Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Учитывая, что с симметрией по отношению к поворотам связано сохранение момента, заключаем: сохранение пространственной четности связано с тем фактом, что физические процессы протекают идентичным образом в «обычном ми~ре» и в «зазеркалье» *. Собственные значения и собственные функции операторов М, и Мз.
Запишем уравнение для собственных функций оператора М„определяемого выражением (20.2! ): д) — ю'й — ' ф=М,ф„ дт, " Необходимо заметить, что в некоторых процессах, происходящих с элементарными частицами, симметрия «обычного мира» и «зазеркалья» нарушается. В 19Ь7 г, в опытах С. Ву было обнаружено несохраиение пространственной четности при р-распаде ядер, предсказанное в 1956 г. Т.
Ли и С. Ян~ом. 213 чающиеся на величины, кратные постоянной Планка (см. $2). Множитель А в (20.35) определяют из условия нормировки В~Ф )с асср=1. Легко видеть, что А= (2п)-сС'. где Рс(х) — полиномьс Лежандра: В,с с Р,(х)= — [(хз — 1) ). 2ССС сСхС (20.42) Сферические функции срс (О, ср) ортонормированы: ы к В) Ес (6, ср)(сс.,„. (6, <р) з(п ОсЖУу=асс В ..
(20.43) 214 Ита.к, Ф (р)=(2н) изехр(сспм). (20.37) Далее обратимся к оператору М'. Используя (20.23), запишем — йз ( 1 дат + 1 д (з(пО дт11=М'у. (20.38) ( зспзВ дтз з!п В дВ ~ дВ 11 В математике это уравнение известно как уравнение для сферических функций. Оно .имеет ограниченные решения при условии, что М =йз1(1+1), 1=0, 1, 2,... (20.39) Полагая условие (20.39) |выполненным, представим ре- шения уравнения (20.38) в виде сферических функций: фс„=1 ( ~ ~ ) ( + ) Рс' ' (созО) ес"'г, (20.40) (!+ /зс))С4п где пс=0, -с-1, ..., с-1.
Учитывая (20.31), заключаем об общности собственных функций операторов М, и М', по- этому сп следует рассматривать здесь как магнитное квантовое число, отвечающее проекции момента на г-ось. Оно принимает 21+1 значений (от — 1 до 1). Входящие в (20.40) функции Рс (соз О) суть присоединенные функ- ции Лежандра. Напомним, что Рс (х)=(1 — х')"С' — Р,(х), (20.41) дх Если известен результат (20.36), то результат (20.39) можно получить, полагая М'= 3 < М,' ) =Зйз < тз ).
Среднее значение <тз> определяется выражением <т ) ='(91 — "' =2 ~Р— "' = — '1(1+1). .~д~ 21+1,~ 4 21+1 3 й1 е-~ Отсюда немедленно получаем (20.39). Четность и момент. Из (20.18) видно, что операторы инверсии и любой проекции момента коммутируют; кроме того, коммутнруют операторы инверсии и квадрата момента: 1Р, Я11=0, '1Р, Яз)=0. (20.44) Это означает, что операторы Р и М1 имеют общую замкнутую систему собственных функций.
То же следует сказать об операторах Р и М'. Отсюда, в частности, следует, что состояние с определенным орбитальным квантовым числом 1 должно характеризоваться и определенной пространственной четностью. В сферических координатах преобразование инверсии имеет вид г- г, 9- и — 9, <р <р+и. (20.45) Используя (20.40) — (20.42), выясняем, что при таком преобразовании функция фг (9, ~р) умножается на множитель ( — 1)'. Ф.-( — 1)'Ф. (20.46) Отсюда видно, что состояния с четными 1 имеют положительную четность, а состояния с нечетными 1 — отрицательную четность. Уместно напомнить приводившийся в $ 3 пример полного набора величин для описания состояния фотона, включавший М', М„Р (см. (3.7б)).
Подчеркнем, что четность н момент входят в один и тот же полный набор величин. Формально это есть следствие соотношений (20.44). Однако можно привести обоснования, имеющие наглядный смысл. Действительно, явное «сродство» четности и момента связано с тем, что, как уже отмечалось, операция инверсии включает в себя кроме отражения в зеркале еще и поворот. При этом безразлично, в какой 215 120.47) Это есть известный классический результат; скорость равна импульсу, деленному на массу. В квантовомеханической интерпретации этот результат означает, что оператор скорости равен оператору импульса, деленному на массу. Далее подставим в (19.10) оператор К=р„. Используя для оператора Н, как и прежде, выражение (20.12), получаем 'Ф Р»= ~7(х).
