Fluegge-1 (1185100), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Приа=о получается простая потенциальная ямз со скзчком потенциале на поверхности ядра. -ов -СО Ф и г. 31. Потенциал Вуда— Сзксоиа для случая аССт =0,2 но)ерически симмегричнзя прямоугольнвя ямв, соответствующая случаю аСС7=0 Решение, После введения обозна- чений 2т — а* = — бз и (г) =- †, Х (г), ! у равнение Ш реди игера дзи 2 ди 2т —.
+ — — + — (Š— У) и=О г дг 2снро — а' =у дз (64.2) Следует отметить, что в яме конечной глубины по.пожение всех уровней несколько смещено вниз, поэтому нужно ожидать, что в рассматриваемом примере возможно появление связанных состояний, по крайней мере, вплоть до значений ! = б, квк это видно из таблицы, приведенной в предыдущей задаче, где значения параметра х даны для ббльшнх значений П Зааечание. Зтз задача тесно связана с более простой одномерной проблемой, рассмотренной нами в задаче 25. Наши решения при ! =О точно соответствуют внтисимметричным решениям для одномерного случая. 172 П.
Задачи бее учета саина. Г. Сферичесни симметричные аатенциалы путем замены независимой переменной 1 У= 1+е (64.3) приводится к виду у(1 — у)д-!+(1 — 29)„— + „, Х=О. "ех дХ вЂ” Р+ т'у К этому уравнению необходимо присоединить граничные условия Х=О при у=О (г=-ао), Я Х=О при уж 1 — е ' ж 1 Полагая далее (64. 4) (г = 0). К(у) = у'(1 — у) и1(у) (64.6) получаем у (1 — у) (" -(- ~(2т -1- 1) — у (2т -1- 2р + 2) ~ )' + + ~т (т — 1) — + р (р — 1) — — 2рт+ 1 — у у 1 — у +ч — р — + ' ~).=0. 1 — 2у 1 — 2у — (!е+ т' И у 1 — у у(! — у) (64.6) Если параметры ч и р выбраны таким образом, что р*= ()' — у*, (64.7) то множитель при Г в уравнении (64.6) пе будет зависеть от д и оно перейдет в гипергеометрическое уравнение у (1 — у) ~ч+ ~(2т + 1) — у (2ъ + 2р + 2)Д )' — (ч + р) (т + р + 1) ~ = О.
(64.8) Соответствующее (ненормированное) решение имеет вид Х =- у' (1 — у)и,Р, (р + т, р + т -(- 1, 2т + 1; у). (64.9) Хж у', у ехр ( — — 1, Х езя" ехр ( — !г — г). г — Р! 1 l 2т!Е! — — 1, Таким образом, наше решение обладает правильным асимптотическим поведением. Другому граничному условию при (или вблизи) у= 1 удовлетворить не так просто. Чтобы выяснить поведение решения Другое независимое решение можно получить, заменяя т на — ч, однако оно не удовлетворяет первому нз граничных условий (64.4). В случае больших значений г(у — 0) равенство (64.9) дает ЕЕ. Потенциал Вуда — Сикиона 173 Отсюда для собственных значений получается уравнение Х '! ехр [( (ф — 2!р — агс1а — )1 соз ~ — +-ф — 2ф — агс1а' — ) = О, р)= или л)! — -(- ф — 2ф — агс1п — = (2п — 1) — ' Х Д !1 2 п=О, ~1, ~2, ...
(64. 15) Это уравнение действительно устанавливает связь между () и л, а следовательно, и между Е и е', при данных значениях параметров )т и а. (64.9) вблизи точки у= 1. мы воспользуемся соотношением Г(2ч+1) Г( — 2и) ,Р,(р+ч, р+ч+1, 2ч+1! У) =,( +,, „) х х,Р,(ч+(е, ч+)!+1, 2р+1; 1 — у)+ + — (1 — у) г" (ч — )л, т — р + 1, — 2р + 1; 1 — у), Г(2н+1) Г(2р) Г( +а+ Чг(т+р) е 1 в силу которого Г(2т+1) Г( — 2а) 1 Г(2н+1) Г(2и) Г (и--И+1) Г(е — р) ( У) Г(т+р-1-1) Г(т+И) ( (64.!0) Чтобы проанализировать это выражение, прежде всего заметим, что 1 ) (), и поэтому величина р, согласно равенству (64.7), является чисто мнимой: $/ уе ияе (64.!!) Таким образом, можно написать Г (2Р -1- 1) Г ( — 2Й) Г(у+1 — Й) Г (!1 — Й) Г (2Й) Г (Р+ 1 — Й) Г(Д вЂ” Й) Х ((! — У)' + г ( — 2Й) г (()+1+ Й) г (!)+!!) (1 У)-'") .
(64.!2) Вблизи точки г=О экспонента в правой части равенства (64.3) очень мала, поэтому здесь мы можем приближенно положить 1 у ел1 (64. 13) Пусть далее по определению, ф=агдГ(()+й), ф=агдГ(211). (64. 14) Если теперь опустить множитель, стоящий перед квадратными скобками в выражении (64.12), что мы вполне можем сделать, так как наша функция не нормирована, и затем подставить туда вместо 1 — у выражение (64.13), то граничное условие нам даст . хи 7 ~„ '! .
йл е ' +ехр (2еф — 4!ф — 2! агс(п р)е ' =О. !74 П. Задачи без учета спина. Г. Сгдеричесли симметричные потенциалы Формула (64.15) все еще мало пригодна для практического использования. Однако с помощью разложения" Г (х+ !у) = $егч, Р ччу! ! у т! = у — С+ ~~„( — — — агс!и ~ и р х+и — !г )' чэ' где С=0,6772... — постоянная Эйлера, мы можем получить для аргументов ~р и чр 1"-функций удобные для практических целей явные выражения: чр= — — +2Л~ — С+та ( — — — агс!и — ) 2 [ Л (н 2Л и)]' ч=1 ср= — агс!ц — +Л ~ — С+ а, !ч — — — агс!и '— ) Подставляя эти выражения в уравнение (64.15), получаем — — ( агс!д — 2 агс1ц — у!+ агс!и — =оп.
