Fluegge-1 (1185100), страница 23

Файл №1185100 Fluegge-1 (Флюгге З. Задачи по квантовой механике) 23 страницаFluegge-1 (1185100) страница 232020-08-21СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

д1 Собирая здесь члены с одинаковыми еу и вводя операторы мо- мента количества движения $/ д дт Е = —. ~у — — г — ~ и т. д. (циклические перестановки) (47.4) е ( де дуУ получаем Вд. Мимансе коливесгпва двивсеник в с4ериискик координаеиак 137 чательно оно принимает вид ~'(г) = ~1+ — (е Е)~ 7(г). Й (47.8) г' = г соз б' = г (соз 6 — 68 з)п б), а, с другой стороны, г' = г — е„у ч г (соз 8 — е„з1п б з 1п ер), то из сравнения этих выражений вытекает бб = ен з1п ~р.

(48.3) Задача 48. Момент количества движения в сферических координатах Воспользовавшись результатами предыдущей задачи, выразить компоненты оператора момента количества движения через сфе- рические координаты. Решение. В равенстве (47.5) мы вместо 7"' будем писать ф, так что оно запишется в виде вг' (г') = ~1 — — (е Е)1 вр (г). й (48.1) Прежде всего произведем поворот вокруг оси г. Этому повороту соответствует преобразование с'=г, 6'=6, <р' =~р — е,. Отсюда с помощью разложения в ряд Тейлора получаем $(г') =-вр(г)+(~р' — ~р) д — — ~1 — е,—,~ Ф (г).

д~) 1 С другой стороны, в соответствии с формулой (48.1) имеем вг (г') =- ~1 — — (е,(-,)1 ф (г). Сравнение этих выражений дает 7.,= —.—. Й д (48.2) Рассмотрим теперь поворот системы координат на угол е„вокруг оси х. В этом случае по-прежнему будет г'=г, но оба сфери- ческих угла б и ф изменятся: б =б+бб, ~р =~р(бц. В прямоугольных координатах рассматриваемый поворот, соглас- но (47.1а) и (47.16), описывается формулами х=х', у'=у+е„г, г'=г — е„у. Так как, с одной стороны, г = с соз (), у = г з(п д з1п ~р 188 ЕЕ Задачи боэ апета спина, В.

Момент нолинестоа движгнин Аналогичным образом, сравнивая выражения у' г в)п д' в!п ф' г (в!п д 81п ф+ бд сов д в(п ф+ бф 81п д сов ф) у' = у+ е„г = г (в1п д в(п ф + е„сов д), полу чаем бд сов д 81п ф+ бф в! п д сов ф = е„сов д, что с учетом формулы (48.3) для бд дает бф= е„сов ф с1н д. (48. 4) Используя формулы (48.3) н (48.4), запишем разложение в ряд Тейлора в виде ф («') = ф («! + -х 6 д+ — бф д дф дд дф о 8 т = ф («) + е„( в 1п ф — + сов ф с1д д — ) ф («) . Из соотношения (48.1) следует ф («') = ф («) —.д- е„Е„ф (г); сравнение этих двух выражений дает й(. а д '1 Е = — —.

(8(пф — +созфс1дд — ). и 11 86 аф г' (48.5) Рассмотрим, наконец, поворот системы координат на угол е„ вокруг оси у. Снова обозначим приращения углов д и ф через бд и бф, которые теперь имеют иные значения, определяющиеся соотношениями х' = г в)п д' сов ф' = г (81п д соз ф -1- бд соз д сов ф — бф в|п д в! п ф) = = х — е„г = г (81п д сов ф — е„соз д) (48.6а) и г' = г сов д' = г (сов д — бд в1п д) = = г 4- е„х = г (сов д+ е„в1п д сов ф).

(48.66) Из формулы (48.66) получаем бд = — е„соз ф, (48.7) а из формулы (48.6а) следует бф = е„в)п ф с1н д (48. 8) Таким образом, ф(г') =ф(«)+е ( — сову — +шпфс1нд — ф(«), д т но последнее выражение должно согласовываться с соотношением ф(г') =ф(«) — — еиЕ„ф(«), 49. Момент количества движения и оператор Лапласа 139 вытекающим из формулы (48.1), поэтому Ге/ д д Х Е = — —. ! — соз !р — +з1п !р с1д б — ) . 1'! дд йг (48. 9) Вместо самих компонент (48.5) и (48.9) обычно удобнее пользоваться их комбинациями: Е+ =-Е„+!1,„= — —,.

