Fluegge-1 (1185100), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Решение. Перейдем в уравнении Шредингера и" + 1)га+,ь, ~и = О, (39.2) где )г* = 2т Е) гьз, к новой переменной у = с(т' ах. (39.3) Это даст Ф н г. 24. Потенциальная яма У 1 в случае моднфнцнрованного У( У)" +( 2 У) ц потенцнала Пешля — Телле. ' аа Х(Х вЂ” 1)' ра. ~ 4аз 4у После подстановки и = ух!во (у) (39 4) последнее уравнение приводится к гипергеометрическому уравнению у (1 — у) + [()ь+ 2 ) — ()ь+ 1) у| ц — 4 ) )ь + — ) =О.
(39.3) Вводя обозначения ц=-2'(Д+К вЂ” „'), Ь= —,' ~Л вЂ” (-'), 39. Модифоцироаанлоя лолмнциольнол яла Пелялл — Теллера 107 можно записать обшее решение уравнения (39.5) в виде" о(У)=А,Рл(а, Ь, 9 ! 1 — У)+В(1 — У) *у( з( зг'л(а+ 9, Ь+ й, -б', 1 — У), (39.7) так что при х=-0 или у=-! волновая функция будет стремиться к выражению и(0) А+В(1 — у)пз, (39.8) и,(х) =с[злах«Рт (а, Ь, -й., — й*ах), 1 (39. 10а) а при А=О и В=! — стандартное нечетное решение и,(х) =с[!дахйах,Рл(и+ —, Ь+ —, —; — й'ах).
(39.10б) 1 1 3 Свойства этих решений мы подробно обсудим ниже. Для ответа на вопросы задачи нам прежде всего необходимо выяснить асимптотическое поведение решений (39.10а) и (39.10б) при больших отрицательных значениях аргумента: — а[!Я аХ вЂ” — 2 'Его(«!. Хорошо известные формулы дают и, (х) - 2-дел" 1" !Г ( — ) 1 2'"е-'""1 "! + + ( — ) 2'ье-'ьо ! «! (39 11а) Г (а) Г ( — — Ь ) м Нас интересует решение в области О ~ [« [ < со или !~ у < ол. Гипергеометрическое уравнение у (1 — у! о" + [с — (о+у+1) у[о — оьо= 0 после перехода к новой независимой переменной г= 1 — у принимает виз г(1 — г) о"+ [с' — (о + Ь -'; 1) г1 о' — оЬо = О, где с'=о+Ь+1 — с. Для новой незавясимой переменной г решение (39.7) принимает стандартную форму. Нужной налз областью изменения г является полупрямая — ол < ге:.О.
В качестве фундаментальной системы решений выберем два действительных стандартных решения и, и и, соответственно, четное н нечетное по отношению к изменению знака переменной х: и, ( — х) = и, (х), и, ( — х) = — и, (х). (39.9) Прн В=О и А=1 получаем стандартное четное решение 108 П. Задачи без учена спина. А. Одномерные задачи и (х) ~2-<2"+1120'+1!а!к!Г( — )х с 3» О ~2) М 1 ) 22а+12-!за+1) а ! к! ~г(ь+ — ) гΠ— ) + " 22ь»'1е-!ее+11»!к! (39 11б) г ( а+ — ) г (! — ь) ,1*1 — г( —,') [ й 1 — Ы2 г( — 22!а)е " е-1 г( — — — )г( — — ) — 1и 2 Г (!п1а) е "(-'. А)Г( — '.'+ )' (39.12а) аг(»)[ » — 1и 2 Ф Г( — »а~а)е " г( — — )г(! — — — — ) -1 — 1и 2 Г((Ь!а)е»»»н!к! Г(:Х+! -) Г(! — 2+! 2„) (39.126) Вводя обозначения Ф -» — 1и 2 Г (12»а)е а (39.13а) Ф -» — 1и 2 можно записать последние выражения в более компактном виде и, С,соз(геях!-(»р,); и,— ~С,соз()е!х!+Ч»,) при х>О и х< О.
