1+ А) Т (1 — А) = Т -(-(АТ вЂ” ТА); (53.3) сравнив с соотношением (53А), находим з [ь, т1= тА — Ат.
(53.4) Формула (53А) является основой для решения нашей задачи Ниже мы ограничимся вращением вокруг оси х, когда А=„О О) В этом случае Т„ )' 0 0 0 10 ТА=а„~ 0 ~0 — т„ — тзз тз поэтому для симметричного тензора разность 0 Т м Т м ТА — АТ = е„— ҄— 2҄҄— 73, (53.5) также оказывается симметричной. Левая часть этого равенства, согласно (53.4), должна равняться з„[1, Т1, следователыю, [1 1 Т331 2ТВВ [ьз Тзз1 Тзз Тзз [ьзз Тзз1 2Тзз' Перестановочные соотношения с компонентами Ь, и Ь, можно найти, рассмотрев вращения вокруг осей у и г или, что еще проще, с помощью циклических перестановок символов в формулах (53.6): [ь„т„1 = о, [ь„т„1 — тзт [ь„т„1 тзт [ьз, 7331 = — 2713 [ьз, 7131 = 733 711 [ьз, 7111 = 2713 и [1.з, Т331 =О, [Ьз Т131 = — Тм, [1.3, ТВ31= 7,3, (53 3) [1 Т 1= 2Т [1- Т 1=Т Т [13 Т 1=2Т образуется по закону = -'[ь, Р1.
(53. 1) Если преобразование координат задается формулой г'= Юг, то тензор определяется трансформационными свойствами своих компонент: 7[3 = Х Х )Сеи Йзз Тиз = ЯТЙ)сз. (53,2) и 3 Так как при бесконечно малых вращениях )1=1+А и А= — А, то отсюда 146 1Д Задачи без рчвгпа спина. В. Моиенлт количвспыа движения (К., Зрт1 =О. (53.9) Последнее обстоятельство становится понятным, если записать симметричный тензор в виде Т = 19+- (Зр т). У, 1 3 где Зр О = О.
Следовательно, след тензора Яр Т представляет собой скаляр (тензорный инвариант), но, как было показано в конце задачи 50, скаляр всегда коммутирует с компонентами 5з. Задача 54. Тензор квадрупольного момента. Сферические гармоники Тензор квадрупольного момента 9, определяемый соотношением фз = 1ччзг = Зх;хз — гзбм, (54.!) является симметричным тензором со следом, равным нулю, и, следовательно, он имеет пять линейно независимых компонент.
Эти компоненты (с точностью до множителя г') можно представить в виде линейной комбинации пяти сферических гармоник второго порядка. Воспользовавшись найденными в задаче 53 перестановочнымн соотношениями, вычислить перестановочные соотношения сферических гармоник с компонентами оператора момента количества движения. Решение. Сферические гармоники Уз,,„с т=О, -1-1, ~2 можно выразить через декартовы координаты'>: г'Уз.о.=С(Зг' — г*), г Уз, зг=~С$'6(х~ту)г, 1 .
з -/ 5 г'Ук а=С в 'г' б(х~(У)', С= 4/ 1б ф1~ 2, вс ~ с(ьз = 1. Эти хорошо известные формулы позволяют выразить сферические гармоники через компоненты тензора квадрупольного момента: Г'1'з в =С1'1зз ГзУз, зг = и: С )гГ (11гз-~10зз) Г'УЗ. = С У З ~- Ж вЂ” 0 .) =~ 19 т ~ (54.3) " Выбор знака о выражениях для сферических гарл1оник произволен, однако различие в знаках у уз г и уз 1 упрогиает окончательные результа гы.
Следует отметить, что все три компоненты Ез коммутируют со следом тензора: дд. Тзнэор нзадруноззного мамонова !47 Чтобы вычислить интересуюшие нас коммутаторы, воспользуемся теперь равенствами (53.б) — (53.8). Так как ось г является полярной осью сферических гармоник, то мы начнем с равенств (53.8), которые с учетом того, что Е з есть соответствующая проекция момента количества движения, дают ..- [Е.„) 2, о] = С [Е.„Е3м] = О, г' [Е„У2, + ] = С [/ — ( [Е.м 9 „] ~ 1 [Е.„Я„] ~ = г' [Е.„У2, „2] = С 1I — ( — [Е,з, Я зз] — ~ [Е-з, Я.,] ~ Е [Е.в Д и] ~ =С )/ — ( — Е~зв — ЕЕзз-ЕЕ Язз — Язз)1 = ~21г'г'г, 22 Эти три результата можно обьединить в одно соотношение [ Е з ) 2, зз] = ПП~ 2,т (54 4) которое становится почти очевидным, если принять во внимание„ что в координатном представлении Е,,=(ФЕЕ)(дЕдзр) и Уз, -е'"ч.
