Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Применяя (17.16), получаем отсюда (х) Ф (х) дх= ~~'.~ с„8 = с . 183 Таким образом, Ф (х) = ~ г„ф„(х), причем г„=) у„(х) Ф(х) дх. 117. 18) В случае непрерывного спектра надо пользоваться ус- ловием (17.17). В итоге вместо (17.18) будем иметь Ф (х) = ~ г (Л) Фл (х) Ф., причем г (Л) =- ~) )ч (х) Ф (х) гух. (17.19) ~ Т' (х) Ф (х) г(х = ) Ь* (Л) с (Л) с(Л. (17.20) Представления.
Пусть эрмитовский оператор М превращает функцию Ф(х) в функцию Ч'(х): %'(х) = МФ (х). (17.21) Разложим функции Ф и Чг по собственным функциям фь(х) другого эрмитавского оператора (оператора С). Полагаем здесь, что спектр оператора Х непрерывен. Итак, Ф(х)= ~г(Л)Ях (х)г(Л; Ч(х)= ~ Ь(Л) 1д (х) с(Л. (17.22) Преобразованию (17.21) будет теперь соответствовать некоторое преобразование функции с(Л) в функцию Ь(Л). Запишем это преобразование в виде Ь (Л) = М (Л) с (Л).
(17.23) Говорят, что выражения (17.21) и (17.23) описывают одно и то же преобразование, но в разных представлени- 184 Укажем один из результатов, являющийся прямым следствием замкнутости (полноты) системы собственнык функций эрмитовского оператора. Пусть Ф(х) = = (' с(Л)фь(х)г(Л и Ч" (х) = (' Ь(Л')фт'(х)ЫЛ'. Используя (17.17), легко убедиться в том, что ях. Характер представления определяется теми переменными, от которых зависят исходная и конечная функции. Поэтому в случае (17.21) говорят о х-представлении, а в случае (17.23) — о Л-представлении (представлени~и оператора й).
Соответственно входящий в (17.2!) оператор М есть оператор рассматриваемого преобразования, определенный,в х-представлении (для ясности будем впредь записывать его как М(х)), а входящий в (17.23) оператор М(Л) есть оператор данного преобразования, определенный в Л-представлении. Выясним, как выглядит эрмитовский оператор в собственном представлении. Пусть <р„(х) — собственные функции оператора М. Вместо (17.22) запишем в данном случае: Ф (х) =- ~ г (р ) р„(х) г(р; Ч" (х) = ) Ь(р) р '(х)Ыр. (17.24) Подействуем оператором М(х) на функцию Ф(х): М (х) Ф (х) = ) с (р ) М (х) р,„(х) др = ) р г (р) рр (х) ар. Сравнивая конечный результат со вторым равенством из (17.24), находим Ь (р) = рс (р). (17.25) Отсюда следует, что М (р)=р.
(17.26) Таким образом, в своем собственном представлении эрмитовский оператор совпадает со своими собственными значениями. Далее рассмотрим более общую ситуацию: известен оператор М(х), требуется найти вид этого оператора в Л-представлении. Используя (17.21) и (17.22), запишем %(х)= М (х) Ф (х)= ~ г (Л') М (х) фл (х) АУЛ'= =~Ь(Л')Ф ° (х) КЛ'. 1вв Умножим обе части последнего нз этих равенств на фх*(х) и затем проинтегрируем по х; получим ~ с (Л') Ц фх (х) М (х) фм (х) ох1 а(Л' = = [ б (л') [ [ )1 (х) 7х (х) их1г(л'.
Используя (17.17), находим отсюда б (Л) =~ [~ фх(х) М (х) фх (х) г(х1 с (Л') г(Л'. Наконец, с учетом (!7.23) приходим к окончательному результату (сравните с (17.3)): М(Л) с(Л)=) М(л, Л') с (Л') гКЛ', где М (Л, Л') = ) фх (х) М (х) )г (х) гКх. (17.27) Итак, если известен вид оператора, например в х-пред- ставлении, то для получения матрицы этого оператора в Л-представлении надо воспользоваться собственными функциями оператора Е, заданными,в к-,представлении, в соответствии с формулой (17.27). В заключение отметим ситуацию, когда собственные функции одного эрмитовского оператора заданы в пред- ставлении другого оператора. В этом случае справедливо соотношение Фх 0") =Гв (Л).
(17.28) Переход от одного представления к другому как уни- тарное преобразование. Переход от Л-предста~аления к х-представлению определяется соотношениями (17.22). Запишем эти соотношеиия,н операторной форме: Ф (х) = О (х, Л) с (Л); %' (х) = О (х, Л) Ь (Л). (17.29) Далее представим: ) %' (х) Ф (х) дх= ) Ч" (х) О (х, Л) с (Л) ох= = ) с (л) [О+ (л, х) я" (х)1 кл. Используя (17.20), получаем отсюда ь (л) = О+ (л, х) 'г (х). 186 Из последнего результата следуют два важных заключения. Во-первых, ч(х)=О(х, л)Ь(л)=О(х, л)й+(л, х)ч(х) и, следовательно, О(х, Л)О+(Л, х)=1.
