Fluegge-1 (1185100), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Полученные здесь результаты целесообразно сразнить с результатами задачи 42, где выл рассмотрен нзотропныа оспнллнтор на плосности. Задача 66. Вырожденные состояния изотропного осцнллятора Показать, что собственную функцию изотропного осциллятора с квантовыми числами 1=2, ит=-О, и,=1 можно сконструировать как линейную комбинацию вырожденных функций, полученных разделением переменных в прямоугольных декартовых координатах. Решение. В прямоугольных декартовых координатах уравнение Шредингера для изотропного осциллятора можно записать в виде ~ —, + (й', — "г.зх') и1 + [ —., + (й, '— уу') и1 + (66. 1) где на + из+ нз = и а й' и Х обозначают те же величины, что и в предыдущей задаче.
С помощью разделения переменных и(х, у, г) =) (х)д(у) Й(г) (66.2) для каждой из независимых переменных х, у и г мы получаем простые осцилляторные уравнения, первое из которых, например, имеет вид '~+(й, ). *)(=О. (66.3) Соответствующие собственные значения равны йчн (и,+з~з), а и,— 178 П. Задачи бее ичета спина.
Г. Сферичесни симметричнме мтенциалт (66.6) Мы имеем Л = е ' ' (1 — —,' Л") Я г — —,', ) = — — ЫаГЛ Л 2Л 2Л аа Л аа Л аа = е а ( — х' + — у' — га + — х'у' — — у'г' — — х'г'— ( 7 7 7 7 7 7 — — х' — — у'+ г') . (66.9) г г В каждом произведении (у)а присутствует один и тот же экспоненциальный множитель, который в дальнейшем, при сравнении функций, мы опустим. Так как па(4, то в формулах (66.4а) и (66.4б) первый параметр и вырожденной гипергеомеТрической функции не может превосходить 2. Зти же соображения, разумеется, относятся и к гипергеометрическим функциям, через которые выражаются функции у(у) и Ь(г).
Поэтому нам при- целое неотрицательное число. Как было показано в задаче 30, (ненормированная) собственная функция уравнения (66.3) при четных и, = 2п равна ссал(х) =е аРа ( — и, г , 'Лх'), (66.4а) а при нечетных п,=2п+1 равна - — Хва 1 3 ),„аа(х)=е ' х,Р,( — и, —; Лх'). (66.4б) То же самое имеет место и для функций д(у) и Ь(г) (соответст- вующие квантовые числа мы будем обозначать посредством п, и и„), поэтому полная энергия должна быть равна ЗЛ Ели л„л, — сача (Па+ Ив+ив+ 2 )- С другой стороны, при разделении переменных в сферических координатах, как мы видели, Ел, Ьт= Пап (2И + 1+ г ) (66.6) следовательно, в состоянии с квантовыми числами 1=2, па=О, п, = 1 мы имеем 2п +1= 4, а соответствующая собственная функ- ция, согласно формуле (66.12), равна и=г'е ' аРа ( — 1, —; Лс') Р,(созб). (66.7) 2 ' Теперь наша задача состоит в том, чтобы записать выраже- ние (66.7) в прямоугольных декартовых координатах и результат выразить в виде линейной комбинации функций 7(х) д(у).й(г), для которых и,+и„+п,=4.