где знаки + и — относятся соответственно к случаям х) О и х < О. Если энергия положительна, то в силу равенства (39.6) а и Ь вЂ комплекс сопряженные величины, поэтому дв. Модифицированная потенциальная яма Петля — Теллера !09 Фигурирующие здесь амплитуды можно было бы вычислить с помощью соотношений (39.12а) и (39.12б), однако их конкретные значения для дальнейшего несущественны. Образуем теперь линейную комбинацию рассмотренных выше фундаментальных решений: и= Аи,+Ви„ так что для случаев х > О и' х < О соответственно будем иметь и — С (е чеерлл +е чее глл) + С (е ооеьлл + е оое-Йо) 2 е Ц о и =- С (е аое ьлл-1-е ~чье'лл) — — С (еьоое ~лл-( е ~воеьлл) е 2 о Нас интересует решение с асимптотикой Те'лл е""+ йе Рл ' при х < О, и= при х) О.
(39.15) быть Следовательно, в нашем случае должно А ь В ь Ъ С,ево +- С е во 2 о — С ао+ — Се 'в 2 о 2 ое 2-С,е' о —.л- Сое' о А ьа В ио — Се — — Се о 2 о 2 о =О, Зная амплитуды для козффициентов прохождения и отражения, получаем соответственно выражения ! Т !л = з1п' Ор,— <р,) (39.17) и ~ Р )ь = созо Ор, — ~р,). (39.18) Эти выражения удовлетворяют соотношению ~Т ~о+(Р(в 1 и зависят только от разности фазовых углов собственных функ- ций, но не зависят от их нормировки. Из второго и четвертого уравнений можно определить произведения АС, и ВС„а затем из первого и третьего — амплитуды Т и 1х; Т = — (е''~ — е' ~ ), Й = .й-(е"~ +в''~о).
(39.!6) по П. Задачи бее учеспа спина. А. Однамерные еадачи Чтобы вычислить коэффициенты (39.17) и (39.18), вернемся к соотношениям (39.13), из которых следует ~р,— ~р,=агйГ(!д+ — + — )+агдГ(!д+ 1 — — )— 2 2) 2 ) — агй Г 1 !а+ — ) — агн Г (!д-(- — — — ), (39,19) 2) 1 2 2)' где ь 2а ' Из общей формулы Г (2) Г (1 — 3) = вытекает агу Г (г) — агп Г (1 — ае) = — агйз)п пг., Полагая далее ! 'У+2+2=" (39.20) х !д+ — = ам 2 е имеем л, .
х 19+ — — — =1 — 3' н !9+1 — — =1 — з'. 2 ' 2 Теперь с помощью формулы (39.20) можно объединить соответ- ствующие пары аргументов, фигурирующие в выражении (39.19), что в итоге даст р,— <р,= — агпз!пес ( — +19)+агйз!пп( — +!у) = агс1н(1я ие- Гнид)+ агс1ц(с1ц — Гпну) . Последнее выражение после элементарных преобразований принимает вид ~р,— ~р,= агс1д ( —, l еЛ ид/а~ (39. 21) Если параметр Х, характеризующий глубину ямы, является целым числом, то знаменатель дроби обращается в нуль, так что <р,— ~р, = и/2, и в силу соотношений (39.17) и (39.18) имеем ~ Т)'=1, ~ й 'Г=О. В этом случае волна, соответствующая падающей частице, независимо от ее энергии проходит через область, занятую ямой, совершенно ие отражаясь (заметим, что при 1= 1 этот результат самоочевиден).
