Fluegge-1 (1185100), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Однако, если перейти к безразмерным величинам 2аг = х, 2сс)с = Х (74.9) и воспользоваться известной из анализа формулой х"ечл с!х —.— гг! е-ь(1+ Х+ — ).'+ .. + — )") ! ! 2! ''' ' и! 75. 5!адель двйтрона с центральным взаимодействием 205 то это вычисление по существу становится элементарным. Окон- чательный результат можно представить в форме (74.!О) где 7'(Л) = ( —,.„, — 28) — е-ь ( — „, + — +80+14Л+Л') . (74.11) Условие Ритца, д7 приводит к уравнению для определения Л -ь — = — !2!беь — гр (Л)), (74.12) где ~р (Л) = 216-1- 216Л+ 108Л'+ ЗЗЛз+ 6Л'-1- — Ль, Для значения м!с = 2,23 из уравнения (74.12) мы получаем, что Л ж 3,5 Этому соответствует минимизированное значение энергии Е=- — 1808 мюонных единиц или Е=- — 1О,!8 МэВ. Замечание.
Более детзльно этз задача, в также некоторые имеющиеся здесь тонкие эффекты рзссмотрены Флюгге и Цикендрзтом (Р1йппе 5., йпсйенйга51 1Р., Хз. Рьуз., 145, 1 (1955)!. (Полезные сведения по данному кругу вопросов можно найти в обзорной стзтьс Гг. Д. Ивзнепко и Г. Б. Пустовалова !УФН, 51, 27 (1957)1. — Прим.
ред.) Задача 75. Модель дейтрона с центральным взаимодействием Идеализируя реальнуго ситуацию, будем предполагать, что взаимодействие между нейтроном и протоном описывается сфернчески симметричным потенциалом )г(г) = — Ае-"'. (75. 1) Е = — 2,23 МэВ. Найти связь между параметрами А и а, при которой для энергии Е получается указанное значение, считая, что значения а близки к 2 ферми (1 ферми ==1Оьм см). Для установления искомой связи использовать три метода: а) точное решение уравнения Шредингера; Решить уравнение Шредингера для эквивалентной одночастичной задачи (см, задачу 150) в случае связанных состояний с ! --0 (дейтрон). Экспериментально установлено, что существует толысо одно связанное состояние с энергией есв П.
Задачи без ета саина. Г. Сферичееки еимметричиме иатеиииалег б) приближенную волновую функцию вида С и = — (е-ч' — е-чч'), е обладающую правильным асимптотическим поведением при надлежащем выборе у; в) метод Ритца с однопараметрическим семейством экспонент в качестве пробных функций. а. Точное решение. Полагая при 1 = 0 и = — )((г), 1 (75. 2) е мы имеем следующее уравнение Шредингера для эквивалентной одночастичной задачи: — Х+ — (Е+ Ае 'т) )(= О, (75.3) дгг еаг где лг'=г/е пг — приведенная масса нуклонов (мы считаем, что массы нуклонов равны).
Переходя к новой независимой переменной у — е-ага (75.4) получаем (75.5) где 8тч 8т* с* = — Аа*, ач= — —,Еа') О. (75.6) Уравнение (75.5) есть уравнение Бесселя с общим решением у=С,lе(су)+С,е е(су). (75.7) Согласно равенству (75.4), точке и = 0 соответствует точка г = оо, где функция т должна обращаться в нуль, Следовательно, С, =0 и волновая функция будет равна и = †' l (Се егга) (75. 8) е С другой стороны, точке у=1 соответствует точка с=О, где волновая функция и обязана быть конечной, поэтому для функции Бесселя должно выполняться равенство ее (с) =О.
