Fluegge-1 (1185100), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Радиальное инасегральное уроенеиие 259 альным волнам. Мы имеем (см. задачи 81 и 82) ,с с= — л ь 4 (2тьигг',"с сус,(ьс сь4.1Б) ' с=о Ю ес»'=- — ~~' ) 4п(21+1)!с(с(Ь))гс ь(6), (94.17) с=о кроме того, и(» — «ы — )л 4сс(21+1) 1',(г, «') )лс о(У), (94.18а) ' с=о где — 1, Ят) ссссс (йг'), г ( г', Г, (г, г') =, (94 18б) — йссс (иг)1,(аг'), г ) г', — 4 с )( (г)и„-,(г) —,Гс(г, г) 21, с )г~ „(0)с(ьх.
е + В последнем интеграле вместо функции и„,(г') мы можем взять ее разложение, аналогичное разложению (94.16). Это даст )(сн' (г) =1, (Аг) — ~ (7 (г') Г, (г, г') )(сси-сс (г') с(г'. (94.! 9) о Полученное рекуррентное соотношение уже очень похоже иа соотношение (94.14в). Чтобы убедиться в их идентичности, заменим сферическую функцию Ханкеля в выражении для Г, в соответствии с ее определением =!с + с'сс. В результате имеем Г, (г, г') = — „1, (Ь.) 1, (Ь') — 6 (г, г"), (94. 20) а у — угол между векторами г и г'.
Выделим теперь из рекуррентиого соотношения (94.!5) 1-ю парциальную волну. Для этого умножим обе части (94.!5) иа )гс,(б) и проинтегрируем по всем направлениям вектора г. Учитывая, что ф)гь,(б))гс ь(у) ьл = )гс ~ )гс,(О'), в результате получаем )(с"' (г) = !с (Ь')— 280 Л Задачи без учета глина. Г. Сферичесхи симметричные нотенииалы где через 6 обозначена функция Грина, определенная равенством (94.6).
Первый член выражения (94,20) приводит к интегралу, который пропорционален 1,(лг), и его можно объединить с первым членом в правой части (94.19), поэтому О )(',»' (г) = А), (йг) + ~ (7 (г') б (г, г') )('а м (г') й', (94.21) о причем постоянная А определяется равенством Ф А =- 1 — — ') (7 (г') /, (Ь'))(,'" " (г') й'. о (94.22) Если отвлечься от этой постоянной, которая ведет лишь к не- которому изменению нормировки, то последнее собтношение дей- ствительно идентично рекуррентной формуле (94.14в).
Замечание. Если сравнивать точное интегральное уравненре (94.7) для функции Хт(г) с точным интегральным уравнением м1г-У! и (г) =ега*- — ), (7 (г') и (г') аях', (94.15а) 4и,) (г — г' ) то для зтого достаточно в (94.2!) опустить верхние индексы и — 1, п и т, д. Полагая теперь х,(г) = Ахг(г), мы видим, что интегральное уравнение, аналогичное уравнению (94.21), преоб- разуется в уравнение (94.7), а формула (94.22) заменяется формулой А = 1 — А ~ (7 (г') й (Фг') Хг (г') Лг'. д (94.22а) о Эту формулу можно упростить, воспользовавшись соотношением (94.13): А =!+!А 12 Е,, или А=е зсовбь Разложение (94.16), если учесть асимптотическую формулу (94.121, теперь дает Ю 1 а .
/ (п () — х' гт (27~цг, «(Й,— кеь)ть,и1, !=о что находится в полном согласии с найденной ранее формулой (82.9). Задача 95. Вариационный принцип Швингера Исходя из выведенного в предыдущей задаче интегрального уравнения с симметричным ядром, установить вариационный принцип для определении фазы рассеяния.
йа. Вариацианнууа нринцип Швинуара Решение. Оставляя неоднородность в правой части, запишем интегральное уравнение (94.9) в виде (95.2» где Ю 1 и 1,=) г(гу(г) ~у(г) — ) К(г, г')у(г')((г'1 (95.3) о о Ю 1,= ) у(г)»(г) дг. о (95.4) Эти два интеграла равны между собой при условии, что-функция у(г) удовлетворяет уравнению (95.1). Из предыдущей задачи нам известно, что 1,= ~ (1(г)»~(йг) Х~(г)((г= — й1Кбс (95.5) о Возьмем теперь вместо истинного решения у(г) близкую к нему функцию у(г)+бр(г). При этом несколько изменятся и значения наших интегралов: 6), 2)у ьу() у() — )к(, ')у(') ' ') (у)6) о о 51у= $ бу(г)1(г)()г. а (95.7) Следует заметить, что равенство (95.6) написано в предположении, что ядро интегрального уравнения симметрично. Дело в том, что при варьировании у(г') первоначально возникает вариация бу(г'), и, чтобы вернуться к вариации бу(г), мы должны в правой части равенства (95.6) произвести замену переменных интегрирования, в результате которой ядро К(г, г') перейдет в ядро К(г', г).
