Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Пусть, например, собственное значение Х~ з-кратно вырождено. Из з решений уравнения Л~=А~Ф можно выбрать з линейных комбинаций, которые будут также собственными функциями оператора М; при этом значению Л~ будут отвечать, вообще говоря, з различных собственных значений оператора М. На этом экскурс в область ччистой» математики можно считать законченным. Изложенные сведения вполне достаточны для того, чтобы далее можно было пользоваться аппаратом линейных операторов без ссылок на специальную литературу.
189 й 18. ОТ ГАМИЛЬТОНОВОИ МАТРИЦЫ К ОПЕРАТОРУ ЭНЕРГИИ На что влияет выбор базисных состояний? Вернемся к обсуждавшемуся в $12 уравнению (12.8). Там выбиралась некая система базисных состояний микрообъекта (<ю!); произвольное состояние <з(!) ! этого микрообьекта в момент времени 1 представлялось в виде суперпозиции выбранных базисных состояний: <з(1) ! =Х<я(Т) )1)<ю !. (18.1) позволяющему по известным в момент ! амплитудам Сю(1) и гамильтоновой матрице НОЯ найти амплитуды Сю в последующие моменты времени. Выражение (!8.!) ясно показывает, что набор амплитуд (Сю(1)) зависит от выбора системы базисных состояний (<ю!).
Предположим, что возникла потребность перейти к новой системе базисных состояний (<и!). Чтобы совершить этот переход, представим прежние базисные состояния в виде суперпозиции новых базисных состояний "ю' ! =~< 1' ! пю) < пю ! н затем подставим эту суперпозицию в (18.1). Получим <з (ю) ! =~я'.!~~э~Сю(ю')<ю' ! юп)<'юп (, т (18.3) или (18.4) < з (ю) ! = с„(ю) < пю (, где с (ю) = ~~"„Сю (ю) < ю ! т ).
190 (18.5) При этом для амплитуд <э(1) )ю> использовалось обозначение Сю(!). Было показано, что амплитуды Сю(1) удовлетворяют уравнению — юй — С,(ю)= ~~~ НО(ю) Сю(ю), (18.2) сю ю Новые амплитуды с (1), отвечающие системе базисных состояний (<т~), удовлетворяют уравнению типа (18.2), но, очевидно, с новой гамильтоновой матрицей Н „(1): — (й — Г (Г)=~~~~ Н „(г) С„(г). (18.6) Покажем, каким образом прежняя гамильтопова матрица может быть выражена через новую.
Подставляя (18.5) в (18.6), находим — И вЂ” ~) ~~ Сл (1) ( У' 1 гп ) = Н „(1)С;(1)(/1 и >. л Умножим обе части последнего равенства на <оп~1> и просуммируем по пм Учитывая, что Х<1'(т><т)1>=<!']1>=8.1ч, Упрощаем левую часть последнего равенства, после чего получаем — 16 — С, (1) = ~~~ Н~ . (Г) С~ ф, л ъ~ где н~~(г)=~~.",~н„„(1)(~'(и)(т(1). (187) Итак, выбор той или иной системы базисных состояний микрообъекта влияет как на вид удовлетворяющих уравнению (12.8) амплитуд состояний, так и на вид гамнльтоновой матрицы. Н 0 (г) = ( / 1 Й (г) 1 1 ). (18.8) Оператор ЙЯ действует на базисное состояние <1(, в результате получается новое состояние <ф(1) ) = =ЙЯ )1), которое уже не является базисным.
Элемент гамильтоновой матрицы НиЯ играет здесь роль амплитуды <1(ф(1)), т. е. роль амплитуды вероятности того, что микрообъект, находящийся в базисном состоянии <1), может быть обнаружен в состоянии <ф(1) ~. Подставляя (!8.8) в (18.2), получаем — 18 — ( э (У) ) 1) = ~~ ( з (С) $1 ) ( 1 $ Н (т) ! 1 ) (18.9) или — )й — (зф ( ю')=<э(т) (Йф(1). (18.10) Перейдем к комплексно-сопряженному равенству и учтем при этом (9.33) н (12.9); получаем 18 — ( ю' 1 з (1) )=(ю ( Й (С) ! з (т) (18. 11) или 1В (з(~) >=Й(1) ~ з(г)).
192 (18.12) В 5 !3 отмечалось, что обычно систему базисных состояний выбирают таким образом, чтобы эти состояния имели наглядный физический смысл. Однако в ряде случаев в целях большего удобства рассмотрения уравнения (12.8) переходят к новым, специально подобранным базисным состояниям. Так, в 3 13 переход от базисных состояний <1) и <2! к базисным состояниям <1( и <11) мотивировался желанием диагонализировать гамильтонову матрицу, а в $ 14 — стремлением получить гамильтонову матрицу в виде удобном для проведения аналогии с электроном в магнитном поле.
