Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 46
Текст из файла (страница 46)
(22.22) 2ш Здесь р и т — оператор импульса и координата одного из «обобществленных» электронов; Š— энергия этого электрона. Таким образом, используя (22.21), можно перейти от рассмотрения коллектива электронов к отдельному электрону, который движется в поле: и(г) =и,(т)+и,(т). (22.23) Такой переход соответствует так называемому одноэлектронному приближению. Потенциал У(т) является периодическим с периодом кристаллической решетки. В 2 24 будет показано, что энергия электрона, движущегося в периодическом поле, разбивается на чередующиеся зоны разрешенных и запрещенных значений, т.
е. имеет зонную структуру. Электрон, связанный в атоме, имеет уровни энергии; свободный электрон характеризуется непрерывным энергетическим спектром. Электрон, «обобществленный» кристаллом, занимает в известном смысле «промежуточное» положение — он «свободен», но лишь в пределах кристалла. Закономерна зонная структура энергетических состояний такого электрона, которая, очевидно, является «промежуточной» между структурой дискретных уровней и непрерывным спектром. 239 где Рт/2т+У вЂ” гамильтопиан электРона, Нт- — гамильтониаи излучения.
При наличии взаимодействия между электроном и излучением система описывается «возмущенным» гамильтонианом Н = р — — А 2т+ьУ+Йт, (22.26) гдс А — оператор векторного потенциала поля излучения Ф\ (напомним, что в координатном представлении А(г) = =А(г))*. Отметим, что потенциалы поля выбраны здесь так, чтобы выполнялись известные условия калибровки: с]]уА=О; ф=О (ф — скалярный потенциал поля). Далее представим гамильтониан Н в виде й=н,+й', (22.27) » В классической теории полн показываегся ]38], что взаимодействие заряда с электромагнитным полем мозкно учесть, произведя е замену:р 3"р Л. Мы используем здесь этот классический рсзульс тат, применяя вместо динамических переменных соотвстствуюгаие операторы.
Относительная свобода движения «обобществленного» электрона отражается, в частности, на его волновой функции, которую представляют в виде так называемой грункции Блоха: ф (г) = и (г) ехр (арг]йт), (22.24) Это есть волновая функция (!5.15) свободного электрона, модулированная функцией и(г), имеющей период потенциала (7(г) (подробнее о функциях Блоха см. в з 24). Гамильтониан взаимодействия электрона с электромагнитным излучением. Будем рассматривать систему связанный электрон плюс излучение. В отсутствие взаимодействия между электроном и излучением система описывается «невозмущенным» гамильтонианом: О,= — +и+О,. где Й' — гамильтониан взаимодействия, играющий роль возмущения.
Сравнивая (22.25), (22.26) и (22.27), находим О'= — — 1(РА)+( Р)1+ — 'А'. 2тс 2тсз (22.28) Это выражение можно немного упростить, если учесть в соответствии с (2027), что РА (г) — А (г)р= — (й с(!н А (г). Воспользовавшись тем, что г(1н А =О, получаем е ес 77 = — — (РА)+ тс 2тсз Отметим, что гамильтониан (22.29) ответствен за все про- цессы поглощения и испускания (спонтанного и индуци- рованного) фотонов электроном. 5 23. ПЕРЕХОД К ИМПУЛЬСНОМУ ПРЕДСТАВЛЕНИЮ (23.3) Покажем, как можно перейти от координатного представления к импульсному, н приведем некоторые результаты в импульсном представлении.
Операторы импульса и координаты в импульсном представлении. Очевидно, что в импульсном представлении оператор импульса есть сам импульс: Рк=Рк' Р=Р. (23.1) Поэтому сразу перейдем к рассмотрению х-координаты. Пусть амплитуда состояния задается в координатном представлении функцией ~Р(х), а в импульсном— функцией Ф(Р,). Используя (17.33), запишем ~2' (х) х (х) р (х) с7х= ~ Ф' (Р„) х (р„) Ф(р„) пр„.
(23.2) Связь между функциями ~р(х) и Ф(Р,) имеет, согласно (15.6), вид Т(х) =~ Ф(Р )Ь„(х)с(Р„, где ф„„(х) — собственные фуякции оператора р, в координатном представлении. Используя (20.9), перепишем 241 выражение (23.3) в виде 4 (х)=(2яй) "'] Ф(р„)ехр((р„х(6)пр„. (234) Подставляя (23.4) в левую часть равенства (23.2), получаем '] р' (х) ха (х) дх = РР, — юр к(а = — ']']'] Ф*(р,)е " хФ(р„)е ' йр гор,йх. (23.5) 2яЪ. Множитель хФ(р„ехр(1р„х/6), входящий в подынтегральное выражение в (23.5), может быть представлен в виде хФ(р )ехр(гр„х/6)= — И вЂ” [Фехр(юр„х/6)]+ ЛРх +16 — ехр(гр„х(6). (23.6) ЛРк Подставим (23.6) в (23.5) и рассмотрим интеграл по р„.