В предельном случае Е=О, (т. е. яйла = 0) в выражении (39.21) обращается в нуль числитель, поэтому для нецелых значений Х разность ер,— ер,= О, и мы имеем дело с полным отражением: (Т!'=О, ) )с ~'=1. ЗЭ. Мадифггцираванная аотенцаальная яма !гешля — Теллера !! ! Коэффициенты )Т)* и )гг!' при произвольных значениях Х можно записать в виде (Т!з= (39.22) где зн иеря а!ил!г ' На фиг. 25 показана зависимость коэффициента отражения от глубины потенциальной ямы для двух энергий, соответствующих значениям й|2ге= 0,1 и )е!2а = 0,2. Эта же картина повторяется и в лю- йа бом другом интервале и < г ( л+ 1, где и †цел число. Связанные состояния. При от- йгта й! рнцательных энергиях существуют ш ца дискретные собственные значения.
В этом случае можно положить й = !и, так что энергия будет равна ~/г -йг Лзнз Е= —— 2т (39 23) ш уа а параметры (39.6) Ф и г. 25. Зависимость нозфи Т финиента отражения от глубины а= 2 ~)ь + — / потенциальной ямм лля двух (39.24) значений энергии. или — =) — 1 — 2п, Х и а в случае нечетных состояний и н 1 — — + — — — л, 2 2а будут действительными величинами.
Снова можно воспользоваться аснмптотическими формулами (39.11а) и (39.1!б), однако теперь в этих формулах первое и второе слагаемые ведут себя соответственно как е"!'! и е-"1*!. При к) 0 существование нормируемых решений возможно лишь в том случае, когда фигурирующий в первом слагаемом множитель обращается в нуль. Теперь все аргументы Г-функций действительны, а их полюсы расположены в точках, соответствующих целым отрицательным числам — п(и=О, 1, 2, ...), поэтому собственные значения находятся из соотношений: в случае четных состояний ! — !г и — + — = — и 2 2и 112 О. Задачи дет учеага спина.
А. Одномерные задачи или — = Х вЂ” 2 — 2л. и И л 0 Задача40. Свободное падение вблизи земной поверхности Частица движется в однородном гравитационном поле над повер хи остью земли, которая предполагается абсолютно упругой (например, стальной шарик, танцующий на стеклянной горизонтальной пластине). Проанализировать эту классическую задачу с точки зрения квантовой теории, Решение. В квантовой теории скачкам стального шарика соответствует стационарное состояние.
Для отыскания этого состояния необходимо решить уравнение Шредингера йт гни — — — + (гпйх — Е) и = 0 2лг длт (40.1) в области х) О. Выше через х обозначена высота над поверх- ностью земли, а гравитационный потенциал взят, как обычно, в виде )г(х)=-пуйх. Предположение об абсолютно упругом харак- тере отражения при х=О приводит к граничному условию и(0) =О. (40.2а) Кроме того, сюда следует добавить естественное условие и (оо) — О. (40.2б) Отсюда после очевидных изменений Х вЂ” н 1 2 3 Е з и е ад Ф и г. 26. Зависимость ввергни связанных состояний от размера молифииированных потенциальных ям Певгля †Теллера. Пунктнрнал лнннн харлктерньутт глубину нотенннзльноа «ив. в обозначениях для уравнений энергии получаем п(Х вЂ” 1. (39.25) При четных л эта формула дает уровни четных состояний, а при нечетных и — уровни нечетных состояний.
На фнг. 26 показана зависимость энергии связанных состояний от размера потенциальной ямы. Следует отметить, что при целом Х всерда имеется один связанный уровень (и = =-)ь — 1) с нулевой энергией. тд. Свободное падение вблизи земной наеерхнаааш Нз — ", — си = 0 (40.5) и ( — )ь) = 0; и (оо) — О. (40.6) Ф и г.
2?. Первые десять зкергетических уровней в гравитапионном поле над поверхностью земли. Фиг. 28. Функция Эйри. Классически разрешенная область движения заключена между классическими точками поворота $= — Х и 3=0 (фиг. 27), т.е. ей соответствуют исключительно отрицательные значения переменной 9. Решения дифференциального уравнения (40.5) выражаются через функции Бесселя порядка 1/3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