Преобразование уравнения, выражающего причинность, к виду, не зависящему от выбора базисных состояний. Введем в рассмотрение оператор НЯ таким образом, чтобы было справедливо соотношение Заметим, что при переходе от (18.9) к (18.10), а также от (18.1!) к (18.12) мы пользовались правилами, объединенными в 5 10 под термином «механика квантовой механики». Полученное уравнение (18.12) аналогично уравнению (18.2), однако в отличие от последнего оно уже не зависит от выбора базисных состояний. Векторная аналогия. В предыдущих рассуждениях, чтобы математически выразить причинную связь (уравнение (18.2)), мы должны были использовать информацию о рассматриваемом состоянии, физическом содержании задачи и системе базисных состояний.
Теперь же !уравнение (18.12)) достаточно информации о рассматриваемом состоянии и физическом содержании задачи. Это означает, что переход от (18.2) к (18.12) соответствует переходу на более абстрактный уровень рассмотрения. Подчеркнем, что возможность такой абстракции связана с использованием понятия оператора. Именно операторы и позволяют получить более абстрактные квантовомеханические соотношения, не зависящие от выбора системы базисных состояний. Переход к более абстрактному рассмотрению, обусловленный введением понятия оператора, в опредслепном смысле аналогичен переходу к более абстрактному рассмотреяию, связанному с введением понятия вектора.
Остановимся подробнее на этой аналогии. Прежде всего заметим, что упомянутая аналогия нс представляется неожиданной. Напомним, что в 8 14 предлагалось рассматривать состояние как вектор в неком условном пространстве; там же было введено понятие проекционной амплитуды. Суть векторной аналогии состоит в следующем. 1(ак известно, для выполнения операций с компонентами векторных величин надо всякий раз выбирать определенную систему координатных осей.
В квантовой механике этому выбору соответствует выбор определенной системы базисных состояний. Если использовать векторы, то можно выполнять операции с векторными величинами, не прибегая к выбору той или иной системы осей. Точно так же, используя векторы состояний и действующие иа них операторы, можно в квантовой механике уклониться от выбора системы базисных состояний. Проиллюстрируем векторную аналогию при помощи следующей схемы: Кваитоволлеханическое выражение Векторная аналогия ~~р„агаз = о ;з <у(г> <~)з>=о (аа)=о (взаимно ортогональные векторы) <У)е>=0 (взаимно ортогональные состоя- ния) хтв — < ) ) з (О > = аг ег = ~~ Има) ! е =гта =~Н» <1(з.(Г) > l ль — ( з (г» = н ( з (г» Ж (операция над состоянием) (операция над вектором) ( д д дг, дгв д дгз д О дгт (Н) = д дгз — О д дгз где гь гм гз — три пространственных декартовых координаты.
В этом случае соотношение с=На принимает вид, В каждой клетке схемы записаны по два выражения, имеющих одинаковый смысл (он указан в скобках). Однако верхнее из этих выражений зависит от выбора системы базисных состояний либо от выбора системы координатных осей, тогда как нижнее не зависит. Полезно указать некий конкретный пример для нижней правой ячейки приведенной выше схемы, показывающий, каким образом можно представить себе оператор, действующий на вектор. В качестве такого примера (которому, разумеется, не следует пытаться придавать «квантовомеханический смысл») приведем ~пример, когда матрица Нт; имеет вид или (у (Й (1)=(у'(1)Е,. (18.13) Разложим состояние <з) по системе базисных состояний (<»')):(з ( =~2~(з (»')(1 ) и будем искать среднюю » энергию <Е> по формуле типа (12.3): (Е)=~ ( (з ~ 1))тЕ,. (18.
14) » С учетом (9.33) перепишем (!8.14) в виде (Е)=~~.",(г ( 1) Е»(1 ( з)=— (з!»р), (18.15) где ! р ) =,'5; ( 1) Е» (1 ( з ). Из (18.13) следует, что 8 (г)= (г)Ео (18.18) (18.17) 7$ 195 хорошо знакомый всякому, кто изучал векторный анализ: с =го1 а. В заключение подчеркнем отдельные стороны векторной аналогии: а) выбору базисных состояний соответствует выбор системы координатных осей, б) переходу от одних базисных состояний к другим соответствует переход от одной системы осей к другой (отметим, что такой переход не затрагивает физики рассматриваемой задачи), в) разложению по базисным состояниям соответствует представление вектора через его проекции на оси координат. Аналогия с векторами — хороший пример того, как можно абстрагироваться от привходящих обстоятельств и записывать соотношения в виде, учитывающем только сугубо физическую информацию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