При этом учтем, что — 16 ~ — [Фехр(гр,х16)]пр = ц Рх = — ИФ(р,) ехр((р,х,'6)]"„= — 0 [поскольку физически невозможно реализовать бесконечно большой импульс, то, следовательно, Ф(со) =0 и Ф( — со) =О]. Таким образом, в интеграле по р„должно сохраниться только второе слагаемое из правой части ' лФ (23.6):И вЂ” ехр((р х(6).В результате равенство (23.5) примет вид ( ~' (х) х р (х) Ых= = — [[[ Ф'(р,)Иекр[((р — р„)хЙ] (Р.".
йр„йр„г(х. 2яЪ.,),),) ЛРх (23.7) Интегрирование по х в правой части этого равенства дает, согласно (15.17), (2яй) ' ] ехр[1(р„— р„) х/6] ах=В(р„— р,). 242 Далее, используя свойство дельта-функции, выполняем интегрирование по р„'. (~а (р,') Цр.— р„') г7р' =Ь'(р.). В итоге остается интеграл только по р„и равенство (23.7) принимает вид р* (х) хор (х) г7х =- ~ Ф* (р,) И вЂ”" Ф (р„.) с~р . (23.8) «Рх Сравнивая правые части соотношений (23.8) и (23.2), находим выражение для оператора х-координаты в импульсном представлении: (23.9) х(р )=тй— аРк Обобщение на трехмерный случай дает г ( р) = (й ту (23.10) Р где ~7- — градиент в импульсном пространстве.
Унитарная инвариантность перестановочных соотно- шений. Применяя (23.1) и (23.9), легко убедиться, что коммутаторы операторов составляющих координаты и импульса будут в импульсном представлении точно та- кими же, какими они были получены в координатном представлении (речь идет о выражениях (20.24)— (20.26)).
Это заключение может быть распространено также и на выражения (20.27) — (20.30). Иначе говоря, перестановочные соотношения не зависят от выбора пред- ставления, т. е. являются унсстарнььии инвариантами. Это совершенно естественно, если вспомнить, что математиче- ский факт коммутирования операторов имеет определен- ный физический смысл, который, очевидно, не может измениться при переходе от одного представления к дру- гому. Уравнение Шредингера в импульсном представле- нии. Переходя к импульсному представлению, перепишем уравнение (20.1!) в виде Й(р )т,(р„)=Ег (р ), (23.11) где тв(р„) — собственные функции гамильтониана в импульсном представлении. Заметим, что величины Е в 243 (23.11) точно такие же, как и в (20.11), поскольку спектр собственных значений эрмитовского оператора является унитарным инвариантом. Так как в импульсном представленин р,=р и х=!й —, то гамильтониан (20.!2) иР» принимает теперь вид 2 Л (,в„) ) (»" (2й (23.12) В результате вместо уравнения (20.!3) получаем урав- нение (23.13) Это есть не зависящее от времени уравнение Шредингера в импульсном представлении.
В качестве примера выпишем гамильтониап линейного гармонического осциллятора: Р» я>м2Ь2 и2 О( )» 2я> 2 и,2 » с 2 — — Е т (р,)=0, Р» 2т (23. 15) откуда немедленно следует, что Е = р»,'2п>. 2~ (23. 16) Результат (23.16) отмечался еще в 2 1. Он означает, что свободно движущийся мнкрообъект имеет одновременно н определенную энергию, и определенный импульс, причем эти величины связаны друг с другом при помощи классического соотношения (23.16). В случае свободно движущегося микрообъекта стационарное состояние является также собственной функцией оператора импульса. 244 Сравните это выражение с выражением (22,!), описывающим тот же самый гамильтониан, но в координатном представлении.
Импульсное представление позволяет весьма просто получить один у>ко хорошо известный читателю результат. Если микрообъект движется свободно, то уравнение (23.13) очевидным образом упрощается: Подчеркнем, что это ни в коем случае не распространяется на связанные микрообъекты (см. в связи с этим приводимый ниже пример). Вероятность значений импульса частицы в прямоугольной яме с бесконечно высокими «стенками». В з 21 рассматривалась в координатном представлснии задача о движении частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими «стенками». Были найдены уровни энергии (21.8) и ортонормированные амплитуды стационарных состояний (21.9). При переходе к импульсному представлению результат (21.8), очевидно, не изменится, а результат (21.9) изменится.