Действительно, [Е., е' ч] = — е' ч — е' ч — = Етезвч, ду дзг Мы имеем [Е,+, ЕЕзз] =21з,Езз, [Е' з ЕзЕзз] = ЕзЕзз+ЕЕЗвз~ [Е', О з]= ЕЕм+1(ЕЕзз — ЕЕ ), [Е;, ~',е„] = — 21ЕЕ„, [Е Юзз] = Юзз ЕЕзчзв (54. 5) [Е.', Яз,] = — 21Ез„[Е, ЕЕ„] = — 2ЕЕ„, [Е.', ЕЕ,з]=(Еń— (Езз) — М,з, [Е, ЕЕз.] =(Еń— Я.,)+(ЕЕ„, ЕЕзз] = 2 Язв ЕЕзЗзв) [Е Овв] = 2 Язв+Еаза). Непосредственное применение формул (54.3), а затем формул (54.5) и снова формул (54.3) приводит нас к перестановочным соотношениям между сферическими гармониками и оператором момента количества движения. Ниже дано несколько типичных Теперь мы воспользуемся равенствами (53.6) и (53.7), чтобы вычислить перестановочные соотношения с операторами Е.+ =Е„+ЕЕ.2 и Е- =Е,„— 11 . ЫЗ 11, Задачи бев учета саина. В.
Момент количества движения примеров: 1) г'~Е.+, )гз.з]=С )/à — ((Е', я,з]+(~Е.+, !',!зз])= / 2 =С 1/ з й-+зй- — Я„)+1%„— 1)..)+Ю„)= /2 1! = — 21С )/ З ] 2 (!ем — 9„)+19зз~ = — 21гз)'з, е. 2) *(Ь-, Уз,з]=С~/ ф~(.—, Я„]+1((.;, Г2 =С 1/ — ߄— (߄— Ю„)+1%„— !1„) — 9„) = С )/ з ! ((сзз+ чезз 2'чзз). Так как Зр() = 1)„+д„+1)„=0, то выражение в круглых скобках равно — ЗЦ„, поэтому 1' ((. Уз, з] = — ! ]Гбг'Уз. о И наконец, коммутаторы, содержащие сферические гармоники с максимальным значением ле, обращаются в нуль: 3) г' ~(.+, )гг, е] = С ~г — '( 2 11.+, !е зз] — 2 (Е.+ ~ !с зз] + /2 l! ! +1((.+, д„]~ =С~/à — ', (1а„+΄— '()„— а„) =0.
Полученные результаты можно объединить в две простые формулы; [6~, Уз, т] = — з)' 6 — т(аз+1) 1'з, ~ч! (54.6) ((.—, Уа ] = — 1)/6 — (гл — 1) т )гк ! (54.7) Равенства (54.4), (54.6) и (54.7) дают нам полный набор искомых коммутаторов. Задача 55. Преобразование сферических гармоник Пусть конечный поворот системы координат характеризуется тремя углами Эйлера а, р, у. Выяснить трансформационные свойства волновых функций, являющихся сферическими гармониками. Решение. Начнем с общепринятого определения углов Эйлера. Исходная система координат х, у, г сначала поворачивается на угол се вокруг оси г, причем 0 (а ( 2п.
В результате получается система координат х„ уз, г„ которую теперь следует повернуть на угол ()(0())(п) вокруг оси у,. Получающуюся таким образом промежуточную систему координат х„у„г, оо. Преоарозомсние сферических гармоник Г49 в заключение поворачивают на угол у(0 (у 2п) вокруг оси з„ и она переходит в систему координат х', у', а'. Путем последовательного применения формул (48.1) нетрудно убедиться, что всякая волновая функция ф(р) при повороте вокруг оси А на конечный угол еа преобразуется по закону 'л~х чр (г') =- Р (ал) ф (р), где Р (вх) = е " ". (55.1) Таким образом, закон преобразования волновой функции прн трех следующих друг за другом эйлеровых поворотах имеет вид ф (г ) = Р (сс, р, у) чр (г ), (55.2) где — — тс, - — Вс — — ос Р(а, р, у)=е " ** е " "'.е " '. (55.3) Теперь мы попытаемся выразить три поворота вокруг осей з, у„зм фигурирующие в формуле (55.3), через повороты вокруг осей исходной системы координат.
Чтобы произвести поворот на угол р У г г, вокруг оси у„обратимся к фиг. 32, а, хг у на которой оси з и зс совпадают га между собой и перпендикулярны плоскости чертежа, а оси у и у, образуют угол а. Мы заменим поворот х=хс рс на угол р вокруг оси у, сначала об- а б ратНЫМ ПОВОрОтОМ СИСТЕМЫ КООрдИНат ф м г, Зз Повороты осей ко. х„у„з, на угол — а вокруг оси з, орднметмых систем.
затем произведем поворот на угол р вокруг оси у вместо оси у, и наконец повернем систему координат снова вокруг оси з на угол +се. Таким образом, имеем — — Зс.„- — ас — — Зс.„— ас. е " "'=е " .е " "-е" (55.4) Аналогичным образом мы разложим поворот на угол у вокруг оси з, (фиг. 32,6). Для этого сначала повернем ось г, назад на угол — р вокруг оси у„затем повернем ось у, на угол у вокруг осн з и наконец восстановим исходное положение оси з, с помощью поворота на угол (5 вокруг оси у,; с с с т~г в~и т г й и е " '=е" "'.е" е" (55.5) Комбинируя равенства (55.3) — (55.5), в результате находим с с с с — — тст — Зс„— Вс„— ас, Р(а, (), у)4 е " "'.е й ' е" "'е " "'е с с - — ас — — щ „— ас — — строс с., =е" *е" е" ° е В 150 Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
