Fluegge-1 (1185100), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Задачи два учета слива. В. Момент количества движения или — ап г — — ЗЬ„- — ть, Р(а, р,у)=е" .е" "е " '. (55.6) Формула (55.6) является весьма общей и по существу чисто геометрической формулой; ниже мы ее применим в частном слу- чае сферических гармоник. Функция У, является собственной функцией оператора Ь„принадлежащей собственному значе- нию ЙМ. Оператор 1.и, как нетрудно усмотреть из результатов задачи 56, может изменять только индекс М, но не индекс 1., поэтому в новой системе координат б', у' мы в соответствии с формулой (55.2) будем иметь, (б' т')=О( ° ().
у))'и (б, р)= Х Рм, м 1 с., м (б, йз). Перейдем к вычислению коэффициентов разложения: Рм м- = ф Ус. м- (б, р) )'с, и (б', <р') с(й =фас, м-(б, ~р)0(а, р, у)У,, и (б, ~р) с((), или короче (55.7) Ом, и"=(ЕМ" ~0(а, (3, у)1йМ>, (55,8) где 0(а, р, у) — оператор, определенный формулой (55.6). Далее мы можем написать" — те е " ' ( ЕМ> = е-'ти)ЛМ>, г л(М" ~е ь * -симл)М ) и, следовательно, Рм, м" = е-' иам"+тмМй, м" (р), (55. 9) где (мм,м-Ф)=(5Мг)е а "~5М) м =-с и Знак в формуле с бра-вектором может показаться сомннтельным. Тем не менее мы имеем поскольку Ус и.
— в" ™г н, кроме восо, Цус и — — — ЙМ"Ус и„. — довольно сложная функция переменной р. Таким образом, закон преобразования сферических гармоник имеет вид Ус м(б', <Р') = ~З е-'~им'+визе(й, и (Р) г'ц м (б, ~Р). (55.10) Б6. !!ветрогоне огоетеенных векторов оператора Ег Задача 56.
Построение собственных векторов оператора Е, в абстрактном гильбертовом пространстве Пусть атомная система находится в состоянии, которое характеризуется определенным орбитальным квантовым числом 1. Требуется построить собственные векторы оператора Е„ воспользовавшись для этого методом задачи 31. Тогда, учитывая равенство Е,)гр >=т)гр ), (56.4) получаем Е"Е*И.>=(Е,— 1) ~Е'р„>=т1Е.р.>, или Е, ! Е+гр„) = (т + 1) ~ Е+гр ) (56.5) Отсюда следует, что вектор !Е+гр„> является собственным вектором оператора Е„принадлежащим собственному значению т-(-1.
Этот вектор пока еще не нормирован, так как скалярное произведение <Е+гр„!Е+гр„) = <Е Е+гр ! гр„>, где Е- = (Е+)1, не равно единице. Из равенства (56.1) и перестановочного соотношения Е+Š— Е 5+ =2Ег (56.6) находим Е Е+ =Е' — Ег — Е„ (56. 7) поэтому <Е-Е.р.1р.>=[1(1+1) т(т ( 1)) <„р !,р > Таким образом, нормированный собственный вектор, жаший собственному значению т+1, имеет вид ! "" = Етггп — =.~ е — ее""' принадле- (56.6) Решение. Мы выберем такую гильбертову систему координат, в которой оператор Е' диагонален, т. е.
для всех рассматриваемых векторов (в единицах Ь) з( + )+ г= ( 1 ). (56.1) Пусть далее 1!Р > — собственный вектор оператора Е„принадлежащий (е!це не определенному) собственному значению т. Подействуем на этот вектор оператором Е+=Е„1 еЕР, (56.2) который удовлетворяет (см. задачу 51) перестановочному соотношению Е+Е,— ЕгЕ+ = — Е+.