(75. 9) При заданных числовых значениях величин т" и Е мы на основании формул (75.6) имеем а = 0,458а, А = 2,23 — ',, (75. 10) Д~ где значения а берутся в единицах ферми, а значения А в МэВ. Пусть нам задано значение величины а, тогда величину а мы 75. Модель деагарока с центральным взаимодедсамивм 207 можем найти по формуле (75.10). Затем из уравнения (75.9) находим величину с и, наконец, снова с помотцью формулы (75.10) определяем соответствующее значение глубины потенциальной ямы А. Следует подчеркнуть, что нужно брать наименьший корень уравнения (75.9), так как именно в этом случае получается наименьшее значение А, что соответствует потенциальной яме с одним-единственным связанным состоянием. Результаты численных расчетов значений величин А и а приводятся в нижеследующей таблице ". б. Приближенное решение.
Волновая функции и (в за е а) в точке г=О имеет конечное значение, и(0)=С 4 и убывает экспоненциально на больших расстояниях г, причем коэффициент спадания имеет правильное значение: " (-")-- (- р'""') Нормировочная постоянная С получается из условия 4п ~ г'и'(г)с(г =1, о которое дает (75.12) " Решения уравнения (75.9) можно взять из таблиц Янке и Эмде. (Имеется перевод; Ямке Е., Заде Ф,, вуеш Ф„Специальные функции. изд-во „Наука", 5)., 1968.— Прим. аерев.) 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,4 0,436 0,873 1,310 1,747 1,963 2,180 2,40 2,62 3,05 2,707 2,999 3,283 3,560 3,696 3,832 3,966 4,099 4,363 409 125 67,0 44,5 37,5 32,7 28,1 26,1 21,7 208 П.
Задачи без учета спина. Г. Сферичесни симметричные пстеняиапы Теперь с помощью этой волновой функции мы определим сред- нее значение энергии, для которого имеет место формула Е=4п ') г'( —,( — „) — Ае-оаи'~3г. (75.13) о Если в подынтегральное выражение (75.13) подставить точную волновую функцию (75.8), то в результате мы получили бы точное собственное значение Е.
Используя же приближенную функцию и (75.1!), мы получаем приближенное собственное значенне Е, которое, согласно вариационному принципу Шредингера (см. задачу 2), должно несколько превышать точное собственное значение Е. Интеграл (75,13) с функцией (75.11) вычисляется элементарно, и окончательный результат имеет вид ~ 1-1- — — -1- — 2+— ч 2 у у Если теперь подставить сюда значения а=2,!8 ферми и А = = 32,7 МэВ, найденные нами ранее, то для Е получится значение Е = — 2,18 МэВ. Если же, с другой стороны, потребовать, чтобы формула (75.14) давала правильное значение энергии, Е= — 2,23 МэВ, при д=1 и а=2,18, то для этого придется глубину ямы А взять равной А =33,5 МэВ.
Таким образом, при правильном значении глубины потенциальной ямы у нас получается значение энергии, завышенное примерно на 2,5е4, для получения же правильного значения энергии требуется потенциальная яма несколько большей глубины А. в. Метод Ритца. В качестве пробных функций возьмем нормированные функции вида Г з а' (75. 15) и определим значение параметра а из условия минимальности выражения (75.13) для среднего значения энергии Е. Подставив выражение (75.15) в формулу (75.13), после элементарных вычислений получаем — Ле , а' (75.18а) и дЕ йе ЗА (75.15б) ае 1-!— уд.
Модель дейтрона с центральтлм взаимодействием 209 или (м+ Вь 12т"аьА (75. 17) Для значений а = 2,!8 ферми и А = 32,7 МэВ правая часть равенства (75.17) будет равна 22,3, откуда следует, что а = 1,34. Учитывая, что йя1(8тпьаь) =2,21 МэВ, мы в соответствии с формулой (75.1ба) получаем для энергии значение Е=3,97 Мэ — 6,15 МэВ.= — 2,18 МэВ. Мы видим, что приближенное значение снова больше точного.
На фиг. 42 представлены графики всех трех волновых функций и (точная), и, и с учетом правильной нормировки (правиль- ~ цг Ц1 1 г г/и Ф и г. 42 Точная и две приближенные волновые функции для модели дейтрона с центральным взаимодействием. ную нормировку для функции и можно найти лишь численным методом), Обе приближенные функции при малых г принимают слишком большие значения, что, однако, не играет особой роли, так как благодаря множителю гь в элементе объема практически не сказывается ни на нормировке, ни на величине интеграла (?5.13). Кроме того, это отклонение компенсируется тем, что при больших г обе функции принимают заниженные значения. В асимптотнческом поведении всех трех кривых не наблюдается сколько- 2~0 П.
