Fluegge-1 (1185100), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Рассеяние на се>еричесни симметричной прямоусольной ялм 245 В качестве верхнего предела интегрирования здесь взята бесконечность, но функция Ч>(г), конечно, равна нулю правее точки г= йо. Задача 89. Низкоэнергетическое рассеяние на сферически симметричной прямоугольной яме Исследовать низкоэнергетическое разложение й с(п б, = — — + — г,й' 1 1 (89.1) в случае сферически симметричной прямоугольной потенциальной ямы радиуса гс и глубины 1'о —— й'Ко/2гп (фиг. 52): а) получить формулу (89.1) я непосредственно из граничных условий при г =-)т; б) использовать общую формулу для г„полученную в преды- ,' Л' дущей задаче, применительно к потенциалу рассматриваемого частного вила.
Ф и т. 52. Потенциальная яма с обозначениями, используеммми в тексте. Общий множитель Зтлм ие уиозои. Решение. Для заданного потенциала имеем, если г с. )с, ~й = Ай згп Кг уо =- Ао з1п Кот (89. 2) и, если г) Я, )(н = з1 п (нг + б,), >(, = С (г — а). (89.3) Логарифмическая производная л,, волновой функции состояния с нулевой энергией в точке г =-)с будет равна а. Запишем логарифмическую производную функции в точке г=)с: Ея=КЯ с1пКИ =-йй с1п(М+6,). (89.5) Так как с1и Ьо — 1п ЯР с(8 (й)с+ 6.) =1 + с ' й 1 л..., то, решая это уравнение относительно с(пб„получаем 1-я+ЛР 1к И с1п 6,= (89.6) Разложение в ряд по степеням я проще всего сделать в два этапа.
Сначала, воспользовавшись тем, что яй((1, разложим 90. Рассеяние и связанные соссяояния 247 Теперь нам осталось с помощью равенства (89.4) записать окончательное выражение для длины рассеяния. Оно имеет вид а=)г(1 — — в — "). (89. 14) Формулы (89.13) и (89.14) совместно с равенством (89.1) дают полное решение нашей задачи, б. Общий метод предыдущей задачи не дает никакого иного пути определения длины рассеяния, кроме пути, основанного на использовании равенства (89.4), что приводит непосредственно к формуле (89.14). Однако для вычисления эффективного радиуса уже нет необходимости вводить )(з или Т.я, если мы с самого начала пользуемся общим выражением (88.10), которое в обозначениях (89.11) принимает вид ((! и)в !, з (), )з) (89.15) где я ) Хз (с) ас о з Хз (й) Постоянная 9(' получается элементарным интегрированием, если учесть, что функция уз(г) в нашем случае определяется равенством (89.2).
Мы имеем Ю= ., (Х,— зшХ,созХ,)= — (1 — — +с1д Х,), ~в и так как (д Х, = Х, (1 — а), то выражение для УС можно преобразовать к виду М= — )4( 1+ 2 ( Х (! — )Ч' Подставляя выражение (89.16) в (89.15), легко получаем для эффективного радиуса формулу (89.13). Исследовать поведение функции стд б, в окрестности точки и= 0 на комплексной плоскости А. Рассмотреть вопрос о существовании связанного состояния (й' < О) в той области значений й, где еще можно пользоваться разложением для стп 8,. Решение. Если для малых значений й существует разложение вида ! ! /г с!и б, = — — + — г (с'+ 2 в (90,1) Задача 90. Низкоэнергетическое рассеяние и связанные состояния 248 !Д Задачи Веч учета спина.