Так как выше у(г) означает истинное решение интегрального уравнения (95.1), то в правой части равенства (95.6) выражение, стояшее в фигурных скобках, можно заменить функцией 1" (г), поэтому мы получаем 61, = 261,. (95.8) э м )оао у (г) — ~ К(г, г') у (г')((г' = 1(г).
(95.1) о Умножим обе части этого уравнения на у(г) и проинтегрируем по г. Это даст 282 П. Задача без учета спика. Г. СО/сричсски симметричные потенциалы Последнее равенство с помощью соотношения (95.2) можно записать по-иному: бу/ б)з — — 2 — =0 или 6 ( — /) =О. (95.9) Это и есть искомый вариационный принцип, Согласно этому принципу, требуется, чтобы величина ос=1,11зэ, или, подробнее, величина ы /(г У (г) )(г (г) ~ ",(с (г) — ) уг (г') У (г') О (г, г') с(г'~ Яс — ' о (95 10) (/*,(.и,(/ / о была экстремальна и, следовательно, чтобы бо,=-О. (95,11) Смысл величины Яс нетрудно установить, если принять во внимание равенство (95.5) и учесть, что 1,=1,. Мы имеем ! Вс — — — — сто бр й (95.
12) Равенство (98,12) показывает, что !'т й Зч (й) =— 1 а о ц,' поэтому сформулированный вариационный принцип с успехом можно исполь- зовать для определения длины рассеяния. Литература Бсйт(пуег 7., Рьуз. меч., 72, 742А (1947). и!ом 7. А(., Лосйзоп У. Ю., Р)/уз. Реч., 78, 18 (1949). Таким образом, экстремальное значение величины Зс непосредственно связано с правильным значением фазы рассеяния бр Следует отметить, что сформулированный вариационный принцип не зависит от нормировки волновой функции. В этом легко убедиться, заменив в (95.10) волновую функцию ус функцией С)(с. В результате этой замены числитель и знаменатель дроби (95,!0) умножаются на С', поэтому сама величина Яг остается неизменной.
Замечание. В области очень малых энергий (й — + О), когда взаимодействие имеет характер притяжения, в рассеянии участвует только з-волнз (! =О). Как было показано в задаче 88, в этом случае мы можем ввести длину рассеяния 1 с/ч = — — !я бч. й Эб, Паеледаеательные приближения для фааи раааеяния 263 Задача 96. Последовательные приближения для фазы рассеяния Радиальное уравнение Шредингера для э-волны формально можно рассматривать как неоднородное дифференциальное уравнение, считая неоднородностью член, содержащий потенциальную энергию. „Решение" этого уравнения представляет собой интегральное уравнение для функции К„и его можно решать методом последовательных приближений. Используя указанную процедуру, найти интегральное выражение для второго приближения к функции 1п 6,.
Решение. Радиальное уравнение Шредингера при 1=0 запишем в виде К" +й'К=иК, (У=фР(). (96.1) Здесь и далее ма! опускаем индекс О у функций К„б, и т. д. Рассматривая в этом уравнении правую часть как неоднородность, мы можем выразить его решение через функцию Грина О(», «'), которая является решением уравнений дед е, де 6 д, +ней=6(» — ') = ~,,+й'6. Таким образом, имеем К(«) = А з1п й»+ В сов й»+ ) б («, »') У (»') К (»') е(«', (96.3) а Функцию Грина в (96.3) можно выбирать различными способами, для дальнейшего ее удобно взять в виде О, »')», так как при этом мы сможем удовлетворить граничному условию К(0) =О, просто положив В =О.
Выбирая далее в качестве условна нормировки, которая не является существенной для определения фаз, условие А=1, мы приходим к интегральному уравнению Вольтер ра К (») =- з(п й» вЂ” — „! з! и й (»' — «) У (е ') К (»') е(»'. (96.5) ! г а Расписав з1пй(»' — »), мы можем представить наше решение К(») в виде К(«) =С(») э(пй»+8(») созя», (96.6а) 2З4 П, Задачи дае учета саина.
Г. С4ерически симметричные латенциаеы где е С(г) = 1+ — ~ соз йг' У (г') Х (г') йг', о (95.66) 166=~( С(еч) ' (96.7) Выражения (96.66) совместно с соотношением (96.7) дают строгое решение задачи. Интересующие нас последовательные (бор новские) приближения строятся в предположении, что потенциал У (г) является величиной первого порядка малости. Для удобства выкладок будем временно писать ХУ вместо У и разложим функцию Х в ряд по степеням „параметра порядка" Х; Х=Хч+)чХе+Х Хе+ ° ° ° (96.6) где индексы, очевидно, означают порядковые номера приближений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