(56.3) 152 Н. Задачи без учета спина. В. Момент «оличеслтаа дашке«ил Действуя оператором ~: на обе части равенства (56.4), получаем Ь, ~ (.-$„> = (т — 1) ~ 1.-ф„>. (56.1!) Собственный вектор здесь снова не нормирован, так как <(- ф ~5 ф >=<5 1 ф И >=<(~' — Ч+1;)ф И >= =1!(1+1) — лт(лт — 1)1<тр„(ф >, Отсюда следует 1 ""-'= июа~т==~--~Р" (56.12) С помощью этой формулы можно получать собственные векторы, принадлежащие даже отрицательным собственным значениям лт вплоть до значений пз= — 1. Следующий шаг должен был бы привести к соотношению Ь- (ф,>=0, так что вектора (тр г,> не существует.
Замечание !. Из теории Шредингера иам известка, что сферяческие функции 1Ч >=у!. (б, 'р) (56.18) с точностью до произвольных фазовых множителей представляют собой реализацию рассмотренных выше нормированных гильбертовых векторов. Следовательно, формулы (56.8) и (56.12), опять-тани с точяостью до фазового множителя, который обычно выбирают равным ( — 1)н, идентичны рекурреитиым соотношениям для сферических фуикций: (+У! .
= — )' ! (!+1) — т(т+1) У! .... — |тахт!- т -лу,, (56.14) Замечание 2. В приведеииом решении молчаливо предполагалось, что 1 — целое число. Так как при каждом действии операторов Ь+ и 5- число т измеияегся иа ш1, а максимальное и минимальное значения т соотеетствеиио равны +! и — 1, то разность этих граничных значений, равная 21, должна быть пелым числом. Но это возможно как при целых значениях ! и т, так и при нолучеамх. Таким образом, перестаиовочиые соотиошеиии для компоиеит момента количества двкжеиия в принципе допускают квантование с помошью полуцелых чисел. Такое квантование ие возиикает при рассмотрении момеита Зту процедуру можно повторять вплоть до значения т=!.
Следующий шаг по необходимости приводит к соотношению 1+1 трг> = О, в результате чего последовательность собственных векторов обрывается, а вектора (тра+,> просто не существует. Кроме возрастающей последовательности, можно построить убывающую последовательность путем повторного применения эрмнтово сопряженного оператора !.- =А„— П,ш который удовлетворяет перестановочному соотношению 5 Е,— 1,,!'. =!. (56.10) о7.
Ортогональность сферических гармоник количества движения материальной точки, но зто отнюдь не ограничивает возможностей теории. Указанные полуцелые значения появляются в том случае, когда наряду с горбитальнымь момеятом в рассмотрение включается спиновый момент частицы. Задача 57.
Ортогональность сферических гармоник Показать, что выведенные в предыдущей задаче собственные векторы оператора 7., при фиксированном значении числа ! образуют ортогональную систему, и определить по отношению к ней матричные элементы операторов йе и 1. — . решение. Как было показано, векторы [чр„> удовлетворяют соотношениям 7- йь )чр„>= [!(!+1) — т(т+1)! !чр >, (57.1а) 1.+1. !гр >=[!(!+1) — пт(гп — 1)))чр >.
(57.!б) Образуем два равных скалярных произведения: <7-'Ь )7- Ь>-<ф- )7--7.'ф-> (57.2а) <Ььчй ° )Ь+чР > =<Е Е+гР ° )чР >. (57.2б) Применяя к правым частям этих равенств соотношение (57.!а), соответственно получаем выражения [!(!+1) — гл(т+1)! <чр )чр > [!(!+ 1)-ш (т + 1)) <ф- !ф-> Разность этих выражений равна нулю: [лз(пг+!) — т'(лг'+1)!<ар ° !гр > О. (57.3) Второй сомножитель в левой части должен равняться нулю за исключением тех случаев, когда равен нулю первый сомножнтель.
Таким образом, искомая ортогональность доказана для всех случаев, кроме т' т либо лз'= — гл — 1. Чтобы исключить последнюю возможность, воспользуемся соотношением (57.1б). В полной аналогии с предыдущими выкладками имеем <(.-рт !(.-~рт>=<~Ью )7. (.-~рл,>- = [!(!+1) — т(т — 1)) <ф„.! р >- =<7'7.