Г. Сферически симметричные потенциалы то сто 6, будет аналитической функцией комплексной переменной й с полюсом в точке н=О. Связанным состояниям отвечают значения переменной и, лежащие на положительной мнимой полуоси. Положим й (х, (90,2) где х — действительная и положительная величина. Подставляя выражение для 1е в формулу (90.1), получаем сгиб, — с( — + —.хг, ), (90.3) 1 1 т. е. стц6, на мнимой оси становится чисто мнимой величиной. Мы знаем, что фаза рассеяния б„играет важную физическую роль по той причине, что асимптотика радиальной волновой функции в-состояния имеет вид Хе С з!п (Аг+ бе) Основываясь на аналитичности функции у„мы можем для отрицательных энергий с учетом соотношения (90.3) написать (емче-ие е- рм еи ) С о ос' Функция с таким поведением будет волновой функцией связанного состояния только в том случае, если при х > 0 будет выполняться равенство е-ме = 0 (90.4) так как только при таком условии функция 11е будет иормируема.
Условие (90.4) можно записать по-иному: сов 6 — (з1п 6 = О, или стц 6е =1 (90.5) Подставляя равенство (90.5) в формулу (90,3), получаем (90.6) это соотношение связывает характеристическую величину и с параметрами рассеяния а и гт Этой связью можно воспользоваться двояким образом. 1. Определение энергии связи из данных по рассеянию. Предположим, что в соотношении (90.6) второе слагаемое в правой части играет роль малой поправки. В этом случае соотношение (90.6), рассматриваемое в качестве уравнения относительно х, имеет решение (90.7) ха=1+ —— 1 91.
Дейтронный потенциал с жесткой серйцееиной и йее нее 249 поэтому энергия связанного состояния будет равна Е= хо= (1+ 0). (90.8) 2т 2та'(, а )' Так как здесь фигурирует только х*, то необходимо подчеркнуть, что, согласно равенству (90.7), связанное состояние в рамках нашего приближения может существовать только при положи- тельных длинах рассеяния. 2. Определение сечения рассеяния по энергии связи. Данная задача не допускает столь полного решения, так как при этом требуется найти значение двух параметров, а в нашем распоря- жении имеется лишь один (энергия связи). Запишем выражение для сечения рассеяния о,= —,з!и* б,= —, 4я . 4я 1 (90. 9) 1+С!я'Оо и в том же приближении, в котором получено равенство (90.7), разрешим уравнение (90.6) относительно а; 1 а= — + — г.
о Далее из формулы (90.1) следует 1 1 Х' 1 г, хо стн 6 =! + нг 1 —.. — — ж — (1 — хг ) — хг йа 2 о) йоао а йо о о и поэтому хо т 1+сто до = (1+ —,, ) (1 — хг,). Таким образом, мы приходим к знаменитой формуле Бете — Пай. ерлса из ядерной физики: (90.10) Она справедлива при малых энергиях и условии хг, ~ 1, Литература ВеНи Н. А., Регег!е Д„ргос. Коу. нос., А148, 146 (!935). Задача 91. Дейтронный потенциал с жесткой сердцевиной и без нее Используя условие существования связанного состояния стдб,=1, так подобрать глубину сферически симметричной прямоугольной потенциальной ямы радиуса Я (фиг. 53), чтобы у дейтрона было одно связанное состояние с энергией Ер —— = — 2,23МэВ. Радиус ямы взять равным Я = 1,2 ферми (1 ферми=- =1О "см).
Чему будет равна глубина потенциальной ямы, если вблизи центра имеется жесткая сердцевина радиуса а=0,2фермиг 250 П. Задами бев учета спина. Г. Сферичесни симметричные попюнциаль~ рещение. При положительных энергиях волновая функция, а-состояния, удовлетворяющая граничному условию )(, (а) = О, имеет вид )(, = С з)п К (г — а), а ( г ( )с, )(,=з)п (йг+6,), )с ( г; требование непрерывности логарифмической производной в точке г=)с дает Х стп 6 Х = х сгд (х+ бо), (91.!) У(г) г (91.2) Для связанного состояния с отрицательной энергией следует положить Й=(х, хььЦ, ~=-кЯ, (91.3) тогда энергия будет равна й' Еп= — — ь 2лтьгсз (91.4) где т* — приведенная масса пары нуклонов (т*=-т(2, см, задачу 150).
