Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Примеры задач первых двух типов приводятся в данном параграфе, а также в $ 24. С третьим типом задач читатель познакомится в $25. Разумеется, мы вынуждены ограничиться рассмотрением здесь лишь некоторых характерных задач. При этом мы учитываем, что прикладные аспекты квантовой механики отражены в существующей литературе достаточно полно (отметим, в частности, специальные сборники квантовомеханических задач [34, 35)), * Граничные условия обсуждаются ниже — нрн рассмотрении конкретных задач.
218 Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими «стенками». Такая яма описывается потенциалом У вида оо, х(0, у(х) — О, 0 (х (а, оо, х> а. (21.1) Параметр а есть ширина ямы; энергия отсчитывается от дна ямы. В пределах ямы (0(х -а) уравнение Шредин- гера (20,13) имеет внд Лат ' +в~=о, ахз (21.2) где йт = 2птЕ/ат. (21.3) На границах ямы (при х=О и к=а) непрерывная волновая функция ф обращается в нуль, поскольку бесконечно высокие «стенки» исключают возможность обнаружения частицы за пределами ямы*. Итак, граничные условия имеют в данном случае вид р (0) = ф (а) = О.
(21.4) Запишем общее решение дифференциального уравнения (21.2): ф(х)=А з!и (Фх)+ В сон (~х). (21.5) Из условия ф(а) =0 заключаем (21.7) 'на=па, где и — целые числа. С учетом (21.3) преобразуем последний результат к виду Е, = пяп232/2тат. (21.8) Выражение (21.8) определяет спектр значений энергии ь В случае «стевок» конечной висоти, как зто будет вндво ввже, такая возможность не нсключвется. 229 Поскольку ф(0) =О, то, следовательно, В=О.
Таким образом, ф(х)=А з)п(Фх). (21.6) (уровни энергии) частицы в рассматриваемой яме. Оно совпадает с приводившимся ранее выражением (5.2). Волновая функция !р„(х), соответствующая п-му уровню энергии, имеет, согласно (21.5) и (21.7), вид ср„(х) =Аэ)п (пах!а), Постоянную интегрирования А оп- ределяют из условия нормировки [см. в связи с этим « (15.13)) й) у'„'(х)а1х=1. Легко видеть, чтоА=~ 2/а и, следовательно, у»(х)= ! 2(а з)п (пах!'а). (21.9) Итак, найдены уровни энергии и ортонормированные волновые функции, стационарных состояний частицы в прямоугольной одномерной яме с бес- Е конечно высокими «стенками».
а г а з Прямоугольная по«) тенциальная яма со «стенками» конечной % Я высоты. рассмотрим прямоугольную потен~ЖУг! циальную яму, изобра«) женную на рис. 21,1, а. Поскольку частица наРис. 21.1 ходится внутри ямы,то Е<(1~ и Е<(1» Прямоугольность потенциала позволяет четко разграничить три пространственных области: область 1 (х<0), область 2 (0<х<а), область З(х>а), Будем рассматривать эти области .раздельно, а затем «сошьем» полученные результаты на границах областей, т. е. в точках х=О и х=а.
Уравнение Шредингера (20.13) имеет вид: для области 1 2 2 — ~ — х,~р=О, где »,=2т((1,— Е),'а», Нх» (21.10а) для области 2 — ~-+й»у =О, где ла 2тЕ[Ю, аха (21.106) для области 3 — — г<р=О, где х» 2рп((У,— Е)(йз. (21.10в) изт з з дхз Общие решения указанных дифференциальных уравне- ний могут быть записаны в виде: для области 1 зь,=А, ехр(«,х)+В, ехр( — »,х), (21.11а) для области 2 р,=А,ехр(Их)+В,ехр( — Их),(21.11б) для области 3 р»=А»ехр(»,х)+Вьехр( — «,х) (21.11в) [заметим, что решение уравнения (21.10б) может быть представлено как в виде (2!.1!б), так и в виде (2!.5)).
Ограниченность волновой функции требует положить В~=О и А»=0. Таким образом, у,(х)=А, ехр(«,х), р, (х) = А, ехр (Их) + Вз ехр ( — Их), (21. 12) рь (х) = Вь ехр ( — »,х). Качественный внд функций рь чь и цедр») показан на рис. 21.1, б. Обратим внимание читателя на то, что в слу- чае потенциальной ямы со «стенками» конечной высоты всегда существует вероятность обнаружить частицу вне пределов ямы; эта вероятность уменыпается по экспонен- циальному закону по мере удаления от границ ямы. Чтобы найти четыре коэффициента (Аь Ам Ва Вз), воспользуемся тем, что на границах областей должны быть непрерывной и сама функция, и ее первая производ- ная. Непрерывность волновой функции очевидна. Непре- рывность производной легко доказать.
Для этого проин- тегрируем уравнение Шредингера (20.!3) по некоторой области (а — Л, а+б), включающей скачок потенциала. Получим а+а — (а+ а) — — (а — а) = — ! [(У (х) — Е] ~рьь'х. нт 2т С ь!х ьрх ть2 ) а~Ь Поскольку под интегралом стоят ограниченные функции, то в пределе Л-»О этот интеграл обратится в нуль. В ито- ге получаем — (а +О)== — (а-0), что и требовалось ~р л~р ьрх ах доказать, Возвращаясь к нашей задаче, запишем граничные условия (условия «сшивки» решений на границах областей): „(о) = р,(о), ~р» (а) =~р, (а), ,— "' (о) = — "' (о), ,'«х, «х — (а) = » (а).
«х Фх (21.13) ! Подставляя выражения (21.!2) в эти условия, приходим к системе уравнений относительно коэффициентов А„ Ам Вь Вз. А,=А,+Вы А»'ехр (Иа) + В» ехр ( — Иа) = В, ехр ( — »,а), »,А,=И (А» — В»), ИА»ехр(Иа) — ИВ» ехр ( — рйа) = = — «,В» ехр ( — «»а) (21.14) 333 Система (21.14) есть однородная система линейных уравнений.
Как известно, для существования ненулевых решений такой системы необходимо, чтобы ее определитель обращался в нуль. Приравнивая определитель системы нулю, получим некоторое уравнение относительно энергии Е (напомним: величины й, нь и» выражаются через Е). Корни этого уравнения н будут представлять собой возможные значения энергии частицы. Подчеркнем, что с математической точки зрения квантование энергии частицы в яме есть прямое следствие однородности системы (2!.14). В этом заключается сущность всех задач на отыскание собственных значений физических величин: объект как бы «предоставляется сам себе», т.
е. исключаются внешние воздействия,— тем самым из уравнений исключаются неоднородности; в итоге объект избирает некий «собственный режим», характеризуемый определенными собственными параметрами (частотой, энергией и др.). Простейший пример, причем взятый из классической физики,— маятник. Если маятник не раскачивать, то он будет колебаться с определенной собственной частотой, не зависящей от способа возбуждения колебаний.
А,=С з!п Ь, С з1п (да+ Ь) = В, ехр ( — хзп), я~А, = ЬС соз Ь, ЬС сов(йа+Ь)= — язВз ехр( — ~ й). (21.15) Поделив третье уравнение этой системы на первое, а чет- вертое на второе, получим х,=Ь с(иЬ, ха= — Ь с1и (Фа+ Ь). (21.16) Вместо системы четырех уравнений имеем теперь систему двух уравнений. Из первого уравнения системы (21.16) находим с1д Ь=и~~й. Отсюда э(п Ь=(1+с1на Ь) Лй Аналогично из второго уравнения системы (21.16) находим з(п (Ьа+Ь) =— Иь р 2тхуз В результате получаем уравнение, определяющее величину Й (а следовательно, и уровни энергии) в неявном виде: lга=ип — агсып — агсз(п, (21.17) аъ, Иь 3~ 2тгг~ )' 2иуа где п — целые числа. На рис.
21.2 изображены в функции от Ь левая и правая части уравнения (21.17). В изобра- 223 Итак, для определения значений энергии частицы надо приравнять нулю определитель системы (21.14) и решить получившееся при этом уравнение. Однако практически неудобно рассматривать определитель 4-го порядка. Поэтому предварительно упростим систему уравнений, для чего перепишем функцию фз в виде ~рз= =Сз(п (Ьх+Ь) (этот вид эквивалентен ранее использовавшемуся; читатель может самостоятельно выразить новые коэффициенты С и Ь через старые коэффициенты Аэ и Вг). Теперь система (21.14) будет выглядеть следующим образом: женной на рисунке ситуации частица имеет три энергетических уровня; им отвечают значения я, равные йь ху, я,, Если изменять ширину ямы, то будет меняться наклон прямой у=йа, в результате чего будут меняться расположение и само число возможных энергетических уровней.
При уменьшении ширины ямы указанная прямая будет опускаться; при этом уровни «поползут» из ямы, их число будет постепенно уменьшаться. При увеличении ширины ямы прямая у=ха будет, напротив, подниматься; при этом она будет пересекать все большее число ветвей, изображаемых у арксинусами, —,в результате ы — — — — уу число уровней,в яме будет с.т расти. Пр~и а-+.со число уровней будет, неограниченно ~расти, и мы придем в ко,„,.
н нечном счете к,непрерывно- му энергетическому спектру. у=К-ПГСЗЛ '"'"'Кг у, Нетрудно проследить также у а у. ь " за изменениями в спектре 'У Ууй при изменении глубины ямы: чем больше эта глубина, Рнс. 21.2 тем больше уровней будет в яме. Дальнейшая программа действий такова: надо найти из (21.17) возможные значения с и соответствующие им значения Е, х~ и х~, .затем подставить эти значения в (21.15) и решить систему уравнений относительно коэффициентов; конечные результаты подставить в выражения для волновых функций (2!.12). Мы, однако, не будем выполнять здесь эту программу ввиду возникающих математических трудностей. В заключение заметим, что результат (21.!7) можно использовать, в частности, для оценки минимальной энергии Е~ частицы в потенциальной яме.
Для этого достаточно обратиться к заштрихованному треугольнику на рис. 21.2 и положить й~а-и. Отсюда немедленно находим Е,— пУйэ/2гпа'. Этот результат хорошо согласуется с оценкой (4.11), полученной в $4 на основе соотношения неопределенностей (3.3). Частица в сферически симметричном поле. Рассматривая движение частицы в сферически симметричном поле, удобно использовать сферические координаты г, О, <р. Сферическая симметрия поля означает, что И(г) 224 где ! дз 1 д /. д! Д0,=- — — + — — ~з!и В— Мпза дтз Мп 0 д0 ~ д0) Учитывая это, перепишем уравнение Шредингера (20.14) в анде (21.19) =() (г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
