Fluegge-1 (1185100), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Задача 61. Квадрупольный момент Для частицы в сферически симметричном поле вычислить квадрупольный момент в случае состояния с определенными значениями квадрата момента и его проекции на ось г. Решение. Волновая функция, описывающая интересующее нас состояние, имеет вид и= — ~,(г) У, „(О„~р), ! (61.1) а тензор квадрупольного момента, согласно определению задачи 54, равен 9м —— Зх,х,— г'б, . (61.2) Мы должны вычислить квантовомеханические средние Ю <ф„> = ~дг (ц,(г) ~'$Ям( 1', !'НЙ. (61.3) о Недиагональные компоненты тензора (!м зависят от угла ~р соот- ветственно как соз~рз!п~р, соз~р и з!п~р, в то время как ~)г, от угла ~р не зависит, поэтому соответствующие' интегралы обра.
щаются в нуль. Для диагональных компонент Я„„= г*(3 з!п'б сов'~р — !), 9„э — — г' (3 з(п' д з (п' ~р — 1), Я„= г' (3 соз' б — 1) 164 1). Задачи без учета спина. Г. С4ерически симметричные потенциалы интегрирование по вз дает множитель '/я, и так как — 3!изб — ! = — — (3 созе 4) — 1), 3 . 1 2 то интегралы <()„„> и <Дея> можно свести к интегралу <1',)„>: <(сея> '(сее> 2 <(чсс> (61.4) Вводя сокращенное обозначение Ф <">=)")х ()~'(, а мы, таким образом, имеем <(')„> = <ся> ф (3 соз' б — 1) ! )с, !асс: Интеграл в (61.6) легко вычислить, если воспользоваться соотношением соз Ь)с, (б, ер) =-а, )с,т, +а,, У'. ими (61.7) (61.5) где (1+т+1) (1 — т+1) (21+ 1) (21+ 3) Учитывая ортогональность сферических функций, получаем <я„> = <Гз> (а', + а,', „) " Квадрупольный момент исчезает также прн 1=3, т=2, однако зто является единственным исключением нз правила по крайней мере вплоть до значений ! = 16.
н элементарное вычисление теперь дает 21 (1+ 1) — бтз (21 — 1)(21+3) ' (61.8) Мы видим, что квадрупольный момент отсутствует только у Я-состояний (и = 1 = 0), что является следствием сферической симметрии " Лля Р-состояний мы, например, имеем 4 Г 3 <Я > = <Гз>.— ( 1 — — лчз) . 5 (, 2 Состояние с не=О, соответствующее распределению вытянутой формы, характеризуется положительным значением <9„>.
У состояний с аз=~-1 компонента <9„> в 2 раза меньше по величине и отрицательна, что, очевидно, соответствует распределению сплюснутой формы. Это представляется вполне разумным, так как суперпозиция всех трех состояний приводит к сферически симметричной конфигурации (конфигурация замкнутой оболочки). На самом деле эффект замкнутой оболочки имеет место для любых значений 1, Суммируя по всем состояниям, относящимся 1бб 11. Задачи беэ учета слона. Г. Еферически симметричные потенциалы 1, (й)~) = О или ,7!+хт,(м) = О.
(62.106) Для каждого фиксированного значения величины 1+а/х функция Бесселя обладает бесконечным числом нулей, поэтому мы получаем бесконечное число значений й„,,! и бесконечное число энергетических уровней Ьа Ечг,! 2 йлг, ! (62.1! ) для каждого значения величины 1(п,=1, 2, 3 ...— радиальное квантовое число, определяющее число нулей). х! Дли 1=0 и малых г ато решение принимает аид и — !/г, а интеграл для кинетической энергии эаписыааетсн как Е !)дг,(ге. с асимптотикой (иц г !их 1г(г) з(п (г — — 1, и, (г) — соз ( г — ) (62.5) при больших положительных значениям г. Вблизи начала координат, когда (г(<~1+!1„эти функции аппроксимируются первыми членами соответствующих степенных рядов: 201 г ы (2!11 (62.6) ' (И+ 1) 1 2Ч( Второе слагаемое в решении (62.3) при г — 0 дает вклад в )(х-г ' и в и г ' '.
Следовательно, чтобы обеспечить существование нормировочного интеграла ~ ( и ~х х(т = ) ( )( (х с(г = 1 (62.7) о необходимо положить в формуле (62.3) С,= О. Эти соображения, однако, не применимы к случаю 1=-О, когда сингулярность функции и слишком слабо выражена и не может привести к расходимости интеграла в точке г= О. Но и в этом случае мы должны исключить сингулярное решение, так как оно приводит к расходимости в точке г=О интеграла для среднего значения энергии": Е =- — ) (уи)а с(т йх !' (62.8) (см. также задачу 65).
Таким образом, в качестве нормируемого решения мы должны взять )(! (г) = С1, (юг). (62.9) Из этого набора решений собственные функции отбираются путем наложения условия (62.10а) б2. Частица внутри ненрониновмой сферы !бт Для низших значений 1 сферические функции Весселя имеют вид в1п г 1о (2) = З1П 2 )т (2) СОЗ2 (62:12) 1,(г)= — 3 о '+( —,— 1) з!пг, а для более высоких значений 1 явный вид этих функций легко находится с помощью рекуррентного соотношения 1, (г) = — 1,, (г) — Д, (г). ! (62.13) гбу гбо гбп в С й 7ЦО гу пг-! п,.-г пг-Ю п„б Лсе термы фи г. 35 Энергетические уровни частицы внутри непроницаемой сферы. з(пг=.О или г=ип„ (цг=г, зг 1Я2= — в и т.