Вместо энергии Ео можно ввести характеристическую длину йг — — = 4,312 ферми, (91. 5а) ')' 2лье ! Еп1 и отсюда $ = — = 0,2783. (91.56) В задаче 90 мы показали, что для существования связанного состояния должно выполняться условие е-'б =О, или стп6,=1, то тогда, как очевидно, должно выполняться и условие Е-' ~Л+би = О, ИЛИ Стд (Х+ бь) =е (, поэтому равенство (91.1) дает Хстд~Х= — й. (91.6) Так как в правой части этого равенства стоит знак минус, то аргумент котапгенса должен иметь значение в интервале между Ф и г.
53. Гьейтроиный тюдельный иотеицивл с жесткой сердцевиной и бев нее. Вырезая жесткую сердцевину, мм должны сделать яму глубже, если намеренм сохранить знертию связи неизменной. где х=(с)с, Х = — К)т = )г Х,'+ ', Х,=-К,Р, йт — а й 9!. Дейтронный нотенциал с жесткой сердцевиной и без нес 25! рХ = — + е, с1д рХ = — (о в, 2 (91.7) Нам нужно определить глубину потенциальной ямы, т. е.
значение параметра Х,' в предположении, что величина 9 задана равенством (91.5б). С этой пелью мы сначала вычислим величину е: подставим Х из (9!.7) в равенство (91.6) и произведем там разложение по степеням и и 9. В результате получим е= — 9(! — —,д+ ...) 2р / 4р (91.8) Подставив теперь полученное выражение в соотношение Хз Хз л еьз ~ л ( ! + 2а)1з+ьсз будем иметь 21 г 4т.
4 '+ +(, ')ь+'' (91 9) Обсудим полученный результат. Если жесткая сердцевина отсутствует, то (1= 1 и Х, должно быть чуть больше п72. Будь Х,=-п72, энергия связи была бы равна нулю (9=0), но так как связь несколько сильнее (9 > О), то и яма несколько глубже. При наличии жесткой сердцевины это предельное значение параметра Х, сдвигается и становится равным Х, =-и!2р > и!2: в этом случае, чтобы сохранить энергию связи неизменной, потенциальная яма должна быть глубже, чем в отсутствие жесткой сердцевины. Для значения 9=0,278 мы в соответствии с формулой (9!.9) получаем з !ге !!а 2 467 О 557 Хе= ' ° — = — '.
+ — '+0,046+..., ) Ео! !а ра где !'„— глубина потенциальной ямы. Если жесткой сердцевины нет (р= !), то отсюда Х;=3,0?О и )ге=88,4 МэВ. При наличии жесткой сердцевины радиуса а=0,2 ферми (р=--0,8333) мы имеем Х,*=4,267 и !',=-122,9МэВ. На фиг. 53 оба потенциала изображены в соответствии с этими числовыми результатами. и Это утверждение справедливо, если в потенциальной яме, как в случае дейтрона, имеется только одно связанное состояние. сын ямы с двумя связанными состояниями уравнение (9!.6) имело бы два корня и низшему знергетическому уровню соответствовал бы интервал н < рХ < 3/2 и, п72 и пт1.
Если же принять во внимание, что величина 9 мала, то можно заключить, что оно довольно близко к п72. Таким образом, можно написать 252 11. Задачи без учета спина. Г. Сферически симметричньм потенциалы Задача 92. Ннзкознергетическое рассеяние при наличии жесткой сердцевины и без нее Для двух рассмотренных в предыдущей задаче дейтронных потенциалов рассчитать длину рассеяния и низкоэнергетический предел сечения рассеяния нейтронов на протонах. Решение. Длина рассеяния и связана с предельным значением логарифмической производной при А — 0 в точке г=)7 соотношением (89.10), так что мы имеем )ч~з 1 г )зх (гс) (92. 1) = х() С другой стороны, согласно равенству (91.1), для рассматриваемых потенциалов должно быть 7., = Х, сто ()Х,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