(66.8) бб. Выуохдениме сосьтояиия изощролирео ослиллял»ора 179 детси иметь дело лишь со следующими полиномами: (66. 10) Как показано н нижеследующей таблице, число 4 1см. формулу (66.6)! можно разбить на сумму трех целочисленных сла- Собственные фуикиии при рввделенин перемеинмх в при- моутольиык декартовых координатах (виспонеита опущена) Умномаетт» иа ковффи- виент », о и, 1 — 4!ав + -4- Лага 4 "'(' 3 '"') (1 — 2Лу') (1 — 2)ав) уг (! — Луа) ! — 4Лу'+ — Лтуа 3 004 — б/28Л 013 — 1/28Л 022 031 3/28Л 040 хг (1 — — Лгв) ху (1 — 2Лг') хг (! — 2Лу») .у(1 —,' Лу ) 103 !! 2 121 !30 (! — 2Лх») (1 — 2)аа) уг (1 — 2Лх') (1 — 2Лха) (1 — 2Лух) — 1/28Л 0 2/28Л 202 21 1 220 .,(1 'Ли) ху (1 — Лх') 30! 310 1 — 4Лхв+ — Лехе 4 3 3/28Л 400 тРт(0, —,, Л( — 1, —,'; 3 хайят(0, 2, 3, кР( — 1 2 ' Л )=1, Лх*) = 1 — 2Лх', Лх*) = 1 — 4Лх'+ 4 Л х', Лх') =х, ")- (' —."') )80 П.
Задачи без учета спина. Г. Оферически симметричные потенциала Задача 67. Проблема Кеплера Решить уравнение Шредингера для связанных состояний элект- рона в поле бесконечно тяжелого точечного ядра с зарядом Яе. (Прн Я=1 мы имеем дело с теорией атома водорода.) Решение. Введя обозначения 2тЕ з Яезт еа тс (67.1) йз = = тй = й. ~У 2б и используя обычный способ разделения переменных и= —,Х (г) Уь (б ф), мы приходим к радиальному уравнению Шредингера вида у;+~ — у+ —,—,. 1Ъ=-О. 2ти )(! + Ц) (67.3) Это уравнение имеет регулярную особую точку при г = О и существенно особую точку прн г=по.
Вблизи точки г=О оно решается путем разложения в ряд, что приводит к решениям, которые пропорциональны либо г'+', либо г '. При г — оо его решения ведут себя как е~тг. Только те решения, которые при малых значениях г ведут себя как гс+х, а при больших значе- ниях г как е-т', можно нормировать в соответствии с условием" О ~ у,а(г) Ь =1. (67.4) о (67.2) " Решение с поведением типа г-с при )=0 также может быть нормировано, однако в этом случае теряет гмысл интеграл, описывающий среднее значение кинетической энергии, поэтому указанное рещение тоже необходимо отбросить (см.
задачу 62). гаемых пятнадцатью различными способами. Так как интересующий нас полипом (66.9) содержит только четные степени переменных х, у и г, то 9 функций, полученных разделением переменных в прямоугольных декартовых координатах, в которых фигурируют нечетные степени х, у и г (это те функции, где хотя бы одно из трех чисел п„бм пз нечетное), в искомую линейную комбинацию вклада не дадут. В последнем столбце таблицы мы приводим коэффициенты, на которые необходимо умножить соответствующие функции для того, чтобы их сумма оказалась равной полиному (66.9).
Так как в нашем распоряжении имеется всего 6 слагаемых, а полипом (66.9) содержит !О членов, то у нас остается еще 4 соотношения, которые можно использовать для контроля правильности вычислений. Замечание. Сопоставьте этот анализ с результатами задачи 42, где разбирался вопрос о вырожденных состояниях изотропного осдиллятора на плосКости. б7.
Лроблеип Кеплера !в! Таким образом, мы должны положить х = "' '~(). (67.5) Если теперь вместо г ввести безразмерную переменную а=27«, (67.6) то придем к дифЧеренциальному уравнению г!" + (21+ 2 — г) 1' — (1 -)- 1 — к) 1 = О, (67.7) которое представляет собой уравнение Куммера. Нам необходимо рассмотреть только одно решение этого уравнения, а именно ,Р,(1+ ! — к, 2!+2; г), (67.8) так как только оно регулярно в начале координат, а о граничном условии мы уже позаботились, введя посредством формулы (67.5) новую йеизвестную функцию. При больших значе.
ниях г вырожденная гипергеометрическая функция (67.8) ведет себя как в', что находится в противоречии с условием нормировки. Противоречие не возникает лишь в том случае, когда она вырождается в полипом, т. е. когда 1+1 — к= — и„, л,=О, 1,2, ... (67.9) Так как величина к в силу (67.1) связана с энергией, то уравнение (67.9) определяет искомые собственные значения.