(64,16) Л Л + Ру' Для дальнейшего анализа удобно ввести новые параметры: А= — = ~„— ((г,— !Е !)~ ', и= — = [ — ) Е!'] (64.17) й ! у — ~ ~2т ~'Ув Эти параметры не зависят от толщины поверхностного слоя а и поэтому сохраняют смысл в предельном случае простой потенциальной ямы, когда а — О. Используя введенные параметры, уравнение (64.!6) можно переписать в следующем виде: Р ч= — ~ч[чп — с (.
ач' —" — 2„нч " .~]. (64.~8) При а — 0 сумма, стоящая в квадратных скобках, обращается в нуль, и мы возвращаемся к уравнению для уровней энергии в простой потенциальной яме: й!! и!7 — = — (ц й)7. " Это разложение можно легко вывести из станаартиых формул, которые собраны в обычных математических справочниках, например у Янке — Эмле— Леша нлн Магнуса — Обергеттингера. 17В Я. Иэотропный оечиллятор Производя в (64.!8) разложение в ряд по степеням малого параметра а=— Х* (64.
19) окончательно находим — —" =1п ~х — 2а'х ~~(2) у — аь(3) (х'+у') + Д -)- а'~ (4) (у' — х'у) — аэг, (5) (у' — 2х'у' — Зх') + +а4Г (6) (у' — — х'уз +х'у ) — а'~ (7)(у' — 5х'у'+Зх'у'+9хз)... ~ ~, где в целях сокращения мы положили (ей=х и хй=у. Задача 65. Изотропный осциллятор Путем разделения переменных в сферических координатах решить уравнение Шредингера для осцилляторного потенциала е' (г) = — пио'г'. 1 2 (65.1) Решение.
Обычная процедура разделения переменных и (г, О. р) = —, Х (г) Уь. (О, р), 1 (65.2) (65.4) можно записать уравнение (65.3) в стандартном виде ~Хи+ ~77' — )'г' — 1(1,' 1) 1 7(, = О. (65.5) Анализ поведения решения при г=О и г оо, которое определяется соответственно центробежным и осцилляторным членами, наводит на мысль искать решение в виде ь )1, = г'+'е ' о (г) (65.6) и по аналогии с одномерным случаем ввести вместо г новую приводит к радиальному уравнению Ух~+ (2 е Реъ'г 1(1+!)1 Х О (65.3) Йг' ~ ~~ фз г" При 1=0 оно оказывается идентичным уравнению одномерного осциллятора (см.
задачу 30). Когда же 1ФО, центробежные силы отбрасывают частицу от центра, что ведет к существенно иным решениям. Вводя обозначения ЪпЕ, тв )г' Е ~з ' $ ' 22х фд 176 П. Задачи без учета спина. Г. Сферичесли симметричные потенциалы переменную с' = )сге. В результате получаем уравнение Куммера (65.7) ' —.+ Е'+-.)-'] —.-Г-('+-) — 1"=' общее решение которого имеет вид о=С,,Рз ( 2 (1+ 2 — р), 1+ —, Ь') + +Са,Р, ( — ( — 1+ — — (с), — 1+ —; Хг')г """ (65.8) Наличие второго слагаемого в этом выражении несовместимо при г= 0 с условием нормировки", поэтому С,— -О, Зто существенно отличается от задачи об одномерном осцилляторе, где нет никаких граничных условий в начале координат. Вырожденная гипергеометрическая функция при больших положительных значениях ее аргумента ведет себя,как г г (с) . .
. что с учетом равенств (65.6) и (65.8) приводит и экспоненциально возрастающему решению 1 з —, -(еч — +и) )О г" 'е ' е"*г ( +2)' п=2п,+С (65. 10) где (65,! 1) и При 1 О второе слагаемое также норынруемо, однако его присутствие приводит к расладимости интеграла, соответствующего среднему значению кинетической энергии (см. также задачу 62). Зтого возрастания можно избежать лишь тогда, когда а= — и, (п,=О, 1, 2, ...), т.
е. в том случае, когда гипергеометрический ряд вырождается в полипом степени п,. Таким образом, имеем —,(1+-2 — Р) = — и„ 1 / 3 (65.9а) так что с учетом выражений (65.4) уровни энергии будут равны Е=йсо(2п,+1+ — ), п,=О, 1, 2, .... (65.96) Число и, можно назвать радиальным квантовым числом. Система энергетических уровней начинается с нулевой энергии а/,Йо (это соответствует наличию трех степеней свободы в нашей задаче) и так же, как в случае одномерного осциллятора, все уровни располагаются эквидистантно: 66. Вырожденное соетолнин изотронного ссциллнтора Пу Собрав вместе результаты, содержащиеся в формулах (65.6), (65.8) и (65.9а), приведем окончательное выражение для собственных функций — — 'Г и(г, б, <р) = Сг'е а,г",( — и„1-1- —; Хгз) Уь (б, ~р), (65.12) где постоянную С следует определять с помощью условия нормировки.
За исключением основного состояния, для которого и = О, все энергетические уровни вырождены, так как, согласно формуле (65.11), четные и можно получить з(,и + 1 различными способами, а нечетные и можно получить 'уа(и+ 1) способами. Кроме того, следует учесть, что для каждого значения ! имеется 21+1 различных значений т, заключенных между — ! и +1, что приводит к дополнительному увеличению кратности вырождения. Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
