Fluegge-1 (1185100), страница 36
Текст из файла (страница 36)
фицнентов ссс при х (( 1 и получить разложение коэффициентов а„ и сб, по степенЯм х, считаЯ, что коэффициент ае мал н им можно пренебречь. 22б Л. Задачи бее ичета спина, Г. Гферичссхи симметричные аатеняиаеы Решение. Мы начнем с формулы (82.12б) предыдущей задачи: 1 е1е (х) — х1! (х) (83. 1) (.е1е)о (х) — ха !~! (х) Воспользуемся определениями 11,'о (х) = 1! (х) + !а, (х), )!!ее! (х) =1, (х) — еп, (х) (83.2а) и заменим сферические функции Ханкеля функциями 1, и и„ для которых степенные разложения имеют вид ' =Ах+" 1— х' 2 (21+ 3) + 8 (21+ 3) (21+ 5) ' (83.2б) [ + 2 (21 — 1) + З (21 — 1) (21 — 3) ' ' ' ~ ' где (83.2в) Если х(( 1, то достаточно учесть только первыц член каждого ряда. В этом случае имеем 1! (< ~ п! 1 и Йен ж !пе, следовательно ~4! — х1! = (1 1 — 1 — 1) Аех"', К ((.1)ееп' — хйе!еп) ж — 1 (1,! -(- 1) В,х ', поэтому из формулы (83.1) с учетом соотношений (83.2в) вытекает 2е1! В этой формуле сохранен лишь основной член, а все более вы- сокие степени х отброшены.
Как мы знаем, для амплитуды рассеяния имеет место разло- жение ~ (6) = —., ~~ (21+ 1) иеРе (сов()). (83.4) е=о При х(с1 этот ряд очень хорошо сходится, так как в силу формулы (83.3) (21+3) аеч, ! 1еч,— (1+3) се+! (21+ !)а! (21+ !)' Це+, + (! + 1) Де — (1+ 1! Если характер сходимости ряда (83.4) позволяет пренебречь членом с 1 = 2, то, согласно равенству (83.3), это эквивалентно тому, что в амплитуде рассеяния мы пренебрегаем членами с х' и более высокими степенями х. В этом случае с помощью рядов (83.2б) удается получить разложение коэффициентов, сс, н а, с точностью до х' включительно. Однако тот же самый результат можно получить значительно проще, рассмотрев непосредственно функции 84. Рассеяние на сферичесхи симмегаричном барьере йо' (х) = — (ес", Ь',о (х) =- — (1+ — ) егх (83.5а) х~ и л,'"(к) =л)и" (х) для действительных х.
(83.5б) Если вместо равенства (83.1) воспользоваться эквивалентным ему равенством (82.14) предыдущей задачи, 1 + ьсье ( ) — 1и (х) (83.6) 1чйе ' (х) — хйгп (х) то для интересующих нас коэффициентов получатся следующие точные выражения: 1+с,,-оы +' 'о (83.7а) 1- 1х/4-о 1+ ом!+1х — хо/(Ь,+1) 1 — их — хо! (Ь, + 1) ' Разлагая эти выражения в ряд и ограничиваясь требуемой степенью точности, находим 2. Е,— 2 сс = — — )х' ° ' 1 3 4~+1 (83.8б) Задача 84.
Рассеяние на сфернчески симметричном прямоугольном потенциальном барьере Дан потенциал В=1', ) 0 при г < )т и )г=О при г > )4. Для случая 1=0 найти зависимость фазы рассеяния 6, и парциального сечения о, от энергии падающих частиц. Решение. Вводя обозначения (84.!) можно записать радиальную волновую функцию )(,(г) при 1=0 следующим образом: В разложении коэффициента а, член, пропорциональный х', отсутствует.
В том случае, когда член с 1= 1 начинает только- только сказываться, мы должны для получения достаточной сте. пени точности удерживать в разложении (83.8а) три или даже четыре члена, в связи с этим часто оказывается проще вместо формулы (83.8а) пользоваться точным соотношением (83,7а). 228 П. Задачи бее учета спина.
Г. Сферичесни симиетричньее потенциалы ео д (84.8) можно получить двумя способами, беря для волновой функции выражения, соответственно справедливые либо в области г < (с, либо в области г > Й. Таким образом, имеем ~, = М сто(М+бе) =-кР сй клч, Е ( У„(84.4а) 1., = астр(йй+ 6„) = к'Я стн к'й, Е > Уо.
(84,46) Только в случае Е > У„решение во внутренней области оказывается периодическим н выражение для амплитуды А' представляет интерес: е (84.5) Бепо х Р+ — саоо х ес но Прежде всего обсудим полученные формулы для предельно низких энергий.