еив ~ — ! — +с19 б — ), (48.10а) д т Š— =- ń— !Е„=- — —,. е-'о( ! дз-+ с1д б — ~. (48.10б) Выражениями (48.2), (48.5) и (48.9) полностью исчерпывается решение поставленной задачи. Задача 49. Момент количества движения и оператор Лапласа Записать оператор Е' в сферических координатах.

Полученное выражение сравнить с оператором Лапласа и с оператором кинетической энергии. Решение. Используя операторы Е+ и Е , определенные формулами (48.10а) и (48.10б), можно написать з( + )+* (49.!) Произведение Е+Е равно Еч Е = — Фее!э ( — !' — + с!9 б — ! е- сэ ! ! — + с!н б — ). дд др! ! дд ар!. Учитывая перестановочное соотношение е-со =е-сч( !+ ) позволяющее исилючить экспоненту, и принимая во внимание, что — с1Кб= — . +С180— д ! д дд в!пед дд приходим к выражению / де деде.д! Е+Е = — Ь'( ., +с1д 0 — + с(абеб —,+! — ), (49 2) дч) Аналогичным образом можно найти и оператор Е Е+; от только что найденного соответствующее выражение отличается знаком последнего члена. Таким образом, формула (49.1) теперь дает Г де д де З Е*= — й ~д — „+с(йб И+(1+с(й*б),—.~, дсое~ ' или 1 д l, д Х ! де! !40 П.

Задачи дев учета спина. В, Момент кояичества двиятния (49.5) Задача 50. Преобразоваиия в гильбертовом пространстве Показать, что любой кваитовомехаиический оператор Р при бесконечно малом повороте преобразуется в соответствии с фор- мулой г'= июч, (50.1) где унитарный оператор У имеет вид У=1 — — (в Е). й (50.2) Пользуясь этим преобразованием, найти коммутаторы Е с хя, р„й и Ее. Решеиие. На основании соотношения (47.8) мы знаем, что всякие скалярные волновые функции ф и !р преобразуются при поворотах по закону ф'=(lчр и !р'=-У~у, где оператор У определяется равенством (50.2).

Всякая измеримая величина (т. е. всякий матричный элемент, получаемый из оператора Р) должна быть инвариантна по отиошеивю к выбору системы координат, В этой последней записи выражение, стоящее в квадратных скобках, совпадает с выражением для угловой части оператора Лапласа, поэтому можно написать де 2д ! (49.4) дге г дг йеге Как известно из классической механики, кинетическую эиер- гию частицы можно представить в виде Так как ей соответствует кваитовомехаиический оператор ( — гое!2т) Че, то равенство (49.4) приводит к соотношению ЬЧ* — '= й( *+ ), г авдее г дг)' которое показывает, что оператор р,' с точностью до множителя совпадает с радиальной частью оператора Лапласа.

Оператор же, соответствующий классическому радиальному импульсу р„теперь получается из выражения (49.5) путем факторизации: (49. 6) В самом деле, последнее выражение, будучи применено дважды, дает правую часть равенства (49.5). Можно показать, что опе- ратор р, эрмитов (см. задачу 59) и что ои и координата г удо- влетворяют каноническим перестаиовочиым соотношениям. бб. Пргобраговаяия в гияьбертовом пространстве нн поэтому <)') Р') ч'> = <И р) ~> (50.3) Заменяя здесь ф' и ф', получаем <ф' (Р' ~ т'> = <(7ф ) Р' ~ ()гР> = <ф ) (74 Р'(7 ) р>. (50.4) Сравнивая последнее выражение с правой частью равенства (50.3), находим искомый закон преобразования (50,1). Подставляя в равенство (50.1) выражение (50.2) и учитывая, что рассматриваемое преобразование является бесконечно малым, получаем Г'=Р— е [Е, Р], (50.5) где [а, Ь] означает, как обычно, квантовую скобку Пуассона: [а, Ь] = — '(аЬ вЂ” Ьа).