"р '! "Ь>= [!(!+1) — пг (пг — 1)! <Ф '!Ф >. Снова рассматривая разность [пг (и — 1) — и' (пг' — 1) ! <гр ° ! ф >, (57. 4) видим, что на этот раз первый сомножитель обращается в нуль при т'=па и и'= — т+1, ио не при т'= — и — 1. Следовательно, оба соотношения (57.3) и (57.4), рассматриваемые сов- !34 !1. Задачи без учета саина. Г. Сферически сиииетричиые аотеициааы местно, приводят к искомому условию ортогональности: (ф ° (ф >=6 (57.5) (выше мы воспользовались нормировкой, введенной в предыдущей задаче). С помощью соотношений (56.8) и (56.12) теперь нетрудно получить матричные элементы операторов 6+ и Е;.
Придерживаясь соглашения о знаке (56.14), имеем с,'ф „)1.+!ф >= — )/1(1+1) — т(т+1), (ф, ) й ~ ф > — Р 1(1+ 1) — т (т — 1), все прочие матричные элементы исчезают в силу соотношения (57.5). Г. Сферически симметричные потенциалы а. Связанные состояния Чтобы решить уравнение Шредингера в случае сферически симметричного потенциала, зависящего только от г (центральные силы), целесообразно с помощью формул х= г з)п 6 сов ф, у=ез1п 631п <р, гс гсозб ввести сферические координаты (фиг. ЗЗ).
Ось г называется полярной осью, б — угол между полярной осью и радиус-вектором г (0<0<я), а угол !р характеризует поворот вокруг полярной оси (О<!р<2п), В этих координатах оператор Лапласа имеет вид д' гд ! (а.2) Ф и г, 33. Сферические координаты. где А — оператор, зависящий только от углов: д!е. дт ! дч ис = —.—, гйпб — )+ з|о Е дд '~ дд) е!ие одере ' В рассматриваемом случае уравнение Шредингера йе Г дч о д — —,(,д,,+ —,д —,+ — „г) ф+~( ) ф=еф допускает разделение переменных ф(г б.
Ч)- —,Х (г))'е, (б р) ! (а.З) (а.4) (а.б) )66 l). Задача без учета спина. Г. Сферичесни симметричные потенциалы Как следует из уравнения (а.7), функции У, „являются собственнымн функциями оператора квадрата момента количества движения Ез, принадлежащими собственным значениям гэ*((1+ 1). Так как зависимость функций )'г „от угла ф имеет вид е' е, то из равенства (а.10) следует, что Уг, есть собственная функция оператора Л„принадлежащая собственному значению Ьп, где )лг)(1. Эти два свойства волновых функций частицы в поле с центральной симметрией являются применительно к квантовой механике своеобразным отражением классического закона сохранения момента количества движения. Равенства (а.2) н (а.)О), разумеется, можно получить с помощью преобразовання координат (ал).
Однако этот прямой путь оказывается довольно гро. моздкнм, Более изящный метод, использующий связь между оператором момента количества двнження н беснонечно малыми поворотами системы координат, был наложен в задачах 47 — 49. Математические детали, касающиеся сферических гармоник, приведены в приложении, том 2, стр. 296.
Задача 58. Средние значения компонент момента количества движения Что можно сказать о компонентах момента количества движения 7.„, Ьи, Е, в следующих двух случаяхР а) Волновая функция частицы, движущейся в центральном поле, зависит от углов как У, „. б) При данном значении ( функции Уг „ и 1', „ зависят от угла б одинаковым образом. Оба решения вырождены, поэтому их линейные комбинации, пропорциональные созтф и з)птф, по-прежнему являются решениями уравнения Шредингера в случае центральных сил. Решение а. Сферическая гармоника Уг есть собственная функция операторов Т,з и 7.„принадлежащая соответственно собственным значениям Гзз((1+1) и Йгп.
Следовательно, компонента Е, имеет вполне определенное значение в рассматриваемом состоянии. Две другие компоненты Е„н 5и по необходимости не имеют определенных значений, так как компоненты момента количества движения описываются некоммутирующими операторами (см. задачи 50 и 51). Эту ситуацию можно пояснить с помощью следующей классической картины. Для каждого отдельного движения все три компоненты д. имеют фиксированные значения: 7.„= Е юп () соз ф, 5 =йз!п ба!пф, 1., = 5 соз б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