Когда й- О, величину к следует заменить величиной К,. Кроме того, чтобы величина Ео была конечной, аргумент котангенса в правой части равенства (84.4а) должен стремиться к нулю как й. Таким образом, в этом предельном случае равенство (84.4а) принимает вид УГч+ о и, следовательно, 6 и)( ( 'ьнон () (84.6) Если высота потенциального барьера У, очень велика (т. е. Ко в аа, жесткая сфера), то при всех энергиях мы можем пре- если энергия Е меньше порогового значения Ут то )' А зп кг, г < Р, ) з1п(Ь+6,), г>Я, если же энергия Е выше порогового значения Ут то ( А'зшк'г, г( Р, (84.
26) в последнем случае величина к оказывается чисто мнимой: к=си'. У волновой функции вне сферы нормировка во всех случаях одинакова, поэтому амплитуды А и А' характеризуют степень возбуждения области, заключенной внутри сферы. Заме- тим, что приведенные выше выражения уже написаны с учетом граничного условия. Непрерывность функций у, и т,' в точке г = сс предполагает непрерывность логарифмической производной, значение которой при г= Л, т.
е. 229 64. Рассеяние ни сферически симмен)ричном барьере небРечь величиной й' по сРавнению с Квв, поэтомУ соотношение и=К, и равенство (84.6) будут иметь место для всех энергий. Это означает, что величина фазы б, растет линейно с ростом параметра М, как показано на фиг. 43 (прямая линия 1). Кривая 2 на этой же фигуре рассчитана по формулам (84.4а) и (84,4б) для численного значения параметра К,)4= 4. Мы видим, что даже на начальном участке, т.
е. вблизи йЯ=О, наклон фазовой кривой для потенциального барьера конечной высоты "йу ао -с5 1 Х 6 4 Лоха 6 1 6 д 1О М Ф и г. 43, Зависимость фазы ба от йк, ПВЧМОЯ ЛИИН» 1 СаатнстСтВУЕт СЛУЧаЮ жсетиаи СФЕРЫ 1Кча=ю); «РиеаЯ 2 ПаетРОЕна ДНЯ случая Кап= 4. Пеякжиркоя линия настроена на основании первого варнавского при. блкжевия. Ревонансы )максимумы амплитуды) отмечены кружкамн, минимумы аминя. туды — крести«амн. заметно отличается от наклона фазовой кривой в случае рассеяния на жесткой сфере. Это является характерной особенностью квантовой механики, согласно которой частицы могут проникать внутрь потенциальной сферы даже тогда, когда их энергия не превышает порогового значения, причем глубина проникновения зависит от высоты потенциального барьера.
В классической механике, где такое проникновение попросту невозможно, высота потенциального барьера не может сказаться на рассеянии частиц, энергия которых меньше пороговой. Если энергия Е (или параметр М), увеличиваясь, начинает превышать высоту потенциального барьера, то фазовая кривая 2 сначала достигает минимума, а затем начинает приближаться к нулю, имея при этом отчетливо выраженный ступенчатый характер.
В предельном случае очень больших энергий (М- оо), разумеется, снова Ь, = О, так как при Е ) ))го потенциальный барьер не является для частиц существенным препятствием. Причину ступенчатого характера фазовой кривой можно понять, вычислив по формуле (84.5) амплитуду А' волновой функции во 230 П. Задачи без учета саина. Г. Сферичеаси симметричные аотенаиальг внутренней области. Для случая Кеес=4 результаты этих расчетов показаны на фиг. 44, а. Мы видим, что имеются такие значения н)с, т. е.
такие длины волн стационарного пучка частиц, на которых происходит возбуждение колебаний внутренней части потенциальной сферы и возникают максимумы амплитуды А'. Следовательно, существуют такие полосы частот, при йб ~ 4о" Ге и ~йг йг гл 40 б -у Ф и г. 44. а — амплитуда А' волновой функции внутри области, занятой барьером (КеГт=4), в знвисимости от энергии. Кривая имеет резонансный характер. б †логарифмическ производная волновой функции ке. Сянгуяярноств соответствуют ревонавсным вначенням энергии. которых колебания внутренней области попадают в резонанс с колебаниями, воздействующими на нее извне. Между каждой парой резонансов имеются минимумы амплитуды А', где А'=-=1; это происходит всякий раз, когда сози'0=0 или к'Я=(п+'/,) и. Каждому такому минимуму амплитуды соответствует нуль логарифмической производной Е, (она показана на фиг.
44, б), поэтому при г= )с волновая функция имеет горизонтальную касательную и одну и ту же амплитуду внутри и вне рассеивающей сферы. Между этими значениями энергии вблизи точек и'гс=лп, т. е. вблизи сингучярностей величины Ь„располагаются резонансные энергии. В самих же этих точках. волновая функция при г=Л обращается в нуль, но ее касательная при переходе через точку г=-Я не меняет своего наклона, благодаря чему амплитуда во внутренней области с ее более высокими зиа- бб. Уогселниа ма сфелически симметричном барьере от параметра мЯ. Результаты этих расчетов представлены на фиг, 45. В ниэкоэнергетическом пределе, когда угЯ вЂ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