Задачи бее учета саина. Г. Сферичесни симметричные нотенциами нибудь существенного различия: иач ж иан 0,308 — ' е-х иач» — 0,346— где х=г/2а. Задача 76. Импульсное представление для волновых функций в поле центральных сил В обычном пространстве волновая функция разбивается на радиальную и угловую части, причем последняя представляет собой сферическую гармонику. Показать, что в импульсном пространстве волновая функция допускает точно такую же факторизацию.
Решение. Будем предполагать, что в формулах, осуществляющих связь между координатным н импульсным представлениями, и (г) = - — сГ- ~ есо'~ (й) с(ой (76.1) Г (й) = —, Ге м'и (г) с(зх (76.2) (2я) 0,1 функция и имеет вид произведения: и(г) = — „)(с (Г) 1'ь „(О, ср). (76.3) Чтобы найти фурье-образ этой функции, разложим экспоненту, фигурирующую в формуле (76.2), по сферическим гармоникам, которые, очевидно, будут функциями угла у, образованного вектором г и вектором й (см. задачу 81). Это разложение имеет вид » е-'"'= ') $' 4п(2Л+ 1) Е "Г»„ур,, о(сову).
(76,4) х=о С помощью теоремы сложения сферических гармоник функцию Ух о(сазу) можно выразить через сферические углы 6, у вектора г и сферические углы О, 0З вектора Ф 1'цо(сову)= ф 2Л.( 1 е~~» )х,и('А аз))'х,и(0, <р). (76.5) Подставляя теперь формулу (76.5) в правую часть формулы (76.4), а затем полученный результат и выражение (76.3) в интеграл (76.2), получаем (й) Он ~ »ф~Х~~» . х ц(lсс) Хс о ми х т'с, „(6, р) У,, „(В, сР) (а„. 7а.
Омпвльснае представление длл валновмл функций 211 где 03 й (й) = )/ — „' ')1 (й )Х ()с(г. (76. 7) о Мы видим, что радиальные части волновых функций д,(у) и 1-')(1(г) связаны между собой преобразованием Ханкеля. Преобразование, обратное преобразованию (76.7), записывается в виде Ш (.) ~/ ~ 1~ (ьг)а (ь),(ь о Если в координатном пространстве волновая функция и нормирована так, что допускается ее обычная вероятностная интерпретация, т. е.
О ~) Хв(г) )вв(г=1, (76.9) о то подстановка выражения (76.8) в формулу (76.9) даст 0 и 2 ~г(г~ й~(,(йг)д,(а)1',(йг)п,"(й')с(й'=1, о о о (76.8) Выполняя здесь сначала интегрирование по г и учитывая, что ) 1, (йг) 1', (й'г) ог = — б (А — А'), (76. 10) а получаем (76. 1! ) Интегрирование по направлениям вектора г можно выполнить с помошью формулы ~)'х и (б, 1р) )'1,„(б, 1р) в((), = бб,бтп. В результате от двойной суммы у нас останется только один член с индексами 1 и пг и мы получаем Ю Ц (гс) = )/ — „1 ' ') 1, (пг) 71 (г) .
Уп „(В, Ф) с(г. о Таким образом, волновая функция 1(А) в пространстве импульсов может быть представлена в виде произведения 1(Ю= у й,(й) )'ьм(В, Ф), 2! а П. Задачи беа учета спина. Г. Сферичеаси симметричньи патенаиапа Задача 77. Уравнение Шредингера в импульсном представлении в поле центральных сил В задаче !4 было получено интегральное уравнение, которому в обшем случае должны удовлетворять волновые функции импульсного представления. Показать, что в поле центральных сил решения этого уравнения можно представить в виде произведения 1 (й) =- — , 'И, (й) 1', . (В, бв).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