Найдя амплитуды стационарных состояний в импульсном представлении, можно, в частности, определить вероятность значений импульса частицы, находящейся в и-и энергетическом состоянии. Обозначим эти амплитуды через т (р ); искомая вероятность есть )т.(р.) Р. Амплитуды т„(р„) связаны с амплитудами стационарных состояний в координатном представлении [амплитудами ~р„(х)) суперпозиционным соотношением такого же типа, что и соотношение (23.3): г,(п ) =)»„(х)(~ (р„)дх, (23.17) где ф„'(р,) — собственные функции оператора х в импульсном представлении. Учитывая, что ~р '(р ) =фр *(х), и используя (20.9), перепишем (23.17) в виде а т„(р») =(2пй) ~ ~ «„(х) ехр( — (р«хай) пх.
(23.18) о со»з( †!, нечетное и, гРк«1 (, 2Ъ.! (23.19) з(п ( — !, четное и. .,(д„«1 (,2Ь ! 4яач» Ъ, пзпз Итак, строго показано, что стационарные состояния (уровни энергии) частицы в потенциальной яме не характеризуются определенным импульсом, а соответственно н 245 Подставляя сюда (21.9) и выполняя интегрирование, приходим в конечном счете к следующему выражению для вероятности; определенной длиной волны де Бройля. Напомним, что это обстоятельство качественно обсуждалось в ф 5, где подчеркивалась неправомерность наглядного представления связанного микрообъекта в виде классической волны в некоем резонаторе.
«Схема» перехода от координатного представления к импульсному. Подводя итоги, можно указать следующую «схему» перехода от одного представления к другому: г «Схема» предполагает два способа перехода. Один спотоб: решается уравнение Шредингера с гамильтонианом Й(х) и отыскиваются амплитуды стационарных состояний в координатном представлении ~р„(х); затем с помошью суперпозиционного соотношения (23.17) совершается переход от амплитуд чг„(х) к амплитудам т„(р,). Именно такой способ был применен в рассмотренном выше примере. Возможен, однако, и другой способ: совершается переход от Й(х) к Й(р ) и решается уравнение Шредингера в импульсном представлении (23.13). В этом случае отыскание амплитуд т (р,) сводится к решению уравнения (23,13), ф 24.
ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ Квантовомеханическая задача об электроне в периодическом поле играет важную роль в теории твердого тела. Мы приходим к этой задаче, используя одноэлектронное приблигкение, обсуждавшееся в 5 22. Зонная структура энергетического спектра. Зоны Бриллюэна. Рассмотрим одномерный периодический по- 246 Г/(х) = ~~~ С/„ехр( — 12лих/а) и, переходя затем к импульсному представлению, за- пишем с/(р)= ~~~~~ с/„ехр( ) . (24.2) «=в Далее покажем, что оператор ехр(р, — 1 есть опеар / ратор конечного переноса в р-пространстве на величину Р=рь В самом деле, ат 1 г а'гт т(р+р)=т(р)+р — (р)+ — рг — (, )+ "= «'р 2~ «рг н 1 г иг з / с'т з =~1+р,— + — рг — +...~т(р)=ехр(р, — ) .
Та- 2~ дог '''~ (, ИР ) ' ким образом, ехр (р, — 1= с (р+ р,). .Р/ Из (24.2) и (24.3) следует, что Г/(р)т~р)= ~~' Г/„тЬ~- — '"" а). (24.4) Используя (24.4), запишем уравнение Шредингера (23.13) в виде ( —" Е) т(р)+ ~~~~~ Г/„т(р+ ")=О. (24.6) тенциал (/(х), удовлетворяющий условию Г/(х+а)=с/(х). (24. 1) Перейдем к импульсному представлению, следуя второму способу в «схсме» приводившейся в конце предыдущего параграфа. Это означает, что потенциал Г/(х) надо представить как оператор в импульсном представлении (/(р,).
(Для упрощения записи будем писать ниже р вместо р„.) Разложим периодическую функцию (24.1) в ряд Фурье: Фактически (24.5) есть однородная система линейных уравнений относительно функций т(р), т(р — 2ий/а), т(р+2пгца) и т. д. Эта система состоит, вообще говоря, из бесконечного числа уравнений: ~(р+2явуа)т Е~ ( + 2яЬ, )+ + ~~~~~(У„т (р+ (" )=О, (а Е1т(Р)+ Х (Уют (р+ '"'")=О, И ~(р — 2аЬ!а)т .~ ( 2аа ) +ч~~ у т(р+ 2лк(а — ')) О Ненулевые решения однородной системы существуют лишь при условии равенства нулю ее определителя. Обозначим определитель через Р(Е, р) и запишем символи- чески ()(Е, р)=0. (24.7) Зафиксируем р (пусть р=р|) и выпишем корни уравнения (24.7); Е,(р~), Ех(р1), Е,(р1), ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
