Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Таким образом, при <обобществлении» электрона кристаллом снимается перестановочиое вырождение и вы~рождение по числу т. Существенно, что система из М(21+ ! ) подуровней в действительности не дискретна, а образует полосу разрешенных значений энергии электрона. В самом деле, пусть ЛŠ— энергетическая ширина указанной системы подуровней, а Ла — расстояние между соседними подуровнями: Лв=ЛЕ/М(21+ !). Чтобы система подуровней была дискретной, необходимо, чтобы Ла>61«, где т — время жизни электрона в кристалле; иными словами, расстояние между подуровнями должно быть больше определяемой соотношением (3.2) неопределенности энергии подуровня. Это означает, что должно выполняться условие й(21+ !) Ю)АЕ(т.
(24.28) Полагая Ж(21+ !) =10", йЕт ! эВ, получаем, что т должно быть больше !О» с, т. е. больше !О лет. Поскольку реальное время жизни «обобществленного» электрона в кристалле может быть только меныпе, то, очевидно, условие (24.28) не выполняется. Это и позволяет рассматривать систему из М(21+!) подуровней как энергетическую зону. Разумеется, число состояний электрона в зоне остается конечным — зона может «вместить» не более 2Ж(21+ !) электронов. В связи с этим говорят о степени заполнения зоны, о полностью заполненных зонах и т.
п. $25. ВЕРОЯТНОСТЬ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ Квантовые переходы и принцип суперпозиции состояний. Предположим, что под действием некоего внешнего фактора микрообъект совершает переход из одного ста- ционарного состояния в другое. Как найти вероятность такого перехода? Начальное и конечное состояния микрообъскта описываются функц~иямм типа (20.16), например начальное состояние Ч'„(х, 1) =<р„(х)ехр( — 1Е Цй). Через х здесь обозначена, краткости ради, совокупность пространственных координат. Функция Ч'„удовлетворяет уравнению Шрсдилгера (20.17): (25.1) (будем называть его «невозмущенным» уравнением).
Внешний фактор, обусловливающий квантовый переход микрообъекта, может иметь различную физическую природу. В частности, это может быть взаимодействие микрообъекта с электромагнитным излучением. В аппарате квантовой теории указанный фактор «выступает» как накий потенциал взаимодействия, который надо добавить к «невозмущенному» гамильтониану Й. В З 22,в примере с взаимодействием электрона и ~излучен~ия подобная «добавка» к гамильтониану интерпретировалась как некое возмущение и обозначалась через Н. Будем пользоваться этим обозначением также и здесь. С учетом возмущения Н' перепишем уравнение Шредингера в виде (25.2) Это уравнение называют «возмущенным» уравнением.
Его решения Ф„уже не являются стационарными состояниями, так что индекс и не фиксирует здесь уровня энергии, а лишь указывает на предысторию: данное «возмущенное» состояние «произошло» из и-го «невозмущенного» состояния. Существенно, что состояние Ф является суиерпози<1иокным. Можно сказать, что возмущение Й' выступает в роли анализатора, который создает суперпозицию состояний: ф„(х, 1)=Ху„,(1) Чг„(х, г). (25.3) Если в некий момент 1 «включить» соответствующий детектор, то суперпозиция (25.3) разрушится и микрообь- ввв ект будет обнаружен в одном из стационарных состояний, например в состоянии Ч', . Это м означает, что произошел квантовый переход м~икрообъекта нз состояния Ч'„в состояние Ч', .
Как известно, вероятность такого перехода есть )Хит(1)! . Фактически все это уже знакомо читателю — приведенные только что замечания согласуются с замечаниями в $ !О, сделанными по поводу соотношения (10.3), которое, по сути дела, эквивалентно соотношению (25.3). Итак, вероятность перехода есть, как и следовало ожидать, квадрат модуля соответствующей амплитуды перехода: (25.4) тв в = 1 х«(г) !'.
Эта амплитуда является одним из коэффициентов в суперпозиции (25.3), которая представляет собой разложение «возмущенного» состояния Ф„,по «невозмущенным» состояниям. Переход к энергетическому представлению. Чтобы найти вероятность ш„„ь надо, во-первых, решить уравнение (25.2), а во-вторых, найти коэффициенты разложения полученных решений по состояниям типа (20.16). Такой путь соответствует, как легко видеть, первому способу в «схеме» перехода от одного представления к другому, рассмогренному в $ 23.
Более рационален, однако', иной путь — путь, отвечающий второму способу в указанной «схеме». Ниже остановимся, именно на этом пути. Согласно (15.5), коэффигхиепты Х» суперпозиции (25.3) могут рассматриваться как волновая функция, описывающая «возмущенное» состояние, но только не в координатном представлении (в координатном представлении это делает функция Ф„), а в представлении набора тех физических величин, по отношению к которым функции Ч'«являются собственными функциями. Так как функции Ч'» являются собственными функциями гамнльтониана, то назовем это представление энергетическим.