Если ввести главное квантовое число а= и,+1+ 1, (67. ! 0) то мы получим к = п или яе «пее Е и 2пе ее (67.1!) ~~(21+ !) = пе (67. 13) «о собственных функций. Только основное состояние с квантовыми числами и= 1, 1=0, т=О оказывается невырожденным. Радиальные части волновых функций, нормированные в соот- Энергетические уровни вырождены, так как каждому из них при п > ! принадлежит несколько собственных функций: и„«,„=С««в-т«,г",(1+1 — и, 21+2; 2у«) У«, п(б, ф), (67 12) различающихся значениями орбитального квантового числа 1 = О, 1, ..., и†! и магнитного квантового числа «и = О, ~!.....
-Ы. Таким образом, для каждого значения и всего имеется 182 П. Задачи без учета спина. Г. Сферичесни симметричные потенциалы г и г г Е= — —, х= —, 2нз * т ' (67.!4) Графики некоторых функций ~)(0„)з приведены на фиг. 38. Кроме того, мы даем сводку явных выражений сферических Дд о,г од тггдг 1о и го гд г Фиг. ЗВ. Функции )Х~ „), описывающие радиальную плотность зероят- ности в случае атома водорода. функций, нормированных согласно условию ф) У', „1зс(ьг = 1. Замечание. Относительно взаимного движения ядра н электронз около нх общего центра масс см.
задачу !50. Вопросы тонкой структуры и релятивистские эффекты разобраны в задачах 202 н 203. Теория строении атомов с двумя н более электронамн, основанная на водородоподобных волновых функциях, рассматривается в задаче 154 н ряде следующих зз ией задач. ветствии с условием (67.4) для значений п=1, 2 и 3, приведены в таблице на стр. 183. Следует иметь в виду, что в ней мы пользуемся атомными единицами (от=1, е=-1, Ге=1), поэтому 134 П. Задачи бее учета спина. Г. Сферичеаси симметричные потенциалы Продолжение кислицы г, <о, с) — (5 соэ Π— 3 соэ 5) 7 и 21 — Мп Ь (5 сочи о — 1) е — э!и О соэ де )О5 2о Уг — Мпи беж э"с 35 1 4 1 3 1 4 Задача 68. Потенциал Хюльтена Решить уравнение Шредингера н определить уровни энергии в случае так называемого потенциала Хюльтена )г (г) = — 1'.
(68.1) при 1=0. Решение. Мы будем пользоваться безразмерной переменной х (68.2а) н введем обозначения и 2тЕ а= — — а>0 йи (эи = — ' а' > О, (68.26) причем будем считать, что а > 0 и р > О. Радиальное дифференциальное уравнение для функции т (г) = гф (г) теперь можно записать в виде (68.
8) (68.7) Замена переменной к=у (68.4) позволяет сделать коэффициенты уравнения рациональными функциями: р'~" +у — ""+( — *+8' — "1Х-О. дуе ду ~ 1-у 7 (68.6) Мы должны решить это уравнение при граничных условиях: Х=О при у=О, г- оо, (68.6а) 2=0 при у=1, г=О. (68.6б) Решение находится с помощью подстановки Х=у" (1 — у) ю(у), 185 оа.
Потенциал Хюльтена в результате которой уравнение (68.5) приводится к гипергеомет- рическому уравнению у(1 — у) в" + [(2а+ 1) — (2а+ 3) у) в' — (2а+ 1 — ре) в = О. (68.8) Общее решение этого уравнения имеет вид в (у) = А еР, (а+ 1 + у, и+ 1 — у, 2а+ 1; у) + Ву е" х х ег, ( — и+ 1 + у,— а+ 1 — у, — 2и+ 1; у), (68.9) где у = )/ сее + ~е, Первое граничное условие (68.6а) при и > О дает В=О. Вто- рое граничное условие (68.66) требует более тщательного ана- лиза в окрестности точки у=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