(17.30) Это означает, что переход от одного представления к другому осуществляется при помощи унитарного преобразования. Во-вторых, если %'(х)=М(х) Ф(х), то О(х, Л)с(Л)=М(х)О(х, Л)Ь(Л) и, согласно (17.30), с (Л) = О+ (Л, х) М (х) О (х, Л) Ь (Л). (17.31) 1зт С~равнивая (!7.3!) с (!7.23), заключаем: М(Л)=О+(Л, х)М(х)О(х, Л). (17.32) Уместно пояснить, что произведение операторов означает последовательное действие операторов на стоящие справа от,них функции.
В данном случае надо сначала подействовать оператором О(х, Л) на функцию Ь(Л), в результате чего, получится функция Ч'(х); затем надо подействовать оператором М(х) на функцию Ч'(х), в ~результате,получится функция Ф (х); наконец, надо подействовать оператором О+(Л, х) на функцию Ф (х). Итак, соотношения (17.29) описывают осуществляемый при помоцви унитарного оператора переход от одного представления к другому для функций, а соотношение (!7.32) описывает тот же переход для оператора. Унитарные инварианты.
Унитарныии инвариангаии называют величины и свойства, не изменяющиеся при унитарных преобразованиях и, следовательно, не зависящие от выбора того или иного представления. К унитарным ~инвариантам относятся,,в частности: а) свойство эрмитовости оператора (если оператор является эрмитовским в одном представлении, то он будет эрмитовским и в любом другом представлении); б) спектр собственных значений эрмнтовского оператора„в) условие ортонормировки собственных функций(это обстоятельство как раз и отражено соотношением (17.12)); г) интегралы ти- ,па [Ч"*(х)Ф (х)г(х [это заключение непосредственно следует ~из (17.20); д) интегралы типа ) Чт'(х)М(х)Ф(х)Ых и более общего типа[ Ч'*(х)М" (х)Ф(х)а!х, где и — натуральное число.
Отметим, что унитарная инвариантность этих интегралов означает, что выполняются соотношения ) Ч" (х) М (х) Ф (х)ах= [ Ь'(Л) М (Л) с (Л) аЛ, (1733) ) Ф* (х) М" (х) Ф (х) ах= ) Ь' (Л) М" (Л) с (Л) аЛ. (17.34) В качестве примера докажем справедливость соотношения (17.33). Учитывая (!7.29) и (17.32), будем последовательно преобразовывать левую часть равенства (! 7.33): ~ [О ь*(л)~ОМ(л) О+О.
(л) (х= = [ [О*ь* (л)[ Ом (л) с (л) (х= = [ь* (л) О+Ом(л) с(л) (л=[ь' (л) м(л) с(л) ал. Итак, в результате приходим к правой части равенства (17.33), в чем и требовалось убедиться. Коммутирование операторов и существование систем общих собственных функций. Два оператора Ь и М называют комлутируюи(ими, если для любой ограниченной функции Ф(х) выполняется равенство М7.Ф (х) = 7.МФ (х). (17.35) Если можно указать хотя бы одну функцию, для которой равенство (17.35) не выполняется, то операторы 7.
и М называют некоммутирующими. Обозначение [М, Ц= =М7 — 7.М называют коммутатором операторов 7. и М. Если операторы коммутируют, то это обстоятельство часто кратко записывают так: [М,Ц=О. Существует теорсла: если операторы Е и М имеют общие собственные функции, образующие замкнутую систему, то эти операторы коммутируют. Докажем теорему. Обозначим собственные функции операторов Е и М через фх„(х) (двойной индекс Хр отражает факт «общ!вв ности» этих функций). Очевидно, что мц,„= лмФ,„= лрФ,„, ~МФл,=рАФх,=рлФл, Отсюда следует, что (Мй — ~.М) Ф,„=О, а поскольку известно, что функции фх (х) образуют замкнутую систему, то, следовательно, для произвольной функции Ф(х) (мУ.— Ум) Ф(х)=~гч.
(мА — Ум)Фл» (х)=о, что и требовалось доказать. Подчеркнем важность того обстоятельства, что общие собственные функции должны образовывать замкнутую систему. Может оказаться, что два оператора имеют только одну общую собственную функцию.
В этом случае нельзя делать заключения о коммутированин операторов. Доказанная теорема означает, что коммутирование операторов есть необходимое свойство общности систем собственных функций этих операторов. Является ли это свойство также и достаточным? На этот вопрос следует дать положительный ответ в случае, когда отсутствует вырождение собственных значений операторов. В более же общем случае, учитывающем возможность вырождения, справедлива теорема: если операторы Ь и М коммутируют, то можно найти общие собственные функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