Д. (62. 14) Все они стремятся либо к пи в случае четных 1, либо к (и+в(е)л в случае нечетных 1, На фнг. 35 показаны нижние энергетические уровни (в единицах Ь(2гп)се), а значения пара- Их нули можно определить, уравнения: 1, (г) = О, если 1, (г) = О, если )е (2) = О, ЕСЛН решая несложные трансцендентные !68 ll. Задачи без учета спина. Г. Сферичесни симметричные потенциалы метра "„с=й „!)ч не превышающие 16, приведены в таблице (62.16) !2,666 14,066 9,425 10,904 12,323 13,698 Замечание.
Зтз задача тесно связана с более простой одномерной проблемой, рассмотренной нами в задаче 18. Решения при ! =0 точно соответствукн антисимметричным залповым функциям для одномерного случая, Задача 63. Сфернческн симметричная прямоугольная яма конечной глубины Для значений ! = О, 1, 2 определить энергетические уровни связанных состояний в сфернческн симметричной прямоугольной яме — г()т, )г (г) = (63. 1) Довести расчеты до численных результатов в том случае, когда характеристический параметр 2т)',есз/усе=100.
Решение. Пусть 2пг ! Е) — =из $" — — ~ — ~~ = Й', (ее.е) йе 2т)е е — =- й, е тогда радиальное уравнение Шредингера для связанных состояний внутри и вне ямы соответственно будет иметь внд (63.3а) хг+( "' 1+ ~ )х =о (63.3б) 3, 142 4,493 5,764 6,988 8,183 9,356 10,513 11,657 !2,791 !3,9!6 6,283 7,725 9,095 10,417 11,705 12,967 14,207 бе. Сферичегяи еимлитричноя ярямоугольноя ямо яонггнод глубина !69 Решением уравнения (63.35), убывающим при больших значениях г как е-"', является сферическая функция Ханкеля мнимого аргумента: )(г (г) Вф' ((кг), г ) !г. (63.46) фигурирующие здесь постоянные А и В следует определить, руководствуясь соображениями непрерывности и нормировки.
Если записать условие непрерывности логарифмической производной на границе ямы (» = )т), то указанные постоянные взаимно сократятся: 7 Л) 1 ((н)1) „! й (Лгб (63.5) Л',о ((нн) Здесь штрих означает производную по соответствующим аргументам. Так как уравнение (63.5) связывает между собой н и я, то оно тем самым фиксирует нам, согласно формулам (63.2), собственные значения энергии для каждой данной ямы. Для низших значений 1 функции, фигурирующие в уравнении (63.5), имеют следующий внд: ), (г) =- з(п г, йео(г)= 1е~, г )~ ' (63.6) ! (2)=(~ — — 1)з(пг — — созг, Ь (2)=( — — — — +!~ел. /3 ~ .
3 о, / 3( 3 (,г' ) г ' ' (, г' г При ббльших значениях 1 можно воспользоваться рекуррентными формуламн !г+1(2) = г !с (2) — !е-г (г) 21+ 1 Ь)г+', (г) = ф' (г) — Йд (г). г (63.7) Если ввести сокращенные обозначения 'яК = х, )г,Я - х„— = $, нИ = х, у" 1 — $г, (63.6) о где х,'— указанный в условии характеристический параметр, то уравнение (63.5) после элементарных, но довольно длинных выкладок можно привести к виду 1ц (х„$) = 1, (х,Д) (63.9) Уравнение (63.3а) с очевидным граничным условием )(г(0) =0 имеет своим решением сферическую функцию Бесселя )(г (г) А), (йг), г ( )т'.
(63. 4а) !70 !Д Задачи без учета слила. Г. Сферичес«и симметричные лотелииа«ы (,(х„й)=— (63.10а) (63.106) (+ «, )' ! — Р+ з «з Р (( — Р) (,(хт Я) =«за, . (63.!Ов) 1+ «„$» ( — Р [( — З «е В (( — Р)1 Значения переменной й, а тем самым и переменной «„ удовлетворяющие этим уравнениям, проще всего находятся графическим методом. Ф и г. 36, Графическое определение собстиенных значений и случае сферически симметричной прямоугольной ямы конечной глубины На фиг. 36 дана функция !ахай для физической области изменения переменной, 0($~(1, в случае «,=-10. Ее точки пересечения с функциями (Я) находятся сначала непосредственно по фигуре, а затем их положение уточняется вплоть до четвертого знака при помощи табулирования рассматриваемых функций в окрестностях точек пересечения.
Окончательные результаты для случая х,= 10 приведены в нижеследующей таблице. Сюда же для сравнения помещены и соответствукхцие результаты, относящиеся к сферически симметричному ящику с бесконечными стенками, полученные нами в предыдущей задаче. бв. Потенциал Вуда — Синрена !7! Ямв вовечвоз глубвмм, зввченвв пврзметрв л Ллз Ящнв е бееновечнммв етенмзмв, значения нврвметрв в длв !=Е 4,070 5,226 6,958 8,!24 9,625 З,С42 6,283 9,425 4,493 7,725 !0,904 5,764 9, 095 2,853 5,679 8,422 Задача 64. Потенциал Вуда — Саксона Сферически симметричная потенциальная яма описывается потенциалом у у/ур У(г)= —, я (64 !) о С+е е гдеа(<)т. Требуется определить энергию связанных состояний с 1=0.
-44 Замечание. Зтот потенциал испольэовался для описания взаимодействия нейтрона с тяжелым ядром. Параметр В интерпрети. руется квк радиус ядра, другой параметр а хзрактернзует толщину поверхностного слоя, внутри которого потенциал падает от знзчения т'= 0 снаружи ядра до значения !с= — )с внутри ядра(фиг.37).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