Ф х'=х — е [Е, х] у'=у — е [Е, у] г'=г — е [Е, г] (50.6) а с другой стороны, как мы знаем, в соответствии с формулой (47.3) должно быть х' = х+ е,у — е„г, у'=у — е,х+е„г, г' = г+ е„х — е„у. Сравнивая соотношения (50.6) и (50.7), находим (50.7) [Е„х]=0, [Е„, х] [Е. у]=- . [Е,. у] [Е„, г]=у, [Е„, г] Е„х] Е„у] 1,. г] =г, =О, = — у =х, = О. (50.8) = — х Компоненты всякого вектора преобразуются по формулам, имеющим такую же структуру, как и формулы (50.7), отсюда с необходимостью следует, что и перестановочные соотношения с компонентами оператора момента количества движения должны иметь тот же самый вид, например, [Е„, р„]=0, [Е„, р„] =р„[Е„р„]= — ро и т. д. (50,9) Поскольку момент количества движения сам является вектором, то вышеприведенные соображения относятся и к его собственным компонентам, поэтому [Е„, Е„]=0, [Е„, Е„] =Е„[Е„Е„]= — Еи и т.

д. (50.!0) Если теперь в качестве оператора Г взять прямоугольные коор- динаты х, у, г, то. с одной стороны, должны выполняться соот- ношения 142 //. Задачи бее учета енина. В. Момент количества движения Скалярный же оператор при вращениях не изменяется, и, следовательно, в силу соотношения (50,5) он коммутирует с компонентами оператора момента количества движения. В частности, ((.е)' = 1.е, поэтому [е 1е1 0 (50. 11) н аналогично [е., г'1=0, [е., р'1=0 и т. д. (50.12) Задача 51. Коммутаторы в координатном представлении Непосредственным вычислением в координатном представлении проверить, что для системы из /1/ частиц имеют место перестановочные соотношения [/.„, Р1= — 2, [л„, у.„1= — с„ (51.!) где А — оператор момента количества движения системы в целом, а Х, У, Я вЂ” координаты ее центра масс. Решение.

Согласно определению, 1.=~',А/, Х= — ~т,.х/, /=1, 2, ..., /ч/, (51.2) / / где т — масса /'-й частицы, а М вЂ” суммарная масса всей системы / и, следовательно, [1.„, Ц = м ~ ~ тя [1 /ио р 1, / я Р.„, ь„1=ХХ[/.,„, /„„1. Фигурирующие здесь операторы 1, „действуют только на коор- динаты 1-й частицы и коммутируют со всеми операторами, дейст- вующими на координаты других частиц, поэтому приведенные выше двойные суммы сводятся к одинарным: [1.„, У1=м~~' т» [1. [/-. (.о1=Х[~я. (-яе1 (51.4) Вклад каждого слагаемого можно оценить, непосредственно вы- числяя соответствующие производные: / д~ д~ У дУя/ и а2.

Частица со свином 1 143 Подстановка полученных результатов в формулы (51.3) и (51.4) дает ~1.„, г'! = — — ~, тапа= — Л и 11,„, (.„1= —,'г',(.а,= — й„ и е чем и доказывается справедливость соотношений (5!.1). Задана 52. Частица со спииом 1 Рассмотрев бесконечно малые вращения системы координат, показать, что векторное поле ер пригодно для описания частицы со спином 1. Решение. Если бесконечно малое вращение, как и в задаче 47, описывать формулой г' = (! + А) г, (52.1) то векторное поле будет преобразовываться точно так же, как радиус-вектор г, поэтому тр' (г') = (1+ А) ф (г). (52.

2) Из решения же задачи 47 нам известно, что разложение в ряд Тейлора каждой компоненты 4р,: (г') в окрестности г должно при- водить к соотношениям трс (г') = ~1 — — ( х)1 тр'(г). й (52. 3) IО ОО ОΠ— 1 010~ А=е„~ 0 01 +еи О О 0 +е, — 1 00~, (52.4)ы !О -10 10 О ООО! или более компактно: А= — '~~' в 5„, (52.5) где /00 0 004' 0 — с Ох! 5„= — А~00 — с, 5в=гс 0 00, 5,=$ с 00~, 1хОс 0 — !00 0 00у (52.6) " Три матрицы (52.4) суть генераторы группы вращений ЗО(3) в трех.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,53 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6549
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее