Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 40
Текст из файла (страница 40)
6. Математический результат (17.28) для собственных функций операторов соответствует физическому результату (9.33) для амплитуд состояний. 7. Унитарные преобразования, обусловливающие переход от одного представления к другому, физически соответствуют переходу от одного полного набора величин к другому и, в частности, от одной системы базисных состояний микрообъекта к другой. 8. Существование общей замкнутой системы собственных функций означает коммутирование операторов. Этот математический факт связан с одновременной измеримостью соответствующих физических величин. Отметим, что из известного факта невозможности одновремен- 200 ного измерения таких, например.
физических величин, как координаты и импульс микрообъекта, следует заключение о том, что операторы координаты и импульса не коммутиоуют. 9. Математический факт коммутирования гамильтониана Н и оператора Л физически означает, что соответствующая оператору 1, величина 1 является интегралом движения. Иначе говоря. чсловие Ф,~)=9 есть с физической точки зрения закон сохранения величины 1. Последнее замечание будет строго обосновано ниже. Здесь же уместо прнвести в его пользу некие соображения качественного характеоа. Если операторы Н и ь коммутируют, то величины Е и 1 одновременно измеримы, так как существуют состояния, в котовых обе величины имеют определенные значения.
Состояние, в котором энергия имеет определенное значение, является стационарным, т. е. «живет» сколь угодно долго. 1!о в таком случае должна сохраняться сколь угодно долго и величина 1, равно как и любая другая физическая величина, для которой данное состояние есть собственная функция. Среднее значение величины. Если величина 1 измеряется в состоянии, описываемом амплитудой <Х)а>, то, согласно основным постулатам, результатом измерения будет значение Х.
Предположим теперь, что величина 1 измеряется не в «собственном», а в некотором «чужом» состоянии, например состоянии, описываемом амплитудой Ф.,(а) = <з)и>. В этом случае результат одиночного измерения, как известно. не может быть однозначно предсказан; здесь вступают в игру вероятностные поедсказания, позволяющие указать среднее значение <Х>, получаемое на основе относительно болыпого ~псла измерительных актов 1см. в связи с этим 5 !2). Покажем, как можяо вычислить среднее значение <Х> в состоянии <з), если известен сопоставляемый с величиной 1 эрмитовский оператор Х.
Заметим, что для частного случая, когда в качестве величины 1 использовалась энергия, эта задача была рассмотрена в 5 !8, где был получен результат <Е) <з ! О ! з). (! 8.18) во! В общем случае результат (18.18) принимает вид (полагаем для конкретности, что характеризующая представление а-переменная изменяется непрерывно) <Л)=~ Ф,(а) Е(а) Ф,(а) с(а. (19.4) Убедимся в этом.
Разложим амплитуды Ф.(а) и Ф.*(а) по собственным функциям ф (а) = <Х (а) оператора Е (полагаем, что спектр оператора Е дискретен): Ф,(а)=~<а ( Л )ф (а), а Ф,(а)=~<а 1 Л„)'ф„(а). Подставляя эти суперпозиции в (19.4) и учитывая (19.3) и (17.16) находим ~ Ф', (а) Е (а) Ф, (а) Иа= =ч~', ч~<з ) Л )<з ( Л )' ) ф,„(а)А(а)ф„(а) Фа= в ю = ~ч.", ~ч'„< з ( Л, ) < з ) Л )' Л„~ ф' (а) ф„(а) с(а = =Х Х< з ( Л„> < з ) Л„>' Лг „= Х ( < з 1 Л„>!'Л„. <Л)=<з ( А ( з >. (19.5) Изменение среднего значения величины со временем.
Используя (19.5) и полагая вначале, что оператор 1. от 202 С учетом (12.3) последняя сумма есть (Л>, что и требовалось доказать. Результат (19.4) весьма важен. Фактически достаточно уже одного этого результата, чтобы продемонстрировать плодотворность идеи использования операторов в квантовой механике. По аналогии с (18.18), результат (19.4) допускает более абстрактную запись, уклоняющуюся от выбора того или иного представления: времени не зависит, представим: или с учетом эрмитовости гамильтониана — (й — < з(1) [ = . з(1) [ гт'.
чч (19.7) Подставляя (18.12) и (19.7) в (19.6), получаем —" < Л- = — '< (г) )г)Т вЂ” ТН [ з(1) >, ж а или — (1)= — — <з 1 [6, Е! [ з ). ~й Й (19.8) Если величина 1 является интегралом движения, то — <Х) =О. Из (!9.8) следует, что условием сохранения и Ж величины 1 служит уже отмечавшееся ранее условие ~Н, Ц=О. Введем новый оператор Ь, определив его при помощи соотношения <" з 1 А [ г) = — (Х). лг (19.9) Сравнивая (19.9) с (19.8), заключаем, что в случае, когда 7. не зависит от времени, оператор 1.
имеет вид 7.= — '[Й, Х[. (19.10) 203 — "<Л-,= '" <з(1) [Х(зР)~= лт ч =( —,', <зЮ!) [Г" [зИ)>+<ай) [7".[( —;, [зИ)>). (19.6) Далее обратимся к соотношению (18.12) и преобразуем его к виду — 1й — <.г ф) [ = < зф 1 6+, Если Г зависит от времени, то вместо (19.10) имеем ~= — '[77, у)+ — "~- (19.11) 1ь г!Г Унитарная инвариантность физических результатов.
Физическое содержание того или иного результата не может, очевидно, зависеть от выбора представления. Иными словами, физическое содержание результата не должно изменяться при переходах от одного представления к другому. Поскольку указанные переходы осуществляются прн помощи унитарных преобразований, то это означает, что физические результаты должны входить в математический аппарат как унитарные инварианты. Требование унитарной инвариантности соответствующих результатов может, таким образом, служить дополнительным критерием правильности сформулированных ранее основных постулатов и вытекающих из ннх следствий. В этой связи отметим прежде всего отмечавшийся в 5 17 факт унитарной инвариантности свойства эрмитовости оператора, а также унитарную инвариант- ность спектра собственных значений эрмитовского оператора.
Нетрудно убедиться, что коммутатор Я, Ц также является унитарным инвариантом и, следовательно, условие сохранения той или иной физической величины, как и следовало ожидать, не зависит от выбора представления. Далее отметим, что унитарная инвариантность выражения ) ф "тр йх означает теперь независимость от выбора представления условия ортонормнровки собственных функций физической величины. Наконец, унитарная инварнантность выражения ) гЭ*(х)Ь(х)Ф(х)их означает независимость от выбора представления средних значений физических величин. Заметим, что результат (ЬЬ4) мог бы быть однозначно установлен из требования унитарвои инвариангностн величины (Л) и использования полученного дия частного случая выражения (18.18).
Деиствительно, из требования унитарной инвариант- ности следует, что (Л) должно быть представлено выражением типа ~ Ф*(х) ьл(х) Ф(х) вх, а сравнение с частным результатом (18.!8) указывает иа то, что здесь надо положить л=1. 204 5 20. ОСНОВЫ АППАРАТА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ В КООРДИНАТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ Дальнейшее рассмотрение аппарата квантовой механики требует знания конкретного вида операторов различных физических величин. Для этого необходимо выбрать некое определенное представление. Выберем координатное представление. Отметим важность отыскания вида двух основных «физических операторов»: координаты и импульса микрообъекта. Зная этн операторы, можно получить оператор энергии [см. (19.1)) и оператор момента [см.
(19.2)). Операторы координаты и импульса. Для простоты рассмотрим одномерное движение по оси х (полученные результаты легко обобщаются на трехмерный случай). Учитывая сделанные в й 17 замечания о виде эрмитовского оператора в своем собственном представлении [см. (17.26)), заключаем, что оператор координаты в координатном представлении есть сама координата: (20.1) х (х) =х. Этот результат обобщается на любую функцию коорди- наты: О (х) =(у (х). (2О.2) Перейдем к отысканию вида оператора импульса. Предва~рительно докажем следующую теорему.
Пусть некий оператор О как-то преобразует координату. Если при этом преобразовании гамильтониан Й не меняется, то операторы О ~и Н коммутируют. Доказательство: пусть Ох=х', подействуем оператором О на Й(х)~р(х); получаем ОЙ(х)~р(х) = Й(х')ср(х') = Н(х)ф(х') =Й(х) Оф(х). Теорема доказана. Предположим, что оператор О есть оператор бесконечно малого переноса по оси х; Оф(х) =ф(х+Лх). Пользуясь малостью переноса, представим: ф(х+ Ьх) =~1+ Ьх — 1 у (х).
л'х 1 205 Таким образом, л О=1+ах— Фх Исходя из свойства однородности пространства, заключаем, что операция О должна оставлять гамильтониан мнкрообъекта неизменным. Отсюда, согласно доказанг и ч ной выше теореме, получаем [О, Н)=0 или~ —, Н~=О. Фх Но коммутирование с гамильтонианом, как было показано в в 19, выражает закон сохранения физической величины. Значит, Ы/г(х есть оператор какой-то сохраняющейся физической величины. Известно, что величина, сохранение которой является следствием однородности пространства, есть импульс (см. $1). Следовательно, оператор с(/игх должен совпадать с точностью до некоторого постоянного множителя с оператором импульса микрообъекта: и — = Урх.
их (20.3) Множитель у определяют из рассмотрения предельного перехода от квантовой механики к классической. Мы не будем рассматривать зтот переход и просто объявим результат: у=1/й (см. [10]). Таким образом, оператор х-составляющей импульса микрообъекта имеет в координатном представлении вид р„= — /й — . гГх (20.4) (20.5) г=г, (20.6) Собственные функции импульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