Итак, следуя .второму способу в «схеме» нз 9 23, надо «перевести» данное в координатном представлении «возмущенное» уравнение (25.2) в энергетическое представление. Тем самым будет получено новое уравнепне— «возмущенное» уравнение Шредингера в энергетическом представлении. Решения этого уравнения и будут представлять собой искомые амплитуды переходов. 9 — 2819 Выполняя намеченную программу, подставим (25.3) в (25.2) и учтем при этом (25.1).
Получим .~р~ Ж (25.5) Умножим обе части (25.5) слева на Ч' * и проинтегри- руем по пространственным координатам: ~р~ ш Учитывая ортонормированность стационарных состояний, перепишем последнее выражение в виде гй ~" = ~~~~ тп, ~ Ч'„Й'%'айх.
(25.6) Далее представим: ~% Й'%„йх=ехр(ь~ьГ)~ е Н'йфх= =ехр фю ф < т ( Й' ( й ), (25.7) где ,= (Š— Еа) й (25.8) С учетом (25.7) перепишем (25.5) в окончательном виде: — „, Х. = — — „' '~~) т Х„, < т ! Й' Ю ( й ) ехр (Р» ~). (25.9) ввз Итак, мы получили «возмущснное» уравнение Шредингера в энергетическом представлении. Фактически (25.9) есть не одно уравнение, а система уравнений. Подчеркнем, что свстема (25.9) удобнее, нежели уравнение (25.2), поскольку, решая эту систему, мы сразу определяем амплитуды переходов т„,. Весьма существенно также, что в процессе решения системы (25.9) можно обычно пользоваться методом возмущений.
Применение метода возмущений к вычислению вероятностей переходов. Обычно возмущение достаточно мало, что позволяет решать, систему (25.9) приближенно, применяя метод возмущений, Малость возмущения оз- начает, что функция (1) может быть, представлена в виде (Р„= Ч(„+ Л„, (25.10) где ˄— малая добавка к невозмущенной функции Ч" . В соответствии с (25.10) представим: У. =9, +К"»'+Кз»'+Кз»'+ (25.11) Легко видеть, что Л=Х(К»»+К»»+К»»+ ° ° ° ))1(». Со()) (») (з) гласно (25.11), малая добавка Л разбивается в свою очередь на добавки разного порядка малости: К(„')имеют тот же порядок малости, что и возмущение, К(,") квадратичны по возмущению и т.
д. Подставляя (25.11) и (25.9), получим И (1) а (2) ~ а (3) — К. + — К. + — К. + Н Ж ((( = — — ~~~~~ Я„»+у»»'+К»('»)+ ..) <т~ Й'~й>ехр((м»г). (25.12) Перепишем (25.12), сохранив члены только первого порядка малости по возмущению: — К,' '= — — < т ~ Й' ~ и) ехр((м „г).
(25.13) Ж " Х), Это есть приближенное выражение для амплитуд К„, полученное в первом порядке метода воз»(ущений. Если окажется, что <т(Й'(и) =-О, то надо использовать приближенное, выражение для амплитуд во втором порядке метода возмущений. Оно получается ~из (25.12) при сохранении членов второго порядка малости по возмущению: — К = — — д К»» <т ~ Й'! й) ехр(1 г). и (2) ( % 1 (1) и( пг» (25.14) Аналогично, в третьем порядке метода возмущений полу (аем — у, = — — Ч узм < т ~ гу' ~ я ) ехр('(' ° »г) й' (з) ( Ъ~ 1 „ (з) (25.15) и т.
д. 259 Зная в том или ином порядке метода возмущений амплитуды переходов, можно получить в соответствующем приближении вероятности переходов. В первом приближении получаем, согласно (25.13), 2 — ( ( т 1 6' (~) ~ и ) ехр (1м,() М тьг~ ) (25.16) Во втором порядке метода возмущений получаем, исходя из (25.14), 2 теЯ = — ~~Р ( уЦ~~ (~) ( т ! гт" (~) ( а > ехр ((а~,Д М ь2 ~~1 (25.17) нт.д Отметим, что результат (25.17) описывает интерференцию амплитуд. Результирующая амплитуда перехода является здесь суммой амплитуд переходов через различные промежуточные состояния. Невозможность обнаружения микрообъекта в том нли ином промежуточном состоянии обусловливает неразличимость альтернатив и позволяет говорить о промежуточных состояниях как о виртуальных.
Дальнейшая программа действий предполагает подстановку в выражения типа (25.16) и (25.17) конкретных операторов Н'. В квантовой электронике, например, используют оператор (22.29). Рассмотрение подобных вопросов выходит, однако, за рамки данной юшги; .в связи с этим можно адресовать читателя, например, к (12, 41], Фейнмановские диаграммы и вычисление вероятностей переходов. В заключение вернемся к рассматривавшимся в $6 фейимановскнм диаграммам (см. диаграммы на рис. 6.1, отиосяпаиеся к рассеянию одного электрона на другом).
Отметим, что все изображенные на рис. 6.1 диаграммы относились к одному и тому же квантовому переходу — переходу двух электронов из определенных начальных в определенные конечные состояния. Строго говоря, каждый конкретный переход должен описываться бесконечным числом диаграмм — со все более возрастающим количеством вершин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