лх (20.48) Легко видеть, что это есть ие что иное, как второй закон Ньютона, записанный в операторной форме. Напомним, что операторы типа х или р„вводятся в соответствии с оппеделением (19.9). Отсюда следует, что результаты (20.47) и (20.48) указывают на справедливость классических соотношений для средних значений физических величин: — <х>=< з 1 р„1 з>/т, Н (20.47а) последовательности выполнять эти операции: сначала отражение, а затем поворот или же наоборот — сначала поворот, а затем отражение. Соотношения классической механики в операторной форме. Выше мы неоднократно использовали тот факт, что аппарат квантовой механики основывается на известных уравнениях классической механики, записанных, однако, в операторной форме.
Этот факт настолько важен, что чместно вернуться к нему еще раз. Ранее отмечалась гениальная догадка Шредингера, предложившего для гамильтониана микрообъекта выоажение (20.12). Если воспользоваться этой догадкой и фундаментальным результатом (19.10), то можно убедиться в том, что уравнения классической механики действительно пеоеносятся в квантовую механику при условии замены физических величин соответствчюьцими эрмитовскими операторами. Подставим в (19.10) оператор ~,=х.
а для оператора Й воспользуемся выражением (20.12). Получаем х=р„(ю. — < р„> = — — ~7 1х).' Ф лх з1е 120.48а) Это обстоятельство отмечал Эренфест; поэтому соотношения типа (20.47а) или (20.48а) называют теоремами Эренфесга. Коротко говоря, теоремы Эренфеста утверждают, что классические соотношения для физических величин превращаются в квантовой механике в соотношения для средних значений физических величин. В $ 19 отмечалось, что рассматриваемая здесь математическая аналогия между классической механикой и квантовой механикой требует известной осторожности, так как операторы не всегда коммутируют друг с другом. Отсюда следует, что содержащейся в классических соотношениях информации недостаточно для построения аппарата квантовой механики. Необходима дополнительная информация о свойствах коммутировання рассматриваемых операторов.
Иначе говоря, классические соотношения должны быта дополнены перестановочными соотношениями (типа соотношений (20.26) — (20.30)). Таким образом, именно в перестановочных соотношениях заключена та специфическая информация, без которой немыслим аппарат квантовой механики. В этой связи подчеркнем, что в правую часть перестановочных соотношений входит специфическая квантовомеханическая постоянная — постоянная Планка. Как известно, переход от квантовой механики к классической требует положить А-ч-О.
В этом случае все величины, входящие в перестановочные соотношения, начинают коммутировать и в результате квантовомеханические выражения превращаются в подлинные уравнения классической механики. В известном смысле именно присутствие в правых частях равенств (20.26) — (20.30) хотя и малой, но все же отличной от нуля постоянной А и обусловливает все то своеобразие квантовомеханических представлений, о котором так много говорилось в первой и второй главах книги.
й 21. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В РАБОТЕ Некоторые характерные задачи квантовой механики. Отметим три типа задач, связанных с решением уравнения Шредингера. Первый тип задач. Рассматривается движение микрообъекта в ограниченной области пространства, иначе 217 говоря, в потенциальной яме (например, движение электрона в атоме); такое движение называют финитныж, а о микрообъекте говорят, что он находится в свлзаннолз состоянии. Используется уравнение Шредингера, не зависящее от времени (см.
(20.13) или (20.14)). Решая уравнение Шредингера при определенных граничных условиях, накладываемых на волновую функцию и ее первую производную *, находят спектр значений энергии микро- объекта и волновые функции стационарных состояний. Второй тип задач. Рассматривается ипфинитное (пространственно неограниченное) движение микрообьекта во внешнем поле. Например,микрообъект проходит сквозь потенциальный барьер (напомним отмечавшийся в $ 4 туннельный эффект) нли рассеивается на некоем силовом центре. Поскольку движение инфинитное, то энергетический спектр микрообъекта непрерывен. Решая уравнение Шредингера, не зависящее от времени, определяют вид волновых функций мнкрообъекта вдали от рассеивающего центра (или барьера), на основе чего рассчитывают, например, вероятность рассеяния на заданный угол (или вероятность прохождения сквозь барьер, а также отражения от него).
Третий тип задач. В указанных выше двух типах задач речь шла о стационарных состояниях мнкрообъекта, в связи с чем использовалось уравнение Шредингера, не зависящее от времени. В задачах третьего типа рассматривают изменение состояния леикрообъекта во врелзепи, для чего используют уравнение Шредингера, зависящее от времени (см. (20.17)). Решая это уравнение, находят вероятность того или иного квантового перехода, происходящего под влиянием заданного внешнего воздействия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
